PAU MACS II Comunitat Valenciana 2025 julio – resuelto (PDF)

Ejercicio 1.1 · Problema 1.A

Enunciado

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Una agencia de viajes organiza excursiones a la montaña y a la playa. La agencia obtiene 700 euros de beneficio por cada excursión a la montaña y 500 euros por cada excursión a la playa. La agencia dispone de un total de 10 autobuses y 8 guías turísticos para las excursiones. Cada excursión a la montaña requiere 2 autobuses y 2 guías, mientras que cada excursión a la playa requiere 2 autobuses y 1 guía.

a) ¿Cuántas excursiones a la montaña y cuántas a la playa tiene que organizar la agencia para obtener el máximo beneficio posible? (3 puntos)

b) ¿Cuál es dicho beneficio máximo? (0,5 puntos)

Solución

a) Planteamiento y solución óptima

Variables. Llamamos

$x$ = número de excursiones a la montaña,
$y$ = número de excursiones a la playa.

Son números enteros no negativos: $x, y \in \{0, 1, 2, \dots\}$ (en particular, $x\ge 0$ , $y\ge 0$ ).

Tabla de datos.

	Montaña ( $x$ )	Playa ( $y$ )	Disponible
Autobuses	2	2	10
Guías	2	1	8
Beneficio (€)	700	500

Función objetivo (beneficio en euros), que hay que maximizar:

F(x,y) = 700x + 500y

Restricciones (a la derecha, la primera dividida entre 2, que es positivo y no cambia el sentido de la desigualdad):

\begin{cases} 2x + 2y \le 10 & \text{(autobuses)}\\ 2x + y \le 8 & \text{(guías)}\\ x \ge 0,\; y \ge 0 \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} x + y \le 5\\ 2x + y \le 8\\ x \ge 0,\; y \ge 0 \end{cases}

Región factible. Dibujamos las rectas frontera. Para saber qué semiplano cumple cada desigualdad, se prueba un punto que no esté en la recta; el origen es el más cómodo.

$r_1:\ x + y = 5$ , que pasa por $(0,5)$ y $(5,0)$ . El origen cumple $0+0\le 5$ , así que la región está en el semiplano que contiene al origen (por debajo de la recta).
$r_2:\ 2x + y = 8$ , que pasa por $(0,8)$ y $(4,0)$ . El origen cumple $0\le 8$ : también semiplano por debajo de la recta.
$x\ge 0$ , $y\ge 0$ : primer cuadrante.

La región factible es el cuadrilátero (acotado) limitado por los ejes y las dos rectas.

Cargando la gráfica…

Rectas x + y = 5 y 2x + y = 8 en el primer cuadrante. La región factible es el cuadrilátero de vértices O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2) y C(0, 5), por debajo de ambas rectas. La recta de nivel 700x + 500y = 3100 toca la región solo en el vértice B(3, 2). Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Vértices.

$O = (0,0)$ .
$A$ : corte de $r_2$ con el eje $OX$ : $y=0 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow A=(4,0)$ . (El corte de $r_1$ con el eje, $(5,0)$ , no cumple $2x+y\le 8$ , porque $10>8$ .)
$B$ : corte de $r_1$ y $r_2$ :
$\begin{cases} x + y = 5\\ 2x + y = 8\end{cases} \;\Rightarrow\; \text{restando: } x = 3,\quad y = 5 - 3 = 2 \;\Rightarrow\; B=(3,2).$
$C$ : corte de $r_1$ con el eje $OY$ : $x=0 \Rightarrow y=5 \Rightarrow C=(0,5)$ . (El corte de $r_2$ con el eje, $(0,8)$ , no cumple $x+y\le 5$ .)

Valor de la función objetivo en los vértices. Como la región es acotada, el máximo se alcanza en un vértice:

Vértice	$F(x,y) = 700x + 500y$
$O(0,0)$	$0$
$A(4,0)$	$2800$
$B(3,2)$	$700\cdot 3 + 500\cdot 2 = 3100$
$C(0,5)$	$2500$

El máximo está en $B(3,2)$ , que tiene coordenadas enteras, así que es una solución válida del problema (no se pueden organizar fracciones de excursión).

Comprobación. Con 3 excursiones a la montaña y 2 a la playa se usan $2\cdot 3 + 2\cdot 2 = 10$ autobuses (todos) y $2\cdot 3 + 1\cdot 2 = 8$ guías (todos): se cumplen ambas restricciones.

Respuesta

La agencia debe organizar 3 excursiones a la montaña y 2 excursiones a la playa.

b) Beneficio máximo

Sustituimos el óptimo en la función objetivo $F$ :

F(3,2) = 700\cdot 3 + 500\cdot 2 = 2100 + 1000 = 3100 \text{ euros}.

Respuesta

El beneficio máximo es de 3100 euros, con 3 excursiones a la montaña y 2 a la playa.

Ejercicio 1.2 · Problema 1.B

Enunciado

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. B. Sean las matrices

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ -1 & 0 & -1\end{pmatrix}\quad\text{y}\quad C=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 4 & 2 & 0\end{pmatrix}.

a) Determina la matriz $X$ que es solución de la ecuación $2XA+B^tC=I$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 3 y $B^t$ la traspuesta de la matriz $B$ . (2,5 puntos)

b) Consideremos la matriz $D=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & z\end{pmatrix}$ . Calcula para qué valores de $z$ la matriz $AD$ es diagonal. (1 punto)

Solución

a) Resolución de la ecuación $2XA+B^tC=I$

Tamaño de $X$ . Como $I$ es de orden 3 y $A$ es $3\times 3$ , la matriz $2XA$ debe ser $3\times 3$ . Por tanto, $X$ tiene que ser $3\times 3$ .

$A$ es invertible. Desarrollando por la primera columna:

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 3 & 0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0\end{vmatrix}=1\cdot(0+6)=6\neq 0,

luego existe $A^{-1}$ .

Despejamos $X$ . Pasamos $B^tC$ al otro miembro:

2XA=I-B^tC.

Puesto que existe $A^{-1}$ , multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ (el producto de matrices no es conmutativo, así que el lado importa). Como $AA^{-1}=I$ y $2XI=2X$ , queda

2XAA^{-1}=(I-B^tC)A^{-1}\;\Longrightarrow\; 2X=(I-B^tC)A^{-1}\;\Longrightarrow\; X=\frac{1}{2}\,(I-B^tC)\,A^{-1}.

Cálculo de $A^{-1}$ . Cada adjunto $A_{ij}$ es el menor que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$ , con el signo que indica la regla

\begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & +\end{pmatrix}.

Los adjuntos de $A$ son

A_{11}=\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0\end{vmatrix}=6,\quad A_{12}=-\begin{vmatrix} 0 & -2\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0,\quad A_{13}=\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix}=0,

A_{21}=-\begin{vmatrix} 0 & 2\\ 3 & 0\end{vmatrix}=6,\quad A_{22}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0,\quad A_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3\end{vmatrix}=-3,

A_{31}=\begin{vmatrix} 0 & 2\\ 1 & -2\end{vmatrix}=-2,\quad A_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & -2\end{vmatrix}=2,\quad A_{33}=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1.

Así,

\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\ 6 & 0 & -3\\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac{1}{|A|}\big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 6 & 6 & -2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -\frac{1}{3}\\[2pt] 0 & 0 & \frac{1}{3}\\[2pt] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6}\end{pmatrix}.

Comprobación: $A\cdot A^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 6 & -2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}=I\ \checkmark$

Cálculo de $B^tC$ . $B^t$ es $3\times 2$ y $C$ es $2\times 3$ , así que $B^tC$ es $3\times 3$ :

B^tC=\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 4 & 2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3-4 & 0-2 & 3+0\\ -1+0 & 0+0 & 1+0\\ 0-4 & 0-2 & 0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & -2 & 3\\ -1 & 0 & 1\\ -4 & -2 & 0\end{pmatrix}.

Por tanto,

I-B^tC=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -7 & -2 & 3\\ -1 & 0 & 1\\ -4 & -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 2 & -3\\ 1 & 1 & -1\\ 4 & 2 & 1\end{pmatrix}.

Cálculo de $X$ . Para no arrastrar fracciones, multiplicamos por la matriz entera $6A^{-1}$ y dejamos el factor $\frac16$ fuera. Por ejemplo, la primera fila sale de

8\cdot 6+2\cdot 0+(-3)\cdot 0=48,\quad 8\cdot 6+2\cdot 0+(-3)(-3)=57,\quad 8\cdot(-2)+2\cdot 2+(-3)\cdot 1=-15,

y las demás filas se calculan igual:

(I-B^tC)\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 8 & 2 & -3\\ 1 & 1 & -1\\ 4 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 6 & 6 & -2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 48 & 57 & -15\\ 6 & 9 & -1\\ 24 & 21 & -3\end{pmatrix},

Como $X=\frac12(I-B^tC)A^{-1}$ , dividimos además entre 2, es decir, multiplicamos por $\frac{1}{12}$ :

X=\frac{1}{12}\begin{pmatrix} 48 & 57 & -15\\ 6 & 9 & -1\\ 24 & 21 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & \frac{19}{4} & -\frac{5}{4}\\[2pt] \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{12}\\[2pt] 2 & \frac{7}{4} & -\frac{1}{4}\end{pmatrix}.

Comprobación. $2X=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 48 & 57 & -15\\ 6 & 9 & -1\\ 24 & 21 & -3\end{pmatrix}$ y

2XA=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 48 & 57 & -15\\ 6 & 9 & -1\\ 24 & 21 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 48 & 12 & -18\\ 6 & 6 & -6\\ 24 & 12 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 2 & -3\\ 1 & 1 & -1\\ 4 & 2 & 1\end{pmatrix}=I-B^tC\ \checkmark

Respuesta

X=\begin{pmatrix} 4 & \frac{19}{4} & -\frac{5}{4}\\[2pt] \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{12}\\[2pt] 2 & \frac{7}{4} & -\frac{1}{4}\end{pmatrix}

, es decir,

X=\dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 48 & 57 & -15\\ 6 & 9 & -1\\ 24 & 21 & -3\end{pmatrix}

.

b) Valores de $z$ para los que $AD$ es diagonal

Calculamos el producto (ambas son $3\times 3$ ):

AD=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1+2z\\ 0 & 0 & 1-2z\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}.

Una matriz cuadrada es diagonal cuando todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos. En $AD$ las dos primeras columnas ya tienen ceros fuera de la diagonal, y el elemento $(3,3)$ está en la diagonal. Solo importan los elementos $(1,3)$ y $(2,3)$ :

\begin{cases} -1+2z=0\\ 1-2z=0\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; z=\frac{1}{2}.

Las dos condiciones son la misma ecuación, así que hay solución. Para $z=\frac12$ :

AD=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix},

que es diagonal. Para cualquier otro valor de $z$ los elementos $(1,3)$ y $(2,3)$ son no nulos y $AD$ no es diagonal.

Respuesta

AD

es diagonal únicamente para

z=\dfrac{1}{2}

, y entonces

AD=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}

.

Ejercicio 2.1 · Problema 2.A

Enunciado

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. Una empresa que fabrica neumáticos para coches ha estudiado su desgaste, medido en una escala de 0 a 1, en función del tiempo de uso. La empresa fabrica dos tipos de neumáticos: A y B. Para un neumático A, su desgaste $D_A$ tras $x$ meses de uso, para $x$ entre 0 y 50, viene dado por la función $D_A(x)=\dfrac{1}{100}+\dfrac{29x}{3000}$ . Por su parte, el desgaste $D_B$ para un neumático B tras $x$ meses de uso, para $x$ entre 0 y 50, viene dado por la función $D_B(x)=\dfrac{x^2}{3000}$ .

a) Determina el número de meses para el cual el desgaste es el mismo para los dos tipos de neumáticos. (1 punto)

b) Determina para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el neumático A y para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el B. (1 punto)

c) Calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el neumático A, y calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el B. (1,5 puntos)

Solución

a) Mes en que el desgaste es el mismo

Buscamos $x\in[0,50]$ con $D_A(x)=D_B(x)$ :

\frac{1}{100}+\frac{29x}{3000}=\frac{x^2}{3000}.

Multiplicamos los dos miembros por $3000$ :

30+29x=x^2 \iff x^2-29x-30=0 \iff x=\frac{29\pm\sqrt{29^2+4\cdot 30}}{2}=\frac{29\pm\sqrt{961}}{2}=\frac{29\pm 31}{2}.

Las soluciones son $x=30$ y $x=-1$ . La segunda no está en el dominio $[0,50]$ (el tiempo de uso no puede ser negativo), así que solo vale $x=30$ .

Comprobación: $D_A(30)=\dfrac{1}{100}+\dfrac{29\cdot 30}{3000}=0{,}01+0{,}29=0{,}3$ y $D_B(30)=\dfrac{900}{3000}=0{,}3$ .

Respuesta

El desgaste es el mismo para los dos neumáticos a los

x=30

meses de uso (en ambos vale

0{,}3

).

b) Intervalos en los que cada desgaste es menor

Estudiamos el signo de la diferencia en $[0,50]$ :

D_A(x)-D_B(x)=\frac{30+29x-x^2}{3000}=\frac{-(x-30)(x+1)}{3000}.

En $[0,50]$ el factor $x+1$ es siempre positivo, así que el signo de $D_A-D_B$ es el de $-(x-30)=30-x$ :

Intervalo	$[0,30)$	$x=30$	$(30,50]$
Signo de $D_A-D_B$	$+$	$0$	$-$
Menor desgaste	B	iguales	A

Comprobación con un valor de cada intervalo: $D_A(10)=\frac{8}{75}\approx 0{,}107>D_B(10)=\frac{1}{30}\approx 0{,}033$ , y $D_A(40)=\frac{119}{300}\approx 0{,}397 < D_B(40)=\frac{8}{15}\approx 0{,}533$ .

Cargando la gráfica…

Las dos funciones de desgaste en [0, 50]: la recta D_A empieza en 0,01 y llega a 0,49; la parábola D_B empieza en 0 y llega a 0,83. Se cortan en x = 30, donde ambas valen 0,3. Antes de 30 la parábola queda por debajo; después, la recta. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

El desgaste del neumático B es menor durante los primeros 30 meses,

x\in[0,30)

; el del neumático A es menor entre los 30 y los 50 meses,

x\in(30,50]

. En

x=30

son iguales.

c) Áreas entre las dos funciones

Para calcular el área tomamos intervalos cerrados: el extremo $x=30$ es un solo punto y no cambia el valor de la integral. En la gráfica del apartado b), en $[0,30]$ la recta $D_A$ va por encima de la parábola $D_B$ , y en $[30,50]$ es al revés. Llamamos $S_A$ al área del tramo en que A desgasta menos y $S_B$ a la del tramo en que B desgasta menos.

Intervalo en que el desgaste de A es menor: $[30,50]$ . Ahí $D_B\ge D_A$ , luego

S_A=\int_{30}^{50}\big(D_B(x)-D_A(x)\big)\,dx=\frac{1}{3000}\int_{30}^{50}\left(x^2-29x-30\right)dx=\frac{1}{3000}\left[\frac{x^3}{3}-\frac{29x^2}{2}-30x\right]_{30}^{50}.

En $x=50$ : $\dfrac{125000}{3}-36250-1500=\dfrac{125000}{3}-37750=\dfrac{125000-113250}{3}=\dfrac{11750}{3}$ . En $x=30$ : $\dfrac{27000}{3}-\dfrac{29\cdot 900}{2}-900=9000-13050-900=-4950$ . Por tanto

S_A=\frac{1}{3000}\left(\frac{11750}{3}-(-4950)\right)=\frac{1}{3000}\cdot\frac{26600}{3}=\frac{133}{45}\approx 2{,}96\ \text{u}^2.

Intervalo en que el desgaste de B es menor: $[0,30]$ . Ahí $D_A\ge D_B$ , luego

S_B=\int_{0}^{30}\big(D_A(x)-D_B(x)\big)\,dx=\frac{1}{3000}\left[30x+\frac{29x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{30}=\frac{900+13050-9000}{3000}=\frac{4950}{3000}=\frac{33}{20}=1{,}65\ \text{u}^2.

Las áreas se dan en unidades cuadradas del gráfico (desgaste × mes): miden la diferencia de desgaste acumulada a lo largo del tiempo, no una diferencia de desgaste, que nunca supera 1.

Respuesta

En el intervalo

[30,50]

, donde el desgaste de A es menor, el área entre las curvas es

\dfrac{133}{45}\approx 2{,}96

u². En el intervalo

[0,30]

, donde el desgaste de B es menor, el área es

\dfrac{33}{20}=1{,}65

u².

Ejercicio 2.2 · Problema 2.B

Enunciado

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. B. Se considera la función:

f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1+x^2}{x(2x+4)+2}

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (0,5 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)

Solución

Antes de nada conviene simplificar la expresión. El denominador es

x(2x+4)+2 = 2x^2+4x+2 = 2(x^2+2x+1) = 2(x+1)^2,

así que, reduciendo a común denominador,

f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1+x^2}{2(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-(1+x^2)}{2(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+1-1-x^2}{2(x+1)^2}=\frac{2x}{2(x+1)^2}=\frac{x}{(x+1)^2}.

El único factor cancelado es la constante $2$ , que nunca se anula. Por tanto, $f(x)$ y $\dfrac{x}{(x+1)^2}$ coinciden en todo su dominio, $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ , y trabajaremos con

f(x)=\frac{x}{(x+1)^2},\qquad x\neq -1.

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

Es una función racional: está definida salvo donde se anula el denominador.

x(2x+4)+2=2(x+1)^2=0 \iff x=-1.

Es el denominador de la expresión original del enunciado, así que simplificar no cambia el dominio:

\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Corte con el eje $OY$ ( $x=0$ , que está en el dominio): $f(0)=\dfrac{0}{1}=0$ . Punto $(0,0)$ .

Cortes con el eje $OX$ ( $f(x)=0$ ): $\dfrac{x}{(x+1)^2}=0 \iff x=0$ . Punto $(0,0)$ .

Respuesta

\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}

. La gráfica corta a los dos ejes únicamente en el origen,

(0,0)

.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntotas verticales. El único candidato es $x=-1$ , que anula el denominador pero no el numerador (vale $-1$ ). Calculamos los límites laterales. El numerador tiende a $-1$ , y el denominador tiende a $0$ con valores positivos por los dos lados, porque es un cuadrado: $(x+1)^2>0$ para todo $x\neq-1$ . Por eso los dos límites laterales coinciden:

\lim_{x\to -1^-}\frac{x}{(x+1)^2}=\frac{-1}{0^+}=-\infty,\qquad \lim_{x\to -1^+}\frac{x}{(x+1)^2}=\frac{-1}{0^+}=-\infty.

Por tanto $x=-1$ es asíntota vertical, y la función tiende a $-\infty$ por ambos lados.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2). Dividiendo numerador y denominador entre $x^2$ :

\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x}{x^2+2x+1}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{0}{1}=0.

Así, $y=0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$ . Para la gráfica es útil saber la posición: si $x>0$ , $f(x)>0$ (la curva queda por encima de la asíntota); si $x<0$ , $f(x)<0$ (queda por debajo).

Respuesta

Asíntota vertical:

x=-1

, con

\displaystyle\lim_{x\to-1^{\pm}}f(x)=-\infty

. Asíntota horizontal:

y=0

(en

+\infty

y en

-\infty

). Como

f

tiene asíntota horizontal en

+\infty

y en

-\infty

, no tiene asíntotas oblicuas.

c) Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

Derivamos $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2}$ con la regla del cociente:

f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)^2-x\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{(x+1)\big[(x+1)-2x\big]}{(x+1)^4}=\frac{(x+1)(1-x)}{(x+1)^4}=\frac{1-x}{(x+1)^3},\qquad x\neq -1.

Puntos críticos: $f'(x)=0 \iff 1-x=0 \iff x=1$ . Además, los intervalos de estudio deben separarse en $x=-1$ , que no pertenece al dominio.

Estudiamos el signo de $f'$ (el numerador $1-x$ cambia de signo en $x=1$ y el denominador $(x+1)^3$ tiene el signo de $x+1$ ):

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,1)$	$(1,+\infty)$
$1-x$	$+$	$+$	$-$
$(x+1)^3$	$-$	$+$	$+$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$
$f$	decreciente ↘	creciente ↗	decreciente ↘

(Comprobación con valores de prueba: $f'(-2)=-3$ , $f'(0)=1$ , $f'(2)=-\tfrac{1}{27}$ .)

En $x=1$ la derivada pasa de positiva a negativa: hay un máximo local, de valor $f(1)=\dfrac{1}{(1+1)^2}=\dfrac14$ .
En $x=-1$ también cambia el signo de $f'$ , pero no es un extremo: $x=-1$ no pertenece al dominio (allí está la asíntota vertical).
No hay mínimos locales.

Respuesta

f

es decreciente en

(-\infty,-1)

y en

(1,+\infty)

, y creciente en

(-1,1)

. Tiene un máximo local en

\left(1,\tfrac14\right)

y no tiene mínimos locales.

d) Representación gráfica

Reunimos la información de los apartados anteriores:

Dominio $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ ; asíntota vertical $x=-1$ con $f\to-\infty$ por los dos lados.
Asíntota horizontal $y=0$ : la curva se acerca a ella por debajo cuando $x\to-\infty$ y por encima cuando $x\to+\infty$ .
Pasa por el origen $(0,0)$ , único corte con los ejes.
Decrece en $(-\infty,-1)$ , crece en $(-1,1)$ hasta el máximo $\left(1,\tfrac14\right)$ y luego decrece hacia $0$ .
Algunos valores de apoyo: $f(-3)=-\tfrac34$ , $f(-2)=-2$ , $f\!\left(-\tfrac12\right)=-2$ , $f(3)=\tfrac{3}{16}$ .

Cargando la gráfica…

Gráfica de f(x) = x/(x+1)^2: asíntota vertical x = −1, donde la función tiende a menos infinito por ambos lados, y asíntota horizontal y = 0. Decrece hasta x = −1, crece de −1 a 1, pasando por el origen, alcanza el máximo (1, 1/4) y después decrece acercándose a 0 por encima. Se marcan los puntos de apoyo (−3, −3/4), (−2, −2), (−1/2, −2) y (3, 3/16). Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

La gráfica tiene dos ramas: a la izquierda de

x=-1

baja desde la asíntota

y=0

(por debajo de ella) hasta

-\infty

; a la derecha sube desde

-\infty

, pasa por el origen, alcanza el máximo

\left(1,\tfrac14\right)

y vuelve a acercarse a

y=0

por encima.

Ejercicio 3 · Problema 3

Enunciado

Apartado 3. Responda el único problema de este apartado.

Problema 3. Una ciudad está implementando un programa de sostenibilidad ambiental. Como parte de este programa, los residentes tienen la opción de participar en dos actividades: limpieza de parques y plantación de árboles. Para evaluar el impacto de esta iniciativa, se realizó una encuesta a 2.000 ciudadanos, de los cuales 800 participaron en la limpieza de parques, 1.400 en la plantación de árboles, 300 en las dos actividades y 100 en ninguna de ellas. Seleccionamos al azar a uno de estos ciudadanos.

a) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en al menos una de las dos actividades. (0,75 puntos)

b) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en limpieza de parques, pero no en plantación de árboles. (0,75 puntos)

c) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en exactamente una de las dos actividades. (0,75 puntos)

d) Si el ciudadano seleccionado no ha participado en la plantación de árboles, calcula la probabilidad de que tampoco haya participado en la limpieza de parques. (0,75 puntos)

Solución

Definimos los sucesos, para el ciudadano elegido al azar entre los 2.000 encuestados:

$L$ = «participa en la limpieza de parques»,
$A$ = «participa en la plantación de árboles».

Como el ciudadano se elige al azar, todos son igualmente probables y podemos usar la regla de Laplace: $P(\text{suceso})=\dfrac{\text{casos favorables}}{2\,000}$ . Con los datos del enunciado completamos una tabla de contingencia (las casillas en negrita se deducen restando). En la PAU, la tabla es la vía más rápida: cada apartado se lee en ella, y las fórmulas sirven de comprobación.

	$A$	$\overline{A}$	Total
$L$	300	500	800
$\overline{L}$	1.100	100	1.200
Total	1.400	600	2.000

Por ejemplo, $|L\cap\overline{A}|=800-300=500$ , $|\overline{L}\cap A|=1\,400-300=1\,100$ y $|\overline{A}|=2\,000-1\,400=600$ . Los datos son coherentes: $500+100=600$ ciudadanos no plantan árboles.

Así,

P(L)=\frac{800}{2\,000}=0{,}4,\qquad P(A)=\frac{1\,400}{2\,000}=0{,}7,\qquad P(L\cap A)=\frac{300}{2\,000}=0{,}15.

a) Al menos una de las dos actividades

«Al menos una» es la unión $L\cup A$ . Por la fórmula de la probabilidad de la unión:

P(L\cup A)=P(L)+P(A)-P(L\cap A)=0{,}4+0{,}7-0{,}15=0{,}95.

Comprobación: es el suceso contrario de «ninguna de las dos», $\overline{L}\cap\overline{A}$ , que tiene 100 casos:

P(L\cup A)=1-P(\overline{L}\cap\overline{A})=1-\frac{100}{2\,000}=1-0{,}05=0{,}95.

Respuesta

P(L\cup A)=0{,}95

.

b) Limpieza de parques, pero no plantación de árboles

El suceso es $L\cap\overline{A}$ . Como $L=(L\cap A)\cup(L\cap\overline{A})$ , unión de sucesos incompatibles,

P(L\cap\overline{A})=P(L)-P(L\cap A)=0{,}4-0{,}15=0{,}25,

que coincide con la tabla: $\dfrac{500}{2\,000}=0{,}25$ .

Respuesta

P(L\cap\overline{A})=0{,}25

.

c) Exactamente una de las dos actividades

«Exactamente una» es la unión de los sucesos incompatibles $L\cap\overline{A}$ y $\overline{L}\cap A$ :

P(\overline{L}\cap A)=P(A)-P(L\cap A)=0{,}7-0{,}15=0{,}55,

P\big((L\cap\overline{A})\cup(\overline{L}\cap A)\big)=0{,}25+0{,}55=0{,}8.

Comprobaciones: con la tabla, $\dfrac{500+1\,100}{2\,000}=\dfrac{1\,600}{2\,000}=0{,}8$ ; o bien $P(L\cup A)-P(L\cap A)=0{,}95-0{,}15=0{,}8$ (los que hacen al menos una menos los que hacen las dos).

Respuesta

La probabilidad de que participe en exactamente una actividad es

0{,}8

.

d) No ha plantado árboles: probabilidad de que tampoco haya limpiado parques

Se pide la probabilidad condicionada $P(\overline{L}\mid\overline{A})$ . Con la tabla se ve directamente: de los 600 ciudadanos que no participaron en la plantación de árboles, 100 tampoco participaron en la limpieza de parques, así que la probabilidad es $\dfrac{100}{600}=\dfrac{1}{6}$ . Con la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(\overline{L}\mid\overline{A})=\frac{P(\overline{L}\cap\overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{0{,}05}{0{,}3}=\frac{1}{6}.

Respuesta

P(\overline{L}\mid\overline{A})=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}17

(valor exacto:

1/6

).

Ejercicio 1.1 · Problema 1.A

a) Planteamiento y solución óptima

b) Beneficio máximo

Ejercicio 1.2 · Problema 1.B

a) Resolución de la ecuación 2XA+BtC=I2XA+B^tC=I2XA+BtC=I

b) Valores de zzz para los que ADADAD es diagonal

Ejercicio 2.1 · Problema 2.A

a) Mes en que el desgaste es el mismo

b) Intervalos en los que cada desgaste es menor

c) Áreas entre las dos funciones

Ejercicio 2.2 · Problema 2.B

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

b) Asíntotas horizontales y verticales

c) Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

d) Representación gráfica

Ejercicio 3 · Problema 3

a) Al menos una de las dos actividades

b) Limpieza de parques, pero no plantación de árboles

c) Exactamente una de las dos actividades

d) No ha plantado árboles: probabilidad de que tampoco haya limpiado parques

a) Resolución de la ecuación $2XA+B^tC=I$

b) Valores de $z$ para los que $AD$ es diagonal