PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2023 junio – resuelto (PDF)

Ejercicio 1 · Problema 1

Enunciado

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&m&1\\0&3&0\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}m\\0\\9\end{pmatrix}$ :

a) Estudiar cuándo la ecuación matricial $A^2X=B$ tiene solución en función del parámetro real $m$ . (4 puntos)

b) Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan. (6 puntos)

Solución

a) Cuándo tiene solución $A^2X=B$

Cálculo de $A^2$ . Multiplicamos filas de $A$ por columnas de $A$ :

A^2 = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&m&1\\0&3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&0\\0&m&1\\0&3&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+0+0 & 2+2m+0 & 0+2+0\\ 0+0+0 & 0+m^2+3 & 0+m+0\\ 0+0+0 & 0+3m+0 & 0+3+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2+2m&2\\0&m^2+3&m\\0&3m&3\end{pmatrix}.

Determinante de $A^2$ . Desarrollando por la primera columna (solo tiene un elemento no nulo):

|A^2| = 1\cdot\begin{vmatrix}m^2+3 & m\\ 3m & 3\end{vmatrix} = 3(m^2+3)-3m^2 = 9.

También se obtiene sin calcular $A^2$ : desarrollando $|A|$ por la primera columna, $|A| = 1\cdot\begin{vmatrix}m&1\\3&0\end{vmatrix} = 0-3 = -3$ , y como $|A^2| = |A|\cdot|A|$ , resulta $|A^2| = (-3)^2 = 9$ .

Conclusión. La ecuación $A^2X=B$ es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es $A^2$ . Como $|A^2| = 9 \neq 0$ para todo $m\in\mathbb{R}$ , se tiene $\operatorname{rg}(A^2) = \operatorname{rg}(A^2\,|\,B) = 3 =$ número de incógnitas (la ampliada es $3\times4$ y contiene el menor $|A^2|\neq0$ ), y por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado. Dicho de otro modo: $A^2$ es invertible y la única solución es $X = (A^2)^{-1}B$ .

Respuesta

Para todo valor real de

m

la ecuación

A^2X=B

tiene solución, y además es única (sistema compatible determinado), porque

|A^2| = 9 \neq 0

.

b) Todas las soluciones

Por el apartado a), para cada $m$ hay una única solución, $X = (A^2)^{-1}B$ . Calculamos la inversa con la fórmula $(A^2)^{-1} = \dfrac{1}{|A^2|}\operatorname{Adj}(A^2)^t$ .

Adjuntos de $A^2$ , que llamamos $C_{ij}$ para no confundirlos con las entradas de $A$ ( $C_{ij} = (-1)^{i+j}\,\alpha_{ij}$ , con $\alpha_{ij}$ el menor complementario):

C_{11} = \begin{vmatrix}m^2+3&m\\3m&3\end{vmatrix} = 9,\quad C_{12} = -\begin{vmatrix}0&m\\0&3\end{vmatrix} = 0,\quad C_{13} = \begin{vmatrix}0&m^2+3\\0&3m\end{vmatrix} = 0,

C_{21} = -\begin{vmatrix}2+2m&2\\3m&3\end{vmatrix} = -(6+6m-6m) = -6,\quad C_{22} = \begin{vmatrix}1&2\\0&3\end{vmatrix} = 3,\quad C_{23} = -\begin{vmatrix}1&2+2m\\0&3m\end{vmatrix} = -3m,

C_{31} = \begin{vmatrix}2+2m&2\\m^2+3&m\end{vmatrix} = 2m+2m^2-2m^2-6 = 2m-6,\quad C_{32} = -\begin{vmatrix}1&2\\0&m\end{vmatrix} = -m,\quad C_{33} = \begin{vmatrix}1&2+2m\\0&m^2+3\end{vmatrix} = m^2+3.

Por tanto

\operatorname{Adj}(A^2) = \begin{pmatrix}9&0&0\\-6&3&-3m\\2m-6&-m&m^2+3\end{pmatrix},\qquad (A^2)^{-1} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}9&-6&2m-6\\0&3&-m\\0&-3m&m^2+3\end{pmatrix}.

Cálculo de $X$ .

X = (A^2)^{-1}B = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}9&-6&2m-6\\0&3&-m\\0&-3m&m^2+3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\0\\9\end{pmatrix} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}9m+0+18m-54\\0+0-9m\\0+0+9m^2+27\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3m-6\\-m\\m^2+3\end{pmatrix}.

Comprobación. Sustituimos en $A^2X$ :

A^2X = \begin{pmatrix}(3m-6)+(2+2m)(-m)+2(m^2+3)\\ (m^2+3)(-m)+m(m^2+3)\\ 3m(-m)+3(m^2+3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3m-6-2m-2m^2+2m^2+6\\0\\9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m\\0\\9\end{pmatrix} = B. \;\checkmark

Respuesta

Para cada

m\in\mathbb{R}

la ecuación tiene una única solución:

X = \begin{pmatrix}3m-6\\-m\\m^2+3\end{pmatrix}

, es decir,

x = 3m-6

,

y=-m

,

z = m^2+3

.

Ejercicio 2 · Problema 2

Enunciado

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&0\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}0&\alpha\\-\alpha^2&0\end{pmatrix}$ :

a) Obtener la matriz $(AB^T+I)^{-1}$ , donde $I$ es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación. (6 puntos)

b) Comprobar que $C^2=-\alpha^3 I$ , donde $I$ es la matriz identidad, y calcular $C^{13}$ . (4 puntos)

Solución

a) Cálculo de $(AB^T+I)^{-1}$

Dimensiones. $A$ es $2\times 3$ y $B^T$ es $3\times 2$ , así que el producto $AB^T$ existe y es una matriz $2\times 2$ . Por tanto, $I$ es la identidad de orden 2.

Producto. La traspuesta de $B$ se obtiene cambiando filas por columnas:

B^T=\begin{pmatrix}1&2\\1&-1\\1&0\end{pmatrix}

AB^T=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+0+1 & 2+0+0\\ 0+1+1 & 0-1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&-1\end{pmatrix}

Llamamos $M$ a la matriz que hay que invertir:

M=AB^T+I=\begin{pmatrix}2&2\\2&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&0\end{pmatrix}

Existencia de la inversa.

|M|=\begin{vmatrix}3&2\\2&0\end{vmatrix}=3\cdot 0-2\cdot 2=-4\neq 0,

luego $M$ es invertible.

Inversa por la adjunta. Usamos $M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\,(\operatorname{Adj} M)^T$ . Los adjuntos son $\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}$ , donde $m_{ij}$ es el menor complementario del elemento $(i,j)$ de $M$ :

\Delta_{11}=0,\quad \Delta_{12}=-2,\quad \Delta_{21}=-2,\quad \Delta_{22}=3,

de modo que

\operatorname{Adj} M=\begin{pmatrix}0&-2\\-2&3\end{pmatrix}=(\operatorname{Adj} M)^T \quad(\text{es simétrica}).

M^{-1}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}0&-2\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\tfrac12\\[2pt]\tfrac12&-\tfrac34\end{pmatrix}

Comprobación.

\begin{pmatrix}3&2\\2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\tfrac12\\[2pt]\tfrac12&-\tfrac34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+1 & \tfrac32-\tfrac32\\[2pt] 0+0 & 1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Respuesta

(AB^T+I)^{-1}=\begin{pmatrix}0&\tfrac12\\[2pt]\tfrac12&-\tfrac34\end{pmatrix}

, con

I

la identidad de orden 2.

b) Comprobación de $C^2=-\alpha^3 I$ y cálculo de $C^{13}$

Cuadrado de $C$ .

C^2=\begin{pmatrix}0&\alpha\\-\alpha^2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\alpha\\-\alpha^2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 0+\alpha\cdot(-\alpha^2) & 0\cdot\alpha+\alpha\cdot 0\\ -\alpha^2\cdot 0+0\cdot(-\alpha^2) & -\alpha^2\cdot\alpha+0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\alpha^3&0\\0&-\alpha^3\end{pmatrix}=-\alpha^3 I,

como había que comprobar (para cualquier valor real de $\alpha$ ).

Potencia $C^{13}$ . Como $13=12+1$ , escribimos $C^{13}=C^{12}\,C=(C^2)^6\,C$ . Usando lo anterior y que $I^6=I$ :

(C^2)^6=(-\alpha^3 I)^6=(-\alpha^3)^6\,I^6=\alpha^{18}I,

porque el exponente 6 es par. Por tanto,

C^{13}=\alpha^{18}I\cdot C=\alpha^{18}C=\alpha^{18}\begin{pmatrix}0&\alpha\\-\alpha^2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\alpha^{19}\\-\alpha^{20}&0\end{pmatrix}

Respuesta

C^2=-\alpha^3 I

se cumple, y

C^{13}=(C^2)^6C=\alpha^{18}C=\begin{pmatrix}0&\alpha^{19}\\-\alpha^{20}&0\end{pmatrix}

.

Ejercicio 3 · Problema 3

Enunciado

Dada la recta $r:\left\{\begin{aligned} x-y&=1\\ x+2y+z&=0\end{aligned}\right.$ y los puntos $P=(0,0,3)$ y $Q=(2,2,a)$ , obtener:

a) Los valores del parámetro real $a$ , si existen, para los que son paralelas la recta $r$ y la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$ . (6 puntos)

b) La ecuación del plano perpendicular a $r$ y que pasa por $P$ . (4 puntos)

Solución

Vector director de $r$ . La recta $r$ es la intersección de dos planos, cuyos vectores normales son

\vec{n}_1=(1,-1,0),\qquad \vec{n}_2=(1,2,1).

No son proporcionales, así que los planos se cortan en una recta. Su vector director es perpendicular a ambos normales, luego podemos tomar su producto vectorial:

\vec{u}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix}=\vec i\,(-1-0)-\vec j\,(1-0)+\vec k\,(2+1)=(-1,-1,3).

Comprobación. Resolviendo el sistema con $y=\lambda$ como parámetro: $x=1+\lambda$ y $z=-x-2y=-1-3\lambda$ , es decir,

r\colon\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=\lambda\\ z=-1-3\lambda\end{cases}\qquad A=(1,0,-1)\in r,\quad (1,1,-3)\ \text{director},

que es proporcional a $\vec{u}=(-1,-1,3)$ ✓.

a) Valores de $a$ para los que $r$ y la recta $PQ$ son paralelas

La recta que pasa por $P$ y $Q$ tiene como vector director

\overrightarrow{PQ}=(2-0,\ 2-0,\ a-3)=(2,\,2,\,a-3).

Dos rectas son paralelas (o coincidentes) cuando sus vectores directores son proporcionales:

\frac{2}{-1}=\frac{2}{-1}=\frac{a-3}{3}.

Las dos primeras razones valen $-2$ , así que se necesita

\frac{a-3}{3}=-2\ \Longrightarrow\ a-3=-6\ \Longrightarrow\ a=-3.

Para $a=-3$ queda $\overrightarrow{PQ}=(2,2,-6)=-2\,(-1,-1,3)=-2\,\vec{u}$ ✓. Para cualquier otro valor de $a$ los vectores no son proporcionales y las rectas no son paralelas.

Paralelas, no coincidentes. Falta descartar que las rectas sean la misma. Basta ver si $P=(0,0,3)$ está en $r$ : en la primera ecuación, $x-y=0-0=0\neq 1$ , luego $P\notin r$ . Así, para $a=-3$ la recta $PQ$ tiene la dirección de $r$ y no comparte ningún punto con ella: son paralelas (distintas).

Respuesta

Con

\vec{u}=(-1,-1,3)

y

\overrightarrow{PQ}=(2,2,a-3)

, las rectas son paralelas solo para

a=-3

(entonces

\overrightarrow{PQ}=-2\,\vec{u}

, y como

P\notin r

no son coincidentes).

b) Plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$

Si un plano es perpendicular a $r$ , el vector director de $r$ sirve como vector normal del plano. Con $\vec{u}=(-1,-1,3)$ :

\pi\colon\ -x-y+3z+D=0.

Imponemos que pase por $P=(0,0,3)$ :

-0-0+3\cdot 3+D=0\ \Longrightarrow\ D=-9.

Por tanto,

\pi\colon\ -x-y+3z-9=0\qquad(\text{o, equivalentemente, } x+y-3z+9=0).

Comprobación. $P$ : $-0-0+9-9=0$ ✓. El vector normal $(-1,-1,3)$ es proporcional al director $(1,1,-3)$ de $r$ ✓.

Respuesta

\pi\colon\ -x-y+3z-9=0

, es decir,

x+y-3z+9=0

.

Ejercicio 4 · Problema 4

Enunciado

Dada la recta $r:\left\{\begin{aligned} 5x+y+7z&=16\\ 9x-y+7z&=12\end{aligned}\right.$ y el punto $P=(0,5,2)$ se pide:

a) Comprobar que el punto $Q=(2,6,0)$ pertenece a la recta $r$ y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ . (2 puntos)

b) Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$ . (3 puntos)

c) Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$ . (5 puntos)

Solución

Antes de empezar obtenemos un vector director de $r$ . La recta es la intersección de dos planos con vectores normales $\vec n_1=(5,1,7)$ y $\vec n_2=(9,-1,7)$ , que no son proporcionales (basta ver que $\frac59\neq\frac1{-1}$ ), así que los planos se cortan en una recta. Su dirección es perpendicular a los dos normales:

\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\ 5&1&7\\ 9&-1&7\end{vmatrix}=(7+7)\,\vec\imath-(35-63)\,\vec\jmath+(-5-9)\,\vec k=(14,28,-14).

Dividiendo entre $14$ tomamos $\vec u_r=(1,2,-1)$ . Comprobación rápida: $\vec u_r\cdot\vec n_1=5+2-7=0$ y $\vec u_r\cdot\vec n_2=9-2-7=0$ .

a) $Q\in r$ y recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$

Sustituimos $Q=(2,6,0)$ en las dos ecuaciones de $r$ :

5\cdot2+6+7\cdot0=16\ \checkmark,\qquad 9\cdot2-6+7\cdot0=12\ \checkmark.

Cumple las dos, luego $Q\in r$ .

Para la recta $s$ tomamos el punto $P=(0,5,2)$ y el vector director

\vec u_s=\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-0,\;6-5,\;0-2)=(2,1,-2).

( $P$ no está en $r$ : $5\cdot0+5+7\cdot2=19\neq16$ ; por eso $s$ es una recta distinta de $r$ que la corta en $Q$ .)

s\colon\ (x,y,z)=(0,5,2)+\lambda(2,1,-2),\qquad\text{es decir,}\qquad s\colon\ \begin{cases}x=2\lambda\\ y=5+\lambda\\ z=2-2\lambda\end{cases}\quad\lambda\in\mathbb R.

En forma continua: $s\colon\ \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z-2}{-2}$ .

Respuesta

Q\in r

porque cumple

5x+y+7z=16

y

9x-y+7z=12

.

\ s\colon\ (x,y,z)=(0,5,2)+\lambda(2,1,-2)

,

\lambda\in\mathbb R

.

b) Ángulo entre $r$ y $s$

El ángulo entre dos rectas es el menor ángulo que forman sus direcciones (entre $0^\circ$ y $90^\circ$ ); por eso se toma el valor absoluto del producto escalar de los vectores directores:

\cos\alpha=\frac{|\vec u_r\cdot\vec u_s|}{|\vec u_r|\,|\vec u_s|}.

Con $\vec u_r=(1,2,-1)$ y $\vec u_s=(2,1,-2)$ :

\vec u_r\cdot\vec u_s=2+2+2=6,\qquad |\vec u_r|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6,\qquad |\vec u_s|=\sqrt{4+1+4}=3.

\cos\alpha=\frac{6}{3\sqrt6}=\frac{2}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{3}=\sqrt{\frac23}\approx0{,}8165.

\alpha=\arccos\frac{\sqrt6}{3}\approx35{,}26^\circ\;(=35^\circ\,15'\,52'').

(Las rectas son secantes: se cortan en $Q$ .)

Respuesta

\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt6}{3}=\arccos\sqrt{\dfrac23}\approx35{,}26^\circ

(

35^\circ\,15'\,52''

).

c) Proyección ortogonal de $P$ sobre $r$

La proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ es el punto $H$ de $r$ tal que $\overrightarrow{PH}$ es perpendicular a $r$ . La obtenemos cortando $r$ con el plano $\pi$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ .

Plano $\pi$ . Su vector normal es el director de $r$ , $\vec u_r=(1,2,-1)$ :

\pi\colon\ x+2y-z+D=0.

Imponemos que pase por $P=(0,5,2)$ : $0+10-2+D=0\Rightarrow D=-8$ . Así $\pi\colon\ x+2y-z=8$ .

Intersección de $r$ y $\pi$ . La recta $r$ pasa por $Q=(2,6,0)$ (apartado a) con dirección $\vec u_r=(1,2,-1)$ , luego $(x,y,z)=Q+t\,\vec u_r$ :

r\colon\ \begin{cases}x=2+t\\ y=6+2t\\ z=-t\end{cases}\quad t\in\mathbb R.

Sustituyendo en $\pi$ :

(2+t)+2(6+2t)-(-t)=8\ \Longrightarrow\ 14+6t=8\ \Longrightarrow\ t=-1.

Para $t=-1$ obtenemos $H=(2-1,\;6-2,\;1)=(1,4,1)$ .

Comprobaciones.

$H\in r$ : $5+4+7=16$ y $9-4+7=12$ .
$\overrightarrow{PH}=(1,-1,-1)$ es perpendicular a $r$ : $\overrightarrow{PH}\cdot\vec u_r=1-2+1=0$ .

Respuesta

La proyección ortogonal de

P

sobre

r

es

H=(1,4,1)

.

Ejercicio 5 · Problema 5

Enunciado

Considerar la función $f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln(x+1)$ . Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de $f(x)$ . (2 puntos)

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (4 puntos)

c) El área comprendida entre la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0$ , $x=1$ y $x=2$ . (4 puntos)

Solución

a) Dominio y asíntotas

Dominio. El sumando $\dfrac1x$ exige $x\neq 0$ , y el logaritmo exige que su argumento sea positivo: $x+1>0 \iff x>-1$ . Por tanto,

\operatorname{Dom} f = (-1,\,0)\cup(0,\,+\infty).

Asíntotas verticales. Hay que estudiar los puntos frontera del dominio, $x=-1$ y $x=0$ .

En $x=-1$ (solo tiene sentido por la derecha):
$\lim_{x\to -1^+}\left(\frac1x+\ln(x+1)\right) = -\infty,$
porque $\frac1x\to-1$ , mientras que $x+1\to 0^+$ y $\ln(x+1)\to-\infty$ ; la suma tiende a $-\infty$ . La recta $x=-1$ es asíntota vertical.
En $x=0$ , el sumando $\ln(x+1)$ tiende a $\ln 1=0$ , mientras que $\frac1x\to-\infty$ por la izquierda y $\frac1x\to+\infty$ por la derecha:
$\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty.$
La recta $x=0$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. Solo puede haberla en $+\infty$ (el dominio no llega a $-\infty$ ):

\lim_{x\to+\infty}\left(\frac1x+\ln(x+1)\right) = +\infty,

porque $\frac1x\to0$ y $\ln(x+1)\to+\infty$ , así que no hay asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas. $y=mx+n$ con

m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac1{x^2}+\frac{\ln(x+1)}{x}\right)=0+0=0,

ya que el logaritmo crece más despacio que $x$ (o por L’Hôpital, $\lim \frac{\ln(x+1)}{x}=\lim\frac{1}{x+1}=0$ ). Con $m=0$ la oblicua sería horizontal, y ya hemos visto que no la hay ( $n=\lim f(x)=+\infty$ ). No hay asíntota oblicua: $f$ crece sin cota, pero más despacio que cualquier recta de pendiente positiva.

Respuesta

\operatorname{Dom} f=(-1,0)\cup(0,+\infty)

. Asíntotas verticales:

x=-1

(con

f\to-\infty

por la derecha) y

x=0

(

f\to-\infty

por la izquierda y

f\to+\infty

por la derecha). No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

b) Monotonía y extremos relativos

Derivamos:

f'(x) = -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1} = \frac{-(x+1)+x^2}{x^2(x+1)} = \frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}.

Puntos críticos. $f'(x)=0 \iff x^2-x-1=0 \iff x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ . Los dos están en el dominio:

x_1=\frac{1-\sqrt5}{2}\approx -0{,}618\in(-1,0), \qquad x_2=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1{,}618\in(0,+\infty).

Signo de $f'$ . En todo el dominio el denominador es positivo, porque $x^2>0$ (si $x\neq0$ ) y $x+1>0$ . El signo de $f'$ es, pues, el de $x^2-x-1$ , una parábola que es negativa entre sus raíces y positiva fuera de ellas. Teniendo en cuenta también que $x=0$ no está en el dominio:

Intervalo	$(-1,\,x_1)$	$(x_1,\,0)$	$(0,\,x_2)$	$(x_2,\,+\infty)$
Punto de prueba	$-0{,}9$	$-0{,}5$	$1$	$2$
Signo de $f'$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	decrece	crece

(Por ejemplo, $f'(1)=\frac{1-1-1}{1\cdot 2}=-\frac12<0$ y $f'(2)=\frac{4-2-1}{4\cdot3}=\frac1{12}>0$ .)

Extremos relativos.

En $x_1=\frac{1-\sqrt5}{2}$ la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo. Como $\dfrac1{x_1}=\dfrac{2}{1-\sqrt5}=\dfrac{2(1+\sqrt5)}{1-5}=-\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ y $x_1+1=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ ,
$f(x_1) = \ln\frac{3-\sqrt5}{2}-\frac{1+\sqrt5}{2}\approx -2{,}5805.$
En $x_2=\frac{1+\sqrt5}{2}$ la función pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo. Como $\dfrac1{x_2}=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{2(\sqrt5-1)}{5-1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ y $x_2+1=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$ ,
$f(x_2) = \ln\frac{3+\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5-1}{2}\approx 1{,}5805.$

Que el máximo relativo valga menos que el mínimo relativo no es una contradicción: están en ramas distintas, separadas por la asíntota $x=0$ . No hay extremos absolutos, porque $f$ toma valores tan grandes y tan pequeños como se quiera cerca de $x=0$ .

Cargando la gráfica…

Gráfica de f(x) = 1/x + ln(x+1): rama en (−1, 0) con un máximo relativo en x ≈ −0,618 y valor ≈ −2,58, y rama en (0, +∞) con un mínimo relativo en x ≈ 1,618 y valor ≈ 1,58; asíntotas verticales x = −1 y x = 0. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

f

es creciente en

\left(-1,\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt5}{2},+\infty\right)

y decreciente en cada uno de los intervalos

\left(\frac{1-\sqrt5}{2},0\right)

y

\left(0,\frac{1+\sqrt5}{2}\right)

. Máximo relativo en

\left(\frac{1-\sqrt5}{2},\ \ln\frac{3-\sqrt5}{2}-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\approx(-0{,}618;\ -2{,}5805)

y mínimo relativo en

\left(\frac{1+\sqrt5}{2},\ \ln\frac{3+\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5-1}{2}\right)\approx(1{,}618;\ 1{,}5805)

.

c) Área entre $x=1$ y $x=2$

Signo de $f$ en $[1,2]$ . Si $1\le x\le 2$ , entonces $\frac1x>0$ y $x+1\ge2>1$ , luego $\ln(x+1)>0$ . Así $f(x)>0$ en todo el intervalo: la curva está por encima del eje $OX$ , no lo corta y el área es directamente la integral

A=\int_1^2\left(\frac1x+\ln(x+1)\right)dx.

Primitiva. $\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|$ , que en $[1,2]$ es $\ln x$ . Para $\displaystyle\int\ln(x+1)\,dx$ integramos por partes con

u=\ln(x+1)\ \Rightarrow\ du=\frac{dx}{x+1}, \qquad dv=dx\ \Rightarrow\ v=x+1

(se elige $v=x+1$ , que también es primitiva de $1$ , para simplificar):

\int\ln(x+1)\,dx=(x+1)\ln(x+1)-\int\frac{x+1}{x+1}\,dx=(x+1)\ln(x+1)-x+C.

Por tanto, una primitiva de $f$ en $[1,2]$ es

F(x)=\ln x+(x+1)\ln(x+1)-x.

Regla de Barrow.

F(2)=\ln2+3\ln3-2,\qquad F(1)=0+2\ln2-1,

A=F(2)-F(1)=3\ln3-\ln2-1=\ln\frac{27}{2}-1\approx 1{,}6027.

Cargando la gráfica…

Región bajo la curva y = 1/x + ln(x+1) entre x = 1 y x = 2, por encima del eje OX; su área es ln(27/2) − 1 ≈ 1,60 u². Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

A=\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx=3\ln3-\ln2-1=\ln\frac{27}{2}-1\approx 1{,}60\ \text{u}^2.

Ejercicio 6 · Problema 6

Enunciado

El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación $y=-x^2+12$ , donde $x$ e $y$ se miden en metros e $y=0$ representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:

(El examen incluye una figura: un arco parabólico de piedra con una puerta rectangular apoyada en el suelo y con las dos esquinas superiores sobre la parábola.)

a) Las dimensiones de la puerta para que tenga la mayor superficie posible. (6 puntos)

b) Utilizando la puerta del apartado anterior, obtener el área de la parte frontal de la puerta y el área de la parte frontal de la entrada recubierta por piedra. (4 puntos)

Solución

Planteamiento. La parábola $y=-x^2+12$ es simétrica respecto del eje $OY$ , tiene el vértice en $(0,12)$ y corta al suelo ( $y=0$ ) en

-x^2+12=0 \iff x^2=12 \iff x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\approx\pm 3{,}464.

Las dos esquinas superiores están a la misma altura (el lado superior es horizontal) y sobre la parábola. Si sus abscisas son $x_1\neq x_2$ , entonces $-x_1^2+12=-x_2^2+12$ , de donde $x_1^2=x_2^2$ y $x_2=-x_1$ . Por tanto, toda puerta admisible es simétrica respecto del eje $OY$ . Llamamos $x>0$ (en metros) a la abscisa de la esquina superior derecha; las cuatro esquinas de la puerta son

(-x,\,0),\quad (x,\,0),\quad (x,\,-x^2+12),\quad (-x,\,-x^2+12).

a) Dimensiones de la puerta de superficie máxima

La puerta tiene una anchura de $2x$ m y una altura de $-x^2+12$ m, así que su área es

A(x)=2x\,(-x^2+12)=-2x^3+24x \text{ m}^2.

Dominio. Para que haya puerta, la anchura y la altura han de ser positivas: $x>0$ y $-x^2+12>0$ , es decir, $0<x<\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ .

Puntos críticos. $A$ es un polinomio, derivable en todo su dominio:

A'(x)=-6x^2+24, \qquad A'(x)=0 \iff x^2=4 \iff x=\pm 2.

Solo $x=2$ está en el dominio $(0,\,2\sqrt{3})$ .

Comprobación de que es un máximo. $A''(x)=-12x$ , y $A''(2)=-24<0$ , luego en $x=2$ hay un máximo relativo. Además, $A'(x)>0$ en $(0,2)$ (por ejemplo, $A'(1)=18$ ) y $A'(x)<0$ en $(2,\,2\sqrt{3})$ (por ejemplo, $A'(3)=-30$ ): el área crece hasta $x=2$ y decrece después, así que $x=2$ es el máximo absoluto en el dominio. (En los extremos del intervalo cerrado $[0,\,2\sqrt3]$ el área vale $0$ : son puertas degeneradas.)

Dimensiones.

\text{anchura}=2x=2\cdot 2=4 \text{ m}, \qquad \text{altura}=12-2^2=8 \text{ m}.

Cargando la gráfica…

Función área A(x) = −2x³ + 24x, en m², dibujada solo en su dominio 0 < x < 2√3 ≈ 3,46 (x en metros). Crece hasta x = 2, donde alcanza su máximo A(2) = 32 m², y decrece después hasta anularse en x = 2√3. La puerta óptima, con esquinas (±2, 0) y (±2, 8), se ve sobre la parábola en la figura del apartado b). Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

La puerta de mayor superficie mide

4

m de anchura y

8

m de altura (esquinas superiores en

(\pm 2,\,8)

).

b) Área de la puerta y área recubierta de piedra

Área de la puerta. Es un rectángulo de $4\times 8$ :

A_{\text{puerta}}=4\cdot 8=32 \text{ m}^2 \quad (=A(2)).

Área de la entrada. Es el área del recinto limitado por la parábola y el suelo, entre los puntos de corte $x=-2\sqrt{3}$ y $x=2\sqrt{3}$ , donde $-x^2+12\ge 0$ . Por la regla de Barrow, con la primitiva $F(x)=12x-\dfrac{x^3}{3}$ y la simetría de la función (es par):

A_{\text{entrada}}=\int_{-2\sqrt3}^{2\sqrt3}\left(-x^2+12\right)dx=2\left[12x-\frac{x^3}{3}\right]_0^{2\sqrt3}=2\left(24\sqrt3-\frac{24\sqrt3}{3}\right)=2\cdot 16\sqrt3=32\sqrt3 \text{ m}^2,

donde hemos usado $(2\sqrt3)^3=8\cdot 3\sqrt3=24\sqrt3$ . Es decir, $A_{\text{entrada}}\approx 55{,}426$ m².

Área recubierta de piedra. Es la de la entrada menos la de la puerta:

A_{\text{piedra}}=32\sqrt3-32=32\left(\sqrt3-1\right)\approx 23{,}426 \text{ m}^2.

Cargando la gráfica…

Región de la entrada, entre la parábola y = −x² + 12 y el suelo para x entre −2√3 y 2√3, de área 32√3 ≈ 55,43 m². Los cuatro puntos marcan la puerta rectangular de 4 × 8 m (32 m²); el resto de la región es la parte de piedra, de unos 23,43 m². Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

El área de la puerta es

32

m² y el área de la parte frontal recubierta de piedra es

32\sqrt3-32=32(\sqrt3-1)\approx 23{,}43

m² (la entrada completa mide

32\sqrt3\approx 55{,}43

m²).

Ejercicio 7 · Problema 7

Enunciado

Tenemos dos monedas distintas $M_1$ y $M_2$ . La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_1$ es $x$ y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_2$ es $y$ .

a) Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3 puntos)

b) Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7 puntos)

Solución

Suponemos, como es natural, que los lanzamientos son independientes: el resultado de una moneda no influye en el de la otra, y el de un lanzamiento no influye en el siguiente. Además, $0\le x\le 1$ y $0\le y\le 1$ por ser probabilidades.

Llamamos $C_1$ y $C_2$ a los sucesos «sale cara en la moneda $M_1$ » y «sale cara en la moneda $M_2$ » en un lanzamiento. Entonces

P(C_1)=x,\quad P(\overline{C_1})=1-x,\qquad P(C_2)=y,\quad P(\overline{C_2})=1-y.

a) Las dos monedas lanzadas a la vez

Llamamos $N_k$ al suceso «se obtienen exactamente $k$ caras» ( $k=0,1,2$ ).

Ninguna cara. Salen cruz las dos monedas: $N_0=\overline{C_1}\cap\overline{C_2}$ . Por la independencia,

P(N_0)=P(\overline{C_1})\,P(\overline{C_2})=(1-x)(1-y).

Solo una cara. Es $N_1$ : sale cara en $M_1$ y cruz en $M_2$ , o cruz en $M_1$ y cara en $M_2$ . Son dos sucesos incompatibles, así que sus probabilidades se suman:

P(N_1)=P(C_1\cap\overline{C_2})+P(\overline{C_1}\cap C_2)=x(1-y)+(1-x)y.

(Si se quiere, se puede simplificar a $x+y-2xy$ , pero no hace falta.)

Dos caras. $N_2=C_1\cap C_2$ :

P(N_2)=P(C_1)\,P(C_2)=xy.

Comprobación: los tres sucesos son incompatibles y cubren todos los casos, y en efecto

(1-x)(1-y)+x(1-y)+(1-x)y+xy=(1-y)\big[(1-x)+x\big]+y\big[(1-x)+x\big]=1.

Por ejemplo, con dos monedas equilibradas ( $x=y=\tfrac12$ ) salen $\tfrac14$ , $\tfrac12$ y $\tfrac14$ .

Respuesta

P(\text{ninguna cara})=(1-x)(1-y)

;

P(\text{solo una cara})=x(1-y)+y(1-x)

;

P(\text{dos caras})=xy

.

b) Volviendo a lanzar las monedas que salieron cruz

Hay dos formas equivalentes de hacerlo: dibujar el árbol completo de las dos monedas y sumar caminos (es lo que hacen los criterios oficiales) o estudiar cada moneda por separado y después multiplicar. Seguimos el segundo camino, que es más corto, y al final comprobamos que da lo mismo que el árbol completo.

Si en el primer lanzamiento una moneda sale cara, se queda en cara; si sale cruz, se vuelve a lanzar y su resultado final es el de ese segundo lanzamiento. Llamamos $F_1$ al suceso «el resultado final de $M_1$ es cara» y $F_2$ al análogo para $M_2$ .

Árbol de una sola moneda. Para $M_1$ hay tres ramas:

cara al primer lanzamiento: probabilidad $x$ , acaba en cara;
cruz y luego cara: probabilidad $(1-x)\,x$ , acaba en cara;
cruz y luego cruz: probabilidad $(1-x)(1-x)$ , acaba en cruz.

Así que

P(F_1)=x+(1-x)\,x=x(2-x),\qquad P(\overline{F_1})=(1-x)(1-x)=(1-x)^2.

( $M_1$ acaba en cruz solo si sale cruz las dos veces; se comprueba que $x(2-x)+(1-x)^2=2x-x^2+1-2x+x^2=1$ .)

Del mismo modo, para $M_2$ :

P(F_2)=y+(1-y)\,y=y(2-y),\qquad P(\overline{F_2})=(1-y)^2.

Las dos monedas no se influyen, así que $F_1$ y $F_2$ son independientes: repetimos el apartado a) con estas nuevas probabilidades y multiplicamos.

Ninguna cara al final. Las dos monedas salen cruz en sus dos lanzamientos:

P(\text{ninguna cara})=P(\overline{F_1})\,P(\overline{F_2})=(1-x)^2(1-y)^2.

Solo una cara al final.

P(\text{solo una cara})=P(F_1)\,P(\overline{F_2})+P(\overline{F_1})\,P(F_2)=x(2-x)(1-y)^2+y(2-y)(1-x)^2.

Si se separan los caminos del árbol, es lo mismo que

x(1-y)^2+(1-x)x(1-y)^2+y(1-x)^2+(1-y)y(1-x)^2,

que es la expresión que dan los criterios oficiales: por ejemplo, $x(1-y)^2$ corresponde a « $M_1$ cara a la primera y $M_2$ cruz en sus dos lanzamientos», y $(1-x)x(1-y)^2$ a « $M_1$ cruz y luego cara, y $M_2$ cruz las dos veces».

Dos caras al final.

P(\text{dos caras})=P(F_1)\,P(F_2)=x(2-x)\,y(2-y).

Desarrollando por caminos del árbol: $xy+(1-x)xy+x(1-y)y+(1-x)x(1-y)y$ (las dos caras a la primera; solo $M_1$ relanzada; solo $M_2$ relanzada; las dos relanzadas), que coincide con $\big[x+(1-x)x\big]\big[y+(1-y)y\big]$ .

Comprobación: las tres probabilidades suman 1, porque

\big[P(F_1)+P(\overline{F_1})\big]\big[P(F_2)+P(\overline{F_2})\big]=1\cdot 1=1.

Por ejemplo, con dos monedas equilibradas ( $x=y=\tfrac12$ ): $P(F_1)=P(F_2)=\tfrac34$ , y las probabilidades son $\tfrac1{16}$ , $\tfrac{6}{16}=\tfrac38$ y $\tfrac{9}{16}$ , que suman 1. Comparado con el apartado a), la probabilidad de no obtener ninguna cara baja de $\tfrac14$ a $\tfrac1{16}$ .

Respuesta

P(\text{ninguna cara})=(1-x)^2(1-y)^2

;

P(\text{solo una cara})=x(2-x)(1-y)^2+y(2-y)(1-x)^2

, que equivale a la expresión oficial de cuatro sumandos

x(1-y)^2+(1-x)x(1-y)^2+y(1-x)^2+(1-y)y(1-x)^2

;

P(\text{dos caras})=x(2-x)\,y(2-y)

.

Ejercicio 8 · Problema 8

Enunciado

Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante 161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50 proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión Europea. Sabiendo que el $5\,\%$ de los vuelos con procedencia nacional, el $4\,\%$ de los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el $6{,}25\,\%$ del resto de vuelos se retrasan:

a) Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase. (5 puntos)

b) Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea. (5 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

Solución

Elegimos al azar uno de los 161 vuelos que llegan durante el fin de semana y definimos los sucesos:

$N$ : «el vuelo procede del territorio nacional»;
$U$ : «el vuelo procede de la Unión Europea»;
$F$ : «el vuelo procede de un país de fuera de la Unión Europea»;
$R$ : «el vuelo se retrasa».

Por la regla de Laplace (todos los vuelos tienen la misma probabilidad de ser elegidos):

P(N)=\frac{95}{161},\qquad P(U)=\frac{50}{161},\qquad P(F)=\frac{16}{161}.

Los sucesos $N$ , $U$ y $F$ forman un sistema completo de sucesos: son incompatibles dos a dos y entre los tres cubren todos los vuelos ( $95+50+16=161$ ). Los porcentajes de retraso del enunciado son probabilidades condicionadas:

P(R\mid N)=0{,}05,\qquad P(R\mid U)=0{,}04,\qquad P(R\mid F)=0{,}0625=\frac{1}{16}.

Lo resumimos en la tabla siguiente, que recoge los caminos del diagrama de árbol que acaban en $R$ : cada fila es el producto de las probabilidades de las dos ramas del camino. Las ramas de «no se retrasa» ( $0{,}95$ ; $0{,}96$ y $0{,}9375$ ) no se necesitan. Para poder sumar después, escribimos todo con denominador común $644=4\cdot 161$ :

Procedencia	Retraso	Probabilidad del camino
$N$ $\left(\frac{95}{161}\right)$	$R$ $(0{,}05)$	$\frac{95}{161}\cdot 0{,}05=\frac{4{,}75}{161}=\frac{19}{644}$
$U$ $\left(\frac{50}{161}\right)$	$R$ $(0{,}04)$	$\frac{50\cdot 0{,}04}{161}=\frac{2}{161}=\frac{8}{644}$
$F$ $\left(\frac{16}{161}\right)$	$R$ $\left(\frac{1}{16}\right)$	$\frac{16}{161}\cdot \frac{1}{16}=\frac{1}{161}=\frac{4}{644}$

a) Probabilidad de que un vuelo se retrase

Por el teorema de la probabilidad total, con el sistema completo $\{N, U, F\}$ :

P(R)=P(N)\,P(R\mid N)+P(U)\,P(R\mid U)+P(F)\,P(R\mid F)

P(R)=\frac{95}{161}\cdot 0{,}05+\frac{50}{161}\cdot 0{,}04+\frac{16}{161}\cdot\frac{1}{16}=\frac{19}{644}+\frac{8}{644}+\frac{4}{644}=\frac{31}{644}=0{,}048136\ldots\approx 0{,}0481.

Respuesta

P(R)=\dfrac{31}{644}\approx 0{,}0481

: aproximadamente el

4{,}81\,\%

de los vuelos se retrasa.

b) Probabilidad de que un vuelo retrasado proceda de la Unión Europea

Nos piden $P(U\mid R)$ . Por el teorema de Bayes (o la definición de probabilidad condicionada):

P(U\mid R)=\frac{P(U\cap R)}{P(R)}=\frac{P(U)\,P(R\mid U)}{P(R)}=\frac{\dfrac{8}{644}}{\dfrac{31}{644}}=\frac{8}{31}\approx 0{,}2581.

Comprobación: del mismo modo, $P(N\mid R)=\dfrac{19/644}{31/644}=\dfrac{19}{31}$ y $P(F\mid R)=\dfrac{4/644}{31/644}=\dfrac{4}{31}$ , y $\dfrac{19}{31}+\dfrac{8}{31}+\dfrac{4}{31}=1$ , como debe ser.

Respuesta

P(U\mid R)=\dfrac{8}{31}\approx 0{,}2581

.

Ejercicio 1 · Problema 1

a) Cuándo tiene solución A2X=BA^2X=BA2X=B

b) Todas las soluciones

Ejercicio 2 · Problema 2

a) Cálculo de (ABT+I)−1(AB^T+I)^{-1}(ABT+I)−1

b) Comprobación de C2=−α3IC^2=-\alpha^3 IC2=−α3I y cálculo de C13C^{13}C13

Ejercicio 3 · Problema 3

a) Valores de aaa para los que rrr y la recta PQPQPQ son paralelas

b) Plano perpendicular a rrr que pasa por PPP

Ejercicio 4 · Problema 4

a) Q∈rQ\in rQ∈r y recta sss que pasa por PPP y QQQ

b) Ángulo entre rrr y sss

c) Proyección ortogonal de PPP sobre rrr

Ejercicio 5 · Problema 5

a) Dominio y asíntotas

b) Monotonía y extremos relativos

c) Área entre x=1x=1x=1 y x=2x=2x=2

Ejercicio 6 · Problema 6

a) Dimensiones de la puerta de superficie máxima

b) Área de la puerta y área recubierta de piedra

Ejercicio 7 · Problema 7

a) Las dos monedas lanzadas a la vez

b) Volviendo a lanzar las monedas que salieron cruz

Ejercicio 8 · Problema 8

a) Probabilidad de que un vuelo se retrase

b) Probabilidad de que un vuelo retrasado proceda de la Unión Europea

a) Cuándo tiene solución $A^2X=B$

a) Cálculo de $(AB^T+I)^{-1}$

b) Comprobación de $C^2=-\alpha^3 I$ y cálculo de $C^{13}$

a) Valores de $a$ para los que $r$ y la recta $PQ$ son paralelas

b) Plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$

a) $Q\in r$ y recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$

b) Ángulo entre $r$ y $s$

c) Proyección ortogonal de $P$ sobre $r$

c) Área entre $x=1$ y $x=2$