PAU MACS II Comunitat Valenciana 2024 julio – resuelto (PDF)

a) Planteamiento y producción óptima

Variables. Llamamos

• $x$ = número de bolígrafos sencillos fabricados al día,
• $y$ = número de bolígrafos sofisticados fabricados al día.

Son cantidades de bolígrafos, así que $x\ge 0$ e $y\ge 0$ (y enteras).

Tabla de datos.

Función objetivo (ganancia en euros), que hay que maximizar:

Restricciones:

Región factible. Dibujamos las rectas frontera:

• $r_1:\ x + y = 2\,500$, que pasa por $(0,\,2\,500)$ y $(2\,500,\,0)$. El origen cumple $0\le 2\,500$: la región está en el semiplano que contiene al origen (por debajo de la recta).
• $r_2:\ x + 1{,}5y = 3\,000$, que pasa por $(0,\,2\,000)$ y $(3\,000,\,0)$. El origen cumple $0\le 3\,000$: también semiplano por debajo de la recta.
• $r_3:\ x = 2\,000$, recta vertical; $x\le 2\,000$ es el semiplano a su izquierda.
• $x\ge 0$, $y\ge 0$: primer cuadrante.

La región factible es el pentágono (acotado) limitado por los ejes y las tres rectas.

La región sombreada es la factible; su lado derecho, $AB$, está sobre la recta $x = 2\,000$.

Vértices.

• $O = (0,0)$.

• $A$: corte de $r_3$ con el eje $OX$: $A = (2\,000,\,0)$. (Los cortes de $r_1$ y $r_2$ con el eje $OX$, $(2\,500,0)$ y $(3\,000,0)$, no cumplen $x\le 2\,000$.)

• $B$: corte de $r_3$ y $r_1$: $x = 2\,000 \Rightarrow y = 2\,500 - 2\,000 = 500$, así que $B = (2\,000,\,500)$. Cumple el plástico: $2\,000 + 1{,}5\cdot 500 = 2\,750 \le 3\,000$. (El corte de $r_3$ con $r_2$, $(2\,000,\,666{,}\overline{6})$, no cumple la tinta: $2\,666{,}\overline{6} > 2\,500$.)

• $C$: corte de $r_1$ y $r_2$:

  $$\begin{cases} x + y = 2\,500\\ x + 1{,}5y = 3\,000\end{cases} \;\Rightarrow\; \text{restando: } 0{,}5y = 500,\quad y = 1\,000,\quad x = 2\,500 - 1\,000 = 1\,500 \;\Rightarrow\; C = (1\,500,\,1\,000).$$

  Cumple $x = 1\,500 \le 2\,000$.

• $D$: corte de $r_2$ con el eje $OY$: $x = 0 \Rightarrow 1{,}5y = 3\,000 \Rightarrow D = (0,\,2\,000)$. (El corte de $r_1$ con el eje, $(0,\,2\,500)$, no cumple el plástico: $3\,750 > 3\,000$.)

Valor de la función objetivo en los vértices. Como la región es acotada y no vacía, el máximo se alcanza en un vértice:

El máximo está en $C(1\,500,\,1\,000)$, que tiene coordenadas enteras, así que es una producción posible.

Comprobación. Con $1\,500$ sencillos y $1\,000$ sofisticados se gastan $1\,500 + 1\,000 = 2\,500$ unidades de tinta (todas) y $1\,500 + 1{,}5\cdot 1\,000 = 3\,000$ de plástico (todo), y $1\,500 \le 2\,000$ sencillos.

b) Ganancia máxima

Sustituimos el óptimo en la función objetivo:

a) ¿Es invertible $AB-2I$?

$A$ es de dimensión $3\times 2$ y $B$ de dimensión $2\times 3$, así que el producto $AB$ existe y es una matriz cuadrada de orden 3:

Por ejemplo, el elemento de la fila 3 y la columna 3 es $(-1)\cdot 0+3\cdot 3=9$. Restamos $2I$, es decir, restamos 2 a cada elemento de la diagonal principal:

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por la regla de Sarrus:

b) Ecuación matricial $A+2XC=B^t$

Primero despejamos $X$. Restamos $A$ en los dos miembros y dividimos entre 2:

Para quitar $C$ hay que multiplicar por la derecha por $C^{-1}$ (el producto de matrices no es conmutativo, así que el lado importa). $C^{-1}$ existe porque

Entonces $XCC^{-1}=X$ y

Cálculo de $C^{-1}$. Con la fórmula $C^{-1}=\dfrac{1}{|C|}(\operatorname{Adj} C)^t$: los adjuntos son $C_{11}=0$, $C_{12}=-1$, $C_{21}=-1$, $C_{22}=3$, así que

(Comprobación: $CC^{-1}=\begin{pmatrix} 3\cdot 0+1\cdot 1 & 3\cdot 1+1\cdot(-3)\\ 1\cdot 0+0\cdot 1 & 1\cdot 1+0\cdot(-3)\end{pmatrix}=I$.)

Cálculo de $B^t-A$.

Cálculo de $X$. $B^t-A$ es $3\times 2$ y $C^{-1}$ es $2\times 2$, luego $X$ es $3\times 2$:

Comprobación. $2XC=\begin{pmatrix} 0 & -2\\ 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 4 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, y sumando $A$ se obtiene $\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 4 & 2\\ 0 & 3\end{pmatrix}=B^t$.

c) Valores de $z$ para los que $CD=DC$

Calculamos los dos productos:

Dos matrices son iguales si coinciden elemento a elemento. Los elementos de la diagonal ya coinciden ($2=2$ y $-1=-1$); los de fuera de la diagonal dan la misma ecuación:

Comprobación: para $z=4$, $CD=DC=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$.

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional, así que está definida salvo donde se anula el denominador:

Por tanto,

Corte con el eje $Y$ ($x=0$, que está en el dominio): $f(0)=\dfrac{1}{(0-1)^2}=1$. Punto $(0,1)$.

Corte con el eje $X$ ($f(x)=0$): una fracción solo se anula si se anula el numerador, y el numerador es $1\neq 0$. No hay cortes con el eje $X$. De hecho, como el denominador es un cuadrado, $f(x)>0$ en todo el dominio: la gráfica queda entera por encima del eje $X$.

b) Asíntotas

Asíntotas verticales. Los candidatos son los puntos que no están en el dominio, $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$. En ellos el numerador vale $1$ y el denominador tiende a $0$ siendo siempre positivo (es un cuadrado), así que los dos límites laterales son $+\infty$:

Hay dos asíntotas verticales: $x=\frac{\sqrt3}{3}$ y $x=-\frac{\sqrt3}{3}$, y en ambas la función sube a $+\infty$ por los dos lados.

Asíntota horizontal. El numerador tiene grado $0$ y el denominador, $(3x^2-1)^2=9x^4-6x^2+1$, grado $4$:

Hay asíntota horizontal $y=0$ tanto en $+\infty$ como en $-\infty$. Como $f(x)>0$, la gráfica se acerca a ella por encima.

(Al haber asíntota horizontal en los dos extremos, no puede haber asíntotas oblicuas.)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Escribimos $f(x)=(3x^2-1)^{-2}$ y derivamos con la regla de la cadena:

$f'(x)=0 \iff -12x=0 \iff x=0$. El signo de $f'$ puede cambiar en $x=0$ y en los puntos que no están en el dominio, $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$. El signo del denominador $(3x^2-1)^3$ es el de $3x^2-1$: positivo si $|x|>\frac{\sqrt3}{3}$ y negativo si $|x|<\frac{\sqrt3}{3}$.

Comprobación con un valor de cada intervalo: $f'(-1)=\frac{12}{8}=\frac32>0$, $f'\!\left(-\frac14\right)=-\frac{12288}{2197}<0$, $f'\!\left(\frac14\right)=\frac{12288}{2197}>0$ y $f'(1)=-\frac32<0$.

d) Máximos y mínimos locales

Los extremos locales solo pueden estar donde $f'(x)=0$ (en los puntos que no son del dominio no hay extremos), es decir, en $x=0$. Según la tabla del apartado c), a la izquierda de $0$ (en $\left]-\frac{\sqrt3}{3},0\right[$) la función decrece y a la derecha (en $\left]0,\frac{\sqrt3}{3}\right[$) crece, así que en $x=0$ hay un mínimo relativo, de valor $f(0)=1$.

Los cambios de crecimiento a decrecimiento en $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$ no son máximos: allí la función no está definida y tiende a $+\infty$ (asíntotas verticales).

e) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Dominio: $\mathbb{R}$ salvo $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}\approx\pm0{,}577$; función par y siempre positiva.
• Corta a los ejes solo en $(0,1)$.
• Asíntotas verticales $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$, con $f\to+\infty$ a ambos lados; asíntota horizontal $y=0$ en $\pm\infty$, por encima.
• Crece en $\left]-\infty,-\frac{\sqrt3}{3}\right[$ y en $\left]0,\frac{\sqrt3}{3}\right[$; decrece en $\left]-\frac{\sqrt3}{3},0\right[$ y en $\left]\frac{\sqrt3}{3},+\infty\right[$.
• Mínimo relativo en $(0,1)$.

Algunos valores para afinar el dibujo: $f(\pm1)=\frac14$, $f(\pm2)=\frac{1}{121}\approx0{,}008$, $f\!\left(\pm\frac12\right)=16$.

La gráfica tiene tres ramas: en el centro, entre las dos asíntotas verticales, una «U» con el mínimo en $(0,1)$ que sube a $+\infty$ al acercarse a $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$; a cada lado, una rama que baja desde $+\infty$ (junto a la asíntota vertical) hacia el eje $X$ sin llegar a tocarlo.

Llamamos $x$ a los kilos de abono aplicados. Como es una cantidad de abono, solo tienen sentido los valores $x\geq 0$. Los ingresos, en euros, son

a) Abono que maximiza los ingresos

$I$ es una función polinómica, derivable en todo su dominio. Buscamos los puntos críticos:

$x=30$ está en el dominio ($x\geq 0$). Para justificar que es un máximo usamos la segunda derivada:

Además es el máximo absoluto en $[0,+\infty)$: $I'(x)>0$ si $0\leq x<30$ (los ingresos crecen) e $I'(x)<0$ si $x>30$ (decrecen). Gráficamente, $I$ es una parábola abierta hacia abajo y $x=30$ es la abscisa de su vértice.

Los ingresos máximos son

b) Abono que maximiza los beneficios

Si cada kilo de abono cuesta 12 €, el coste de $x$ kilos es $C(x)=12x$ euros. El beneficio es ingresos menos costes:

Derivamos e igualamos a cero:

Comprobamos que es un máximo:

y también absoluto en $[0,+\infty)$, porque $B'(x)>0$ para $0\leq x<24$ y $B'(x)<0$ para $x>24$.

El beneficio máximo es

c) Cantidades de abono con beneficios positivos

Hay que resolver la inecuación $B(x)>0$ con $x\geq 0$:

Buscamos las raíces de $x^2-48x-100=0$:

Por tanto $x^2-48x-100=(x+2)(x-50)$. Este producto es negativo exactamente cuando $x$ está entre las raíces (dicho de otro modo, la parábola $B$, abierta hacia abajo, es positiva entre sus raíces). Lo comprobamos con una tabla de signos:

Así, $B(x)>0 \iff -2<x<50$. Como $x\geq 0$, las cantidades válidas son $0\leq x<50$. En $x=50$ el beneficio es nulo, $B(50)=-2500+2400+100=0$, y a partir de 50 kilos hay pérdidas.

Definimos los sucesos, para el estudiante elegido al azar entre los 400 del instituto:

• $E$ = «el estudiante está en ESO»; su contrario, $\overline{E}$, es «está en Bachillerato»;
• $F$ = «ha escogido fútbol», $B$ = «ha escogido baloncesto», $M$ = «ha escogido música».

Como cada estudiante escoge exactamente una extraescolar, $F$, $B$ y $M$ son incompatibles dos a dos y su unión es todo el instituto. Como el estudiante se elige al azar, usamos la regla de Laplace: $P(\text{suceso})=\dfrac{\text{casos favorables}}{400}$.

Con los datos del enunciado completamos una tabla de contingencia (las casillas en negrita se deducen restando):

En efecto:

• ESO y música: $310-230-60=20$.
• Bachillerato: $400-310=90$ estudiantes.
• Bachillerato y fútbol: $300-230=70$.
• Bachillerato y baloncesto: $90-70-8=12$.
• Totales: baloncesto $60+12=72$, música $20+8=28$, y se comprueba que $300+72+28=400$.

a) Probabilidad de la unión «está en ESO» o «ha escogido música»

Por la fórmula de la probabilidad de la unión,

Comprobación con la tabla: la unión son los 310 estudiantes de ESO más los 8 de Bachillerato que han escogido música, $310+8=318$ casos favorables.

b) Ha escogido una extraescolar deportiva: probabilidad de que esté en ESO

Sea $D=F\cup B$ = «ha escogido una extraescolar deportiva», que es el contrario de $M$:

O bien, sumando directamente: $\dfrac{300+72}{400}=\dfrac{372}{400}$.

Los estudiantes de ESO que han escogido una deportiva son $230+60=290$, así que $P(E\cap D)=\dfrac{290}{400}$. Se pide la probabilidad condicionada

Con la tabla se ve directamente: de los 372 estudiantes que han escogido fútbol o baloncesto, 290 están en ESO.

c) ¿Son independientes «está en Bachillerato» y «no ha escogido baloncesto»?

Dos sucesos son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades. Aquí los sucesos son $\overline{E}$ y $\overline{B}$:

Como solo hay tres extraescolares, «no ha escogido baloncesto» equivale a «ha escogido fútbol o música». Así, la intersección $\overline{E}\cap\overline{B}$ son los estudiantes de Bachillerato que han escogido fútbol o música: $70+8=78$ (también: los 90 de Bachillerato menos los 12 que han escogido baloncesto, $90-12=78$), es decir,

Por otra parte,

Estos decimales son exactos (no hay redondeo), así que la diferencia $0{,}195-0{,}1845=0{,}0105$ es real. Por tanto, los sucesos no son independientes.

Definimos los sucesos, para una res elegida al azar entre las 600 de la explotación:

• $A$: «la res fue vacunada por el método A»;
• $B$: «la res fue vacunada por el método B»;
• $N$: «la res no fue vacunada»;
• $R$: «la res tuvo problemas respiratorios en los cuatro meses siguientes».

Los sucesos $A$, $B$ y $N$ forman un sistema completo de sucesos (son incompatibles dos a dos y entre los tres cubren todas las reses). Como $600-250-250=100$ reses no fueron vacunadas,

Los porcentajes del enunciado son probabilidades condicionadas:

y, por el suceso contrario, $P(\overline{R}\mid A)=0{,}7$, $P(\overline{R}\mid B)=0{,}8$, $P(\overline{R}\mid N)=0{,}4$.

Todo ello se resume en la siguiente tabla, equivalente al diagrama de árbol:

a) Probabilidad de que la res haya tenido problemas respiratorios

Por el teorema de la probabilidad total, con el sistema completo $\{A, B, N\}$:

Comprobación contando reses: tuvieron problemas $0{,}3\cdot 250+0{,}2\cdot 250+0{,}6\cdot 100=75+50+60=185$ reses, y $\dfrac{185}{600}=\dfrac{37}{120}$.

b) Probabilidad de que una res sin problemas respiratorios haya sido vacunada por el método B

Nos piden $P(B\mid \overline{R})$. Primero, por el suceso contrario,

Por la regla del producto, $P(B\cap\overline{R})=P(B)\,P(\overline{R}\mid B)=\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}8=\dfrac{1}{3}$. Aplicando el teorema de Bayes (es decir, la definición de probabilidad condicionada):

Comprobación contando reses: no tuvieron problemas $600-185=415$ reses, de las cuales $0{,}8\cdot 250=200$ fueron vacunadas por el método B; $\dfrac{200}{415}=\dfrac{40}{83}$.

c) Probabilidad de «no vacunada» y «con problemas respiratorios»

Nos piden $P(N\cap R)$. Por la regla del producto:

Comprobación contando reses: $60$ de las $600$ reses no fueron vacunadas y tuvieron problemas, y $\dfrac{60}{600}=0{,}1$.