Matrices de Pauli y producto simpléctico

En la lección anterior, el código de Shor corrige cualquier error, vimos la tabla de los 27 errores de peso 1 con sus 21 síndromes. Funciona, pero la leíamos error por error y generador por generador. El relato está en este punto: los tres obstáculos tienen respuesta y ahora queremos el marco general, para que lo de Shor sea un caso entre muchos. Hoy ponemos el lenguaje: cada error es un vector binario y saber si dos operadores conmutan es una cuenta de una línea. La pregunta es qué cuenta es esa, y por qué la tabla de Shor era un montón de ellas. Este lenguaje (lecciones 6 a 8) sirve para algo concreto: en la lección 9 fabricaremos códigos cuánticos a partir de códigos clásicos.

La idea

Un error en $n$ cúbits es una matriz de $2^n\times2^n$. Para $n=9$ son $512\times512$: no se puede razonar con ellas a mano. Pero los errores que nos importan son productos de $X$, $Y$ y $Z$ en distintos cúbits, y de esos operadores solo importa dónde hay qué letra. Eso se guarda en un vector de $0$ y $1$. Multiplicar operadores será sumar vectores, y que dos operadores conmuten o anticonmuten será el valor de un producto, el producto simpléctico. Es el mismo salto del curso de códigos: pasar de palabras a vectores sobre $\mathbb{F}_2$ para hacer álgebra lineal.

Las tres matrices

Recuerda las matrices de Pauli de un cúbit:

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad Y=iXZ=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$$

$X$ es el cambio de bit, $Z$ el cambio de fase e $Y$ los dos a la vez, salvo una fase. Sobre $\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}$ dan $\beta\ket{0}+\alpha\ket{1}$, $\alpha\ket{0}-\beta\ket{1}$ y $-i\beta\ket{0}+i\alpha\ket{1}$. De la lección 5 ya sabes dos propiedades, y hay dos más; todas se comprueban multiplicando matrices:

• $X^2=Y^2=Z^2=I$: aplicar un error dos veces lo deshace.
• Dos distintas anticonmutan: $XZ=-ZX$, $XY=-YX$, $YZ=-ZY$.
• Son hermíticas ($P^\dagger=P$, con la adjunta de la lección 2) y unitarias ($P^\dagger P=I$, como en la lección 1).
• Su producto es la tercera, con una fase: $XY=iZ$, $YZ=iX$, $ZX=iY$.

Que $X$ y $Z$ no conmuten es el germen de todo lo que sigue. Es la gran diferencia con un bit clásico, donde «cambiar» y «mirar el valor» no se estorban.

Pauli de varios cúbits

Para $a=(a_1,\dots,a_n)$ y $b=(b_1,\dots,b_n)$ en $\mathbb{F}_2^n$ definimos

$$X(a)Z(b)=X^{a_1}Z^{b_1}\otimes X^{a_2}Z^{b_2}\otimes\cdots\otimes X^{a_n}Z^{b_n}.$$

En cada cúbit hay cuatro posibilidades: $I$ si $(a_i,b_i)=(0,0)$, $X$ si $(1,0)$, $Z$ si $(0,1)$ e $Y$ (salvo fase) si $(1,1)$. Abreviamos $Z_1Z_2$ por «$Z$ en los cúbits 1 y 2 e identidad en el resto», y así con todos. El grupo de Pauli de $n$ cúbits es

$$\mathcal{P}_n=\{\,i^c\,X(a)Z(b)\ :\ c\in\{0,1,2,3\},\ a,b\in\mathbb{F}_2^n\,\}.$$

Se admiten las fases $\pm1,\pm i$ para que $Y=iXZ$ esté dentro. Es un grupo: el producto de dos elementos vuelve a ser uno (lo vemos en seguida). Salvo la fase hay $4^n$ elementos, porque cada cúbit puede llevar $I$, $X$, $Y$ o $Z$. Para $n=3$ son $64$.

El peso de un Pauli es el número de cúbits donde no es la identidad, es decir, el número de posiciones con $(a_i,b_i)\neq(0,0)$. Es el peso de Hamming de siempre, pero cuenta el par $(a_i,b_i)$ como un símbolo: $Y_1$ pesa 1 aunque tenga dos unos en su vector. Para $n=3$ hay $1$, $9$, $27$ y $27$ Pauli de pesos $0$, $1$, $2$ y $3$ (se eligen las posiciones y en cada una una de las tres letras: $\binom{3}{w}3^w$), y $1+9+27+27=64$.

Del operador al vector

Olvidando la fase, cada Pauli es un vector:

$$X(a)Z(b)\ \longmapsto\ (a\mid b)\in\mathbb{F}_2^{2n}.$$

Hay $2^{2n}=4^n$ vectores, uno por cada Pauli salvo fase. Ejemplos con $n=3$:

• $Z_1Z_2\leftrightarrow(000\mid110)$ y $X_2\leftrightarrow(010\mid000)$.
• $Y_1=iX_1Z_1\leftrightarrow(100\mid100)$: la $Y$ pone un 1 en la parte $X$ y otro en la parte $Z$.
• Para Shor ($n=9$), $X_1X_2X_3X_4X_5X_6\leftrightarrow(111111000\mid000000000)$.

¿Por qué multiplicar es sumar? Dentro de cada cúbit, pasar los $Z$ a la derecha de los $X$ cuesta un signo por cada cruce, así que

$$X(a)Z(b)\cdot X(a')Z(b')=(-1)^{\,b\cdot a'}\,X(a+a')\,Z(b+b').$$

El vector del producto es $(a+a'\mid b+b')$, sumado módulo 2. Por ejemplo $Z_1Z_2\cdot Z_2Z_3=Z_1Z_3$ y en vectores $(000\mid110)+(000\mid011)=(000\mid101)$. Lo que olvidamos al traducir es solo un signo o un factor $i$. Y el peso no es aditivo: dos Pauli de peso 3 pueden dar uno de peso 1 (lo verás en el ejemplo resuelto).

El producto simpléctico

Falta lo importante: el signo que olvidamos nos dice si dos operadores conmutan. En un cúbit, $X^aZ^b$ y $X^{a'}Z^{b'}$ solo se diferencian al cambiar el orden por un factor $(-1)^{ba'+ab'}$. Con $n$ cúbits cada posición aporta el suyo y los exponentes se suman. Eso es exactamente lo que define el siguiente producto.

Producto simpléctico de $u=(a\mid b)$ y $u'=(a'\mid b')$ en $\mathbb{F}_2^{2n}$:

$$\langle u,u'\rangle_s=b\cdot a'+a\cdot b'\pmod 2.$$

Si $E\leftrightarrow u$ y $E'\leftrightarrow u'$, entonces $EE'=(-1)^{\langle u,u'\rangle_s}E'E$. Por tanto:

$E$ y $E'$ conmutan si y solo si $\langle u,u'\rangle_s=0$, y anticonmutan si vale $1$.

(Las fases $i^c$ del grupo son números y conmutan con todo, así que no cambian nada.)

Repaso Producto escalar y ortogonalidad en F_2

En el curso de códigos, dos vectores $x,y\in\mathbb{F}_2^m$ son ortogonales si $x\cdot y=x_1y_1+\cdots+x_my_m=0$ módulo 2, y el dual $C^\perp$ de un código $C$ son los vectores ortogonales a todas sus palabras (lección de matriz generatriz y matriz de paridad). Aquí hacemos lo mismo con otro producto. Módulo 2: $1+1=0$.

Aviso sobre el signo. Módulo 2 da igual escribir $b\cdot a'+a\cdot b'$ o $b\cdot a'-a\cdot b'$, porque $-1\equiv1$. Con cúbits usamos la suma. En la lección Qudits, con sistemas de $p$ niveles, el producto aparece con signo, $b\cdot a'-a\cdot b'$, y ahí el signo sí importa.

Truco para contar (el criterio de las lecciones 3 y 5). Una posición aporta un 1 exactamente cuando los dos operadores son, ahí, distintos y ninguno es la identidad (por ejemplo $X$ y $Z$, o $Y$ y $X$): en esa posición anticonmutan. Si no, aporta 0. Así que

dos Pauli de cúbits conmutan si y solo si anticonmutan en un número par de posiciones.

Propiedades del producto: es bilineal, simétrico (módulo 2) y $\langle u,u\rangle_s=0$ para todo $u$, pues todo Pauli conmuta consigo mismo. Esto lo separa del producto escalar del curso de códigos: $X=(1\mid0)$ cumple $(1,0)\cdot(1,0)=1\neq0$, pero $\langle X,X\rangle_s=0$. En forma matricial, $\langle u,v\rangle_s=u\Lambda v^T$ con $\Lambda=\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}$ (módulo 2).

Ortogonal simpléctico

Para un subespacio $C\subseteq\mathbb{F}_2^{2n}$, su ortogonal simpléctico es

$$C^{\perp_s}=\{v\in\mathbb{F}_2^{2n}:\ \langle c,v\rangle_s=0\ \text{ para todo } c\in C\}.$$

Son los operadores de Pauli que conmutan con todos los de $C$. Es el análogo del dual $C^\perp$, y su dimensión es la misma cuenta que en el curso de códigos:

$$\dim C^{\perp_s}=2n-\dim C.$$

La razón: cada vector de una base de $C$ impone una ecuación lineal $\langle c,v\rangle_s=0$, y esas $\dim C$ ecuaciones son independientes porque $\Lambda$ es invertible. Por ejemplo, con $n=3$ y $C=\langle(000\mid110)\rangle$ (el operador $Z_1Z_2$), $C^{\perp_s}$ tiene dimensión $6-1=5$ y $2^5=32$ vectores.

Ojo a la diferencia con el curso clásico: allí que $C\subseteq C^\perp$ no se pide; aquí es justo lo que queremos. Que $C\subseteq C^{\perp_s}$ (autoortogonal) significa que todos los operadores de $C$ conmutan entre sí. Será la condición de la próxima lección.

Ejemplo resuelto

$XXX$ y $ZZZ$. Con $n=3$ son $(111\mid000)$ y $(000\mid111)$:

$$\langle(111\mid000),(000\mid111)\rangle_s=\underbrace{0\cdot0}_{b\cdot a'}+\underbrace{(1+1+1)}_{a\cdot b'}=3\equiv1\pmod2.$$

Anticonmutan. Se ve posición a posición: cada una aporta un 1 y son tres, un número impar.

Dos pares de generadores de Shor (los de la lección anterior):

• $Z_2Z_3$ y $X_1X_2X_3X_4X_5X_6$ coinciden en las posiciones 2 y 3, con un $Z$ frente a un $X$ en cada una: dos anticonmutaciones, $0$ módulo 2. Conmutan.
• $Z_4Z_5$ y $X_4X_5X_6X_7X_8X_9$ coinciden en las posiciones 4 y 5: otra vez dos. Conmutan.

Los ocho generadores conmutan entre sí (son 28 parejas, y la regla de contar las despacha: los $Z$ entre sí y los $X$ entre sí conmutan, y cada $Z_aZ_b$ comparte con cada $X\cdots X$ cero o dos cúbits). En cambio $Z_1$ con $X_1\cdots X_6$ solo coinciden en la posición 1: anticonmutan, y $Z_3Z_4$ con $X_4\cdots X_9$ también (solo coinciden en la 4). Por eso los $Z$ de los generadores van por parejas dentro de un bloque: así cruzan un número par de veces con los $X$.

Un producto y su peso. Sean $E=X_1Y_2Z_3\leftrightarrow(110\mid011)$ y $F=X_1Y_2X_3\leftrightarrow(111\mid010)$, los dos de peso 3. La suma módulo 2 es $(001\mid001)$, que es $Y_3$, de peso 1. Con matrices, cúbit a cúbit: $X\cdot X=I$, $Y\cdot Y=I$ y $Z\cdot X=iY$, luego $EF=i\,Y_3$. El vector es el esperado y la fase $i$ es lo que olvida la traducción. Y $\langle E,F\rangle_s$: $b\cdot a'=(0,1,1)\cdot(1,1,1)=0$ y $a\cdot b'=(1,1,0)\cdot(0,1,0)=1$, así que vale $1$. Anticonmutan, y se ve en que solo en la tercera posición hay letras distintas y no triviales ($Z$ frente a $X$): $FE=-iY_3=-EF$.

La tabla de síndromes es una tabla de productos simplécticos. Medir el generador $g_j$ sobre el estado con el error $E$ da $+1$ si $g_j$ y $E$ conmutan y $-1$ si anticonmutan. Así que el bit $j$ del síndrome de $E\leftrightarrow e$ es exactamente

$$s_j=\langle g_j,e\rangle_s.$$

Tomemos $E=Y_5$, con $e=(000010000\mid000010000)$, y los generadores en el orden de la lección anterior:

• $Z_1Z_2$, $Z_2Z_3$, $Z_7Z_8$, $Z_8Z_9$ no tocan el cúbit 5: producto $0$.
• $Z_4Z_5$ y $Z_5Z_6$ tienen un $Z$ en el 5 y $Y_5$ tiene parte $X$: producto $1$ cada uno.
• $X_1\cdots X_6$ y $X_4\cdots X_9$ tienen un $X$ en el 5 y $Y_5$ tiene parte $Z$: producto $1$ cada uno.

Síndrome: $00110011$, el de la tabla. La misma cuenta para los 27 errores de peso 1 reproduce la tabla entera, y con vectores es mucho más corta que con matrices de $512\times512$. Además se ve la degeneración: $Z_1$ y $Z_2$ tienen el mismo síndrome porque su suma es $Z_1Z_2=g_1$, que conmuta con todos los generadores (el síndrome es lineal, y el de un generador es nulo). Que $Y_5$ salga como suma de los síndromes de $X_5$ y $Z_5$ también es linealidad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Con tres cúbits, decide si conmutan (a) $X_1X_2$ y $Z_2Z_3$; (b) $X_1X_2$ y $Z_1Z_2$; (c) $Y_1Y_2$ y $X_1Z_2$.

Ver la solución

(a) Solo coinciden en la posición 2, con $X$ y $Z$: una anticonmutación, así que anticonmutan. En vectores, $(110\mid000)$ y $(000\mid011)$ dan $a\cdot b'=0+1+0=1$.

(b) Coinciden en las posiciones 1 y 2, con $X$ y $Z$ en ambas: dos anticonmutaciones. Conmutan.

(c) En la posición 1, $Y$ y $X$ anticonmutan. En la 2, $Y$ y $Z$ también. Son dos: conmutan.

Ejercicio 2

En el código de Shor, calcula con productos simplécticos el síndrome de $Y_8$ (generadores en el orden de la lección anterior) y comprueba que es la suma de los de $X_8$ y $Z_8$.

Ver la solución

$Y_8\leftrightarrow(000000010\mid000000010)$. Generador a generador:

• $Z_1Z_2$, $Z_2Z_3$, $Z_4Z_5$, $Z_5Z_6$: no tocan el cúbit 8, producto $0$.
• $Z_7Z_8$ y $Z_8Z_9$: tienen $Z$ en el 8 y $Y_8$ tiene parte $X$, producto $1$ cada uno.
• $X_1\cdots X_6$: no toca el 8, producto $0$.
• $X_4\cdots X_9$: tiene $X$ en el 8 y $Y_8$ tiene parte $Z$, producto $1$.

Síndrome $00001101$. Los de $X_8$ y $Z_8$ son $00001100$ y $00000001$, y su suma módulo 2 es $00001101$.

Ejercicio 3

Con dos cúbits, calcula $C^{\perp_s}$ para $C=\langle(11\mid00)\rangle$ (el operador $X_1X_2$). ¿Qué dimensión tiene? ¿Contiene a $C$? ¿Y a $Z_1Z_2$?

Ver la solución

Para $v=(a_1,a_2\mid b_1,b_2)$, $\langle(11\mid00),v\rangle_s=1\cdot b_1+1\cdot b_2=b_1+b_2$. La condición es $b_1=b_2$. Los $a$ son libres (4 opciones) y $b\in\{00,11\}$ (2 opciones): $4\cdot2=8$ vectores, dimensión $3=4-1$.

Contiene a $C$ (tomando $a=11$, $b=00$): todo Pauli conmuta consigo mismo. Contiene también $(00\mid11)$, el operador $Z_1Z_2$, porque $b=11$ cumple la condición: $X_1X_2$ y $Z_1Z_2$ conmutan (dos anticonmutaciones).

En resumen

• $X$, $Y$, $Z$ cumplen $P^2=I$, son hermíticas y unitarias, y dos distintas anticonmutan. El grupo de Pauli de $n$ cúbits tiene $4^n$ elementos salvo fase.
• Cada Pauli es un vector $(a\mid b)\in\mathbb{F}_2^{2n}$, y multiplicar operadores de Pauli es sumar vectores (salvo fase). El peso cuenta los cúbits donde no hay identidad.
• Conmutan si y solo si $\langle u,u'\rangle_s=b\cdot a'+a\cdot b'=0$. Equivale a contar posiciones donde los dos son distintos y no triviales: par significa conmutar. Con $p$ niveles (lección sobre qudits) el producto lleva signo.
• $C^{\perp_s}$ son los operadores de Pauli que conmutan con todo $C$ y tiene dimensión $2n-\dim C$. Un subespacio autoortogonal es uno de operadores que conmutan entre sí.
• La tabla de síndromes de Shor es una tabla de productos simplécticos: $s_j=\langle g_j,e\rangle_s$.

Siguiente lección: Códigos estabilizadores y síndrome