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El bit perdido
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Calculadora de la distribución normal paso a paso (con la tabla)

Calcula probabilidades de la distribución normal N(μ, σ) como en la PAU: tipificar, leer la tabla de la N(0, 1) con la simetría de la campana, probabilidades entre dos valores y el valor que deja una probabilidad dada.

Como en la PAU: se tipifica, se redondea z a dos decimales y se lee la tabla de la N(0, 1). En una normal da igual < que ≤.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Cociente intelectual menor que 85

P(X≤85)≈0,1587P(X \le 85) \approx 0{,}1587
Campana de Gauss de la normal estándar con el área de la probabilidad sombreada.

  1. 1Tipificamos

    Para usar la tabla de la normal estándar restamos la media y dividimos entre la desviación típica: si X∼N(100, 15)X \sim N(100,\ 15), entonces Z=X−10015Z = \dfrac{X - 100}{15} sigue una N(0, 1)N(0,\ 1).

    Z=X−μσ∼N(0, 1)Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,\ 1)

  2. 2El valor tipificado

    En una distribución continua da igual << que ≤\le. Tipificamos 8585.

    P(X≤85)=P(Z≤85−10015=−1)P(X \le 85) = P\left(Z \le \frac{85 - 100}{15} = -1\right)

  3. 3Leemos la tabla

    La tabla solo trae valores de zz positivos: usamos la simetría de la campana, P(Z≤−z)=P(Z≥z)P(Z \le -z) = P(Z \ge z).

    P(Z≤−1,00)=P(Z≥1,00)=1−F(1,00)=1−0,8413=0,1587P(Z \le -1{,}00) = P(Z \ge 1{,}00) = 1 - F(1{,}00) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587

La normal y su tabla

Muchas magnitudes (estaturas, notas, errores de medida) siguen una distribución normal N(μ,σ)N(\mu,\sigma): una campana centrada en la media μ\mu y más o menos ancha según la desviación típica σ\sigma. Para calcular probabilidades se tipifica,

Z=X−μσ∼N(0,1),Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),

y se lee la tabla de la normal estándar, que da F(z)=P(Z≤z)F(z)=P(Z\le z) para zz entre 0,000{,}00 y 3,993{,}99 (zz con dos decimales y FF con cuatro). Con la simetría de la campana se resuelven los demás casos:

  • P(Z≥z)=1−F(z)P(Z\ge z)=1-F(z).
  • P(Z≤−z)=1−F(z)P(Z\le -z)=1-F(z).
  • P(a≤Z≤b)=F(b)−F(a)P(a\le Z\le b)=F(b)-F(a).

Un ejemplo completo

La estatura de una población sigue una N(170, 8)N(170,\,8) (en cm). ¿Qué proporción mide más de 186 cm? ¿Y a partir de qué estatura está el 10 % más alto?

Tipificamos: z=186−1708=2z=\dfrac{186-170}{8}=2, así que

P(X≥186)=P(Z≥2)=1−F(2)=1−0,9772=0,0228.P(X\ge186)=P(Z\ge2)=1-F(2)=1-0{,}9772=0{,}0228.

Un 2,28 %2{,}28\,\%.

Para el 10 % más alto buscamos kk con P(X≥k)=0,10P(X\ge k)=0{,}10, es decir, P(X≤k)=0,90P(X\le k)=0{,}90. En la tabla, el valor más cercano a 0,900{,}90 es F(1,28)=0,8997F(1{,}28)=0{,}8997, así que z=1,28z=1{,}28 y

k=170+1,28⋅8=180,24 cm.k=170+1{,}28\cdot 8=180{,}24\text{ cm}.

Errores típicos

  • Olvidar tipificar y buscar en la tabla el valor de XX en lugar del de ZZ.
  • Dividir entre la varianza en lugar de entre la desviación típica.
  • No usar la simetría con zz negativo: F(−1)F(-1) no está en la tabla, pero es 1−F(1)1-F(1).
  • Confundir P(X≥a)P(X\ge a) con F(a)F(a): lo que queda a la derecha es 1−F(z)1-F(z).

Preguntas frecuentes

¿Qué es tipificar una variable normal?

Es pasar de una normal N(μ, σ) a la normal estándar N(0, 1) con Z = (X − μ)/σ. Así basta una sola tabla para todas las normales: la de la N(0, 1).

¿Cómo se usa la tabla si z es negativo?

La tabla solo trae z ≥ 0, pero la campana es simétrica: P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z) = 1 − F(z). Por ejemplo, P(Z ≤ −1) = 1 − F(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587.

¿Es lo mismo P(X < a) que P(X ≤ a)?

En una distribución continua, como la normal, sí: la probabilidad de un valor concreto es 0. En la binomial (discreta) no, y por eso al aproximarla por una normal se usa la corrección por continuidad.

¿Cuándo se puede aproximar una binomial por una normal?

Cuando n·p y n·q son mayores que 5 (no hace falta ninguna otra condición sobre n: las dos juntas ya obligan a n > 10). Entonces B(n, p) se parece a N(np, √(npq)), y cada valor entero k se sustituye por el intervalo [k − 0,5, k + 0,5] (corrección por continuidad). La calculadora de la distribución binomial añade este paso siempre que se cumplen las dos condiciones; para n > 200, calcula μ y σ y usa esta calculadora.

¿Por qué la calculadora da a veces dos resultados?

El principal es el de la tabla, con z redondeado a dos decimales, que es el que se espera en la PAU. Si calcular con z sin redondear cambia la cuarta cifra decimal del resultado, se indica debajo.

¿Qué z se toma si la probabilidad cae justo entre dos valores de la tabla?

Se toma el punto medio. Por ejemplo, 0,95 está a la misma distancia de F(1,64) = 0,9495 y de F(1,65) = 0,9505, así que z = 1,645, que es el valor que dan los libros (y 0,995 da z = 2,575). Si no hay empate, se toma el z de la tabla cuya F está más cerca, sin interpolar. La PAU de la Comunitat Valenciana no fija ninguna regla para los empates: ni los criterios de corrección ni la tabla del examen (la misma que usa esta calculadora, con F(1,64) = 0,9495 y F(1,65) = 0,9505) dicen nada, y el único problema de este tipo publicado hasta ahora, el del modelo de 2026 de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (el 87,7 %), cae justo en una casilla: F(1,16) = 0,8770. Como se permite la calculadora científica, también vale z ≈ 1,6449 si se razona.

¿Y si z es mayor que 3,99?

La tabla de la PAU llega a z = 3,99, y allí F ya vale 1,0000: para z mayores se toma 1,0000 (la probabilidad sale 1,0000 o 0,0000). La calculadora lo avisa.

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