PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2024 julio – resuelto (PDF)

Ejercicio 1 · Problema 1

Enunciado

Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix} 0 & k & 3\\ k & \frac{1}{3} & 1\\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}$ donde $k$ es un número real.

a) ¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ es invertible? (2 puntos)

b) Para $k=0$ , si existe, calcular la matriz inversa de $A$ . (4 puntos)

c) Para $k=0$ , hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $AD=DA$ . (4 puntos)

Solución

a) Valores de $k$ para los que $A$ es invertible

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|A|$ por la regla de Sarrus:

\begin{aligned} |A|&=\begin{vmatrix} 0 & k & 3\\ k & \frac{1}{3} & 1\\ 2 & -1 & -1\end{vmatrix}\\[4pt] &=\Big(0\cdot\tfrac{1}{3}\cdot(-1)+k\cdot 1\cdot 2+3\cdot k\cdot(-1)\Big)-\Big(3\cdot\tfrac{1}{3}\cdot 2+0\cdot 1\cdot(-1)+k\cdot k\cdot(-1)\Big) \end{aligned}

|A|=(2k-3k)-(2-k^2)=k^2-k-2.

Igualamos a cero:

k^2-k-2=0\iff k=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}\iff k=2\ \text{ o }\ k=-1.

Es decir, $|A|=(k-2)(k+1)$ .

Si $k=2$ o $k=-1$ , $|A|=0$ y $A$ no es invertible.
Si $k\neq 2$ y $k\neq -1$ , $|A|\neq 0$ y $A$ es invertible.

Respuesta

A

es invertible si y solo si

k\neq -1

y

k\neq 2

, es decir, para

k\in\mathbb{R}\setminus\{-1,\,2\}

.

b) Inversa de $A$ para $k=0$

Para $k=0$ ,

A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3\\ 0 & \frac{1}{3} & 1\\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix},\qquad |A|=0^2-0-2=-2\neq 0,

así que, por el apartado a), existe $A^{-1}$ . La calculamos con la fórmula $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj}A)^t$ . Los adjuntos $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ son (los ceros de la esquina superior izquierda de $A$ hacen que $A_{23}$ , $A_{32}$ y $A_{33}$ salgan $0$ casi sin cuentas):

\begin{aligned} A_{11}&=+\begin{vmatrix} \frac{1}{3} & 1\\ -1 & -1\end{vmatrix}=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3}, & A_{12}&=-\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix}=-(0-2)=2, & A_{13}&=+\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{3}\\ 2 & -1\end{vmatrix}=0-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{2}{3},\\[4pt] A_{21}&=-\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1 & -1\end{vmatrix}=-(0+3)=-3, & A_{22}&=+\begin{vmatrix} 0 & 3\\ 2 & -1\end{vmatrix}=0-6=-6, & A_{23}&=-\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 2 & -1\end{vmatrix}=0,\\[4pt] A_{31}&=+\begin{vmatrix} 0 & 3\\ \frac{1}{3} & 1\end{vmatrix}=0-1=-1, & A_{32}&=-\begin{vmatrix} 0 & 3\\ 0 & 1\end{vmatrix}=0, & A_{33}&=+\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{3}\end{vmatrix}=0. \end{aligned}

Por tanto,

\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 2 & -\frac{2}{3}\\ -3 & -6 & 0\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad (\operatorname{Adj}A)^t=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -3 & -1\\ 2 & -6 & 0\\ -\frac{2}{3} & 0 & 0\end{pmatrix},

y dividiendo entre $|A|=-2$ :

A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -3 & -1\\ 2 & -6 & 0\\ -\frac{2}{3} & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\ -1 & 3 & 0\\ \frac{1}{3} & 0 & 0\end{pmatrix}.

Comprobación. Multiplicando fila por columna:

A\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3\\ 0 & \frac{1}{3} & 1\\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\ -1 & 3 & 0\\ \frac{1}{3} & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -\frac{1}{3}+\frac{1}{3} & 1 & 0\\ -\frac{2}{3}+1-\frac{1}{3} & 3-3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=I.

Por ejemplo, la entrada $(3,1)$ es la fila 3 de $A$ por la columna 1 de $A^{-1}$ : $2\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot\tfrac{1}{3}=-\tfrac{2}{3}+1-\tfrac{1}{3}=0$ . Las demás se obtienen igual.

Respuesta

Para

k=0

,

|A|=-2\neq 0

y

A^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\ -1 & 3 & 0\\ \frac{1}{3} & 0 & 0\end{pmatrix}

.

c) Matrices diagonales $D$ con $AD=DA$ para $k=0$

Una matriz diagonal $3\times 3$ genérica es

D=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end{pmatrix},\qquad a,b,c\in\mathbb{R}.

Multiplicar por $D$ a la derecha multiplica cada columna de $A$ por $a$ , $b$ y $c$ ; multiplicar por $D$ a la izquierda multiplica cada fila de $A$ por $a$ , $b$ y $c$ :

AD=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3\\ 0 & \frac{1}{3} & 1\\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3c\\ 0 & \frac{b}{3} & c\\ 2a & -b & -c\end{pmatrix},

DA=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3\\ 0 & \frac{1}{3} & 1\\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3a\\ 0 & \frac{b}{3} & b\\ 2c & -c & -c\end{pmatrix}.

Igualando elemento a elemento (las posiciones $(1,1)$ , $(1,2)$ , $(2,1)$ , $(2,2)$ y $(3,3)$ ya coinciden en $AD$ y $DA$ ), $AD=DA$ equivale a

\begin{cases} 3c=3a & (\text{elemento } (1,3))\\ c=b & (\text{elemento } (2,3))\\ 2a=2c & (\text{elemento } (3,1))\\ -b=-c & (\text{elemento } (3,2))\end{cases}\iff a=b=c.

Las ecuaciones se repiten de dos en dos ( $3c=3a$ y $2a=2c$ dicen lo mismo, y también $c=b$ y $-b=-c$ ), así que en realidad solo hay dos condiciones independientes: $a=c$ y $b=c$ .

Así que las matrices diagonales que conmutan con $A$ son las que tienen los tres elementos de la diagonal iguales, es decir, los múltiplos de la identidad: $a=b=c=\lambda$ y $D=\lambda I$ . Recíprocamente, toda matriz $\lambda I$ conmuta con $A$ , porque $A(\lambda I)=\lambda A=(\lambda I)A$ .

Respuesta

AD=DA

si y solo si

a=b=c=\lambda

, es decir,

D=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}=\lambda I

con

\lambda\in\mathbb{R}

cualquiera.

Ejercicio 2 · Problema 2

Enunciado

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ a & 0 & 3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$ . Se pide:

a) Estudiar los valores del parámetro real $a$ para los que la ecuación matricial $A^2X=B$ tiene una única solución. (5 puntos)

b) Sabiendo que el vector $\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ -1\end{pmatrix}$ es una solución de la ecuación $A^2X=B$ , encontrar el valor de $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ dependiendo del parámetro real $a$ . (5 puntos)

Solución

a) Valores de $a$ para los que $A^2X=B$ tiene solución única

$B$ es una matriz $3\times 1$ y $A^2$ es $3\times 3$ , así que la incógnita $X$ es una matriz columna $3\times 1$ y la ecuación $A^2X=B$ es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es $A^2$ .

Si $A^2$ es invertible, multiplicando por la izquierda por $(A^2)^{-1}$ se obtiene la única solución $X=(A^2)^{-1}B$ (y en efecto la cumple, pues $A^2(A^2)^{-1}B=B$ ), sean cuales sean $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ .
Si $A^2$ no es invertible, $|A^2|=0$ y $\operatorname{rg}(A^2)<3$ : por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es incompatible o compatible indeterminado, pero nunca tiene solución única.

Por tanto, hay solución única si y solo si $|A^2|\neq 0$ . Como $|A^2|=|A|\cdot|A|=|A|^2$ , basta calcular $|A|$ . Desarrollando por la segunda columna (que solo tiene un elemento no nulo):

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ a & 0 & 3\end{vmatrix} = 2\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 2\\ a & 3\end{vmatrix} = 2(3-2a)=6-4a.

Entonces

|A^2|=|A|^2=(6-4a)^2=4(2a-3)^2,

que se anula únicamente cuando $6-4a=0$ , es decir, $a=\dfrac{3}{2}$ .

Si $a\neq \dfrac32$ : $|A^2|\neq 0$ , $\operatorname{rg}(A^2)=3=\text{n.º de incógnitas}$ y la ecuación tiene una única solución, $X=(A^2)^{-1}B=A^{-1}A^{-1}B$ , para cualesquiera $\alpha,\beta,\gamma$ .
Si $a=\dfrac32$ : $|A^2|=0$ y la ecuación no tiene solución única. Aunque no hace falta para responder, podemos precisar el rango. Con $a=\dfrac32$ resulta
$A^2=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 8\\ \tfrac{21}{2} & 4 & 11\\ 6 & 0 & 12\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix} 4 & 0\\ \tfrac{21}{2} & 4\end{vmatrix}=16\neq 0,$
y como las filas 1 y 3 son proporcionales ( $(6,0,12)=\tfrac32(4,0,8)$ ), $\operatorname{rg}(A^2)=2<3$ . Según $B$ , no hay solución o hay infinitas.

Respuesta

La ecuación

A^2X=B

tiene una única solución si y solo si

a\neq \dfrac32

(entonces

|A^2|=(6-4a)^2\neq 0

y

X=(A^2)^{-1}B

). Para

a=\dfrac32

,

\operatorname{rg}(A^2)=2

y nunca hay solución única.

b) $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ si $X=(3,-2,-1)^t$ es solución

Si $X=\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ -1\end{pmatrix}$ es solución, entonces $B=A^2X$ . Esto vale para todo valor de $a$ (también para $a=\frac32$ : la igualdad $A^2X=B$ define $B$ , no hace falta que la solución sea única). Para ahorrar cuentas calculamos $A^2X=A\,(AX)$ :

AX=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ a & 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+0-2\\ 9-4-1\\ 3a+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3a-3\end{pmatrix},

A^2X=A(AX)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ a & 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3a-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+0+6a-6\\ 3+8+3a-3\\ a+0+9a-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6a-5\\ 3a+8\\ 10a-9\end{pmatrix}.

Igualando con $B=\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$ :

\alpha=6a-5,\qquad \beta=3a+8,\qquad \gamma=10a-9.

Comprobación. Calculando directamente $A^2=\begin{pmatrix} 2a+1 & 0 & 8\\ a+9 & 4 & 11\\ 4a & 0 & 2a+9\end{pmatrix}$ , la primera fila por $X$ da $3(2a+1)+0-8=6a-5=\alpha$ , la segunda $3(a+9)-8-11=3a+8=\beta$ y la tercera $12a-(2a+9)=10a-9=\gamma$ . Coincide.

Respuesta

\alpha=6a-5

,

\beta=3a+8

,

\gamma=10a-9

, para todo

a\in\mathbb{R}

.

Ejercicio 3 · Problema 3

Enunciado

Se dan las rectas $r\colon x-1=y-2=\dfrac{z-1}{2}$ y $s\colon \dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{2}$ . Se pide:

a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección. (5 puntos)

b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$ . (5 puntos)

Solución

Datos de las rectas. De las ecuaciones continuas leemos un punto y un vector director de cada recta (los denominadores de $x-1$ e $y-2$ en $r$ valen $1$ ):

r\colon\ A_r=(1,2,1),\quad \vec u_r=(1,1,2);\qquad s\colon\ B_s=(3,3,-1),\quad \vec u_s=(-2,-1,2).

a) Las rectas se cortan; punto de corte $P$

Posición relativa. Dos rectas se cortan si son coplanarias y no paralelas.

No son paralelas: $\vec u_r=(1,1,2)$ y $\vec u_s=(-2,-1,2)$ no son proporcionales, porque $\dfrac{1}{-2}\neq\dfrac{1}{-1}$ . Por tanto, $\operatorname{rg}(\vec u_r,\vec u_s)=2$ .
Son coplanarias: tomamos el vector que une los dos puntos,
$\overrightarrow{A_rB_s}=(3-1,\ 3-2,\ -1-1)=(2,1,-2),$
y calculamos el determinante de los tres vectores:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2\\ 1 & 1 & 2\\ -2 & -1 & 2\end{vmatrix}=4-4+2-4+4-2=0.$
(Era de esperar: la primera y la tercera fila son opuestas, $\overrightarrow{A_rB_s}=-\vec u_s$ . Eso significa que $A_r=B_s+1\cdot\vec u_s$ está en $s$ , con $\mu=1$ , así que $A_r$ ya es el punto de corte.)

Como el determinante es nulo y $\operatorname{rg}(\vec u_r,\vec u_s)=2$ , se tiene $\operatorname{rg}\big(\overrightarrow{A_rB_s},\vec u_r,\vec u_s\big)=2$ : los tres vectores están en un mismo plano y las rectas son coplanarias. Al ser coplanarias y no paralelas, las rectas se cortan en un único punto.

Punto de corte. Escribimos las dos rectas en paramétricas:

r\colon\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=2+\lambda\\ z=1+2\lambda\end{cases}\qquad\qquad s\colon\begin{cases}x=3-2\mu\\ y=3-\mu\\ z=-1+2\mu\end{cases}

e igualamos coordenada a coordenada:

\begin{cases}1+\lambda=3-2\mu\\ 2+\lambda=3-\mu\\ 1+2\lambda=-1+2\mu\end{cases}\ \Longrightarrow\ \begin{cases}\lambda+2\mu=2\\ \lambda+\mu=1\\ \lambda-\mu=-1\end{cases}

Restando las dos primeras, $\mu=1$ , y entonces $\lambda=0$ . La tercera ecuación se cumple: $0-1=-1$ ✓. Sustituyendo $\lambda=0$ en $r$ (o $\mu=1$ en $s$ ):

P=(1+0,\ 2+0,\ 1+0)=(1,2,1),\qquad P=(3-2,\ 3-1,\ -1+2)=(1,2,1).

Comprobación. $P=(1,2,1)$ está en $r$ : $1-1=2-2=\frac{1-1}{2}=0$ ✓. Y está en $s$ : $\frac{1-3}{-2}=\frac{2-3}{-1}=\frac{1+1}{2}=1$ ✓. Observa que $P$ es justamente el punto $A_r$ que habíamos leído en la ecuación de $r$ .

Respuesta

\vec u_r

y

\vec u_s

no son proporcionales y

\big[\overrightarrow{A_rB_s},\vec u_r,\vec u_s\big]=0

, así que las rectas son coplanarias y no paralelas: se cortan. El punto de intersección es

P=(1,2,1)

.

b) Recta por $P$ perpendicular a $r$ y a $s$

Un vector director $\vec w$ de la recta buscada debe ser perpendicular a $\vec u_r$ y a $\vec u_s$ . Sirve su producto vectorial:

\vec w=\vec u_r\times\vec u_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 2\\ -2 & -1 & 2\end{vmatrix}=(2+2)\,\vec i-(2+4)\,\vec j+(-1+2)\,\vec k=(4,-6,1).

Comprobación: $\vec w\cdot\vec u_r=4-6+2=0$ ✓ y $\vec w\cdot\vec u_s=-8+6+2=0$ ✓.

La recta pasa por $P=(1,2,1)$ con vector director $\vec w=(4,-6,1)$ :

\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-1}{1}\qquad\text{o, en paramétricas,}\qquad \begin{cases}x=1+4\lambda\\ y=2-6\lambda\\ z=1+\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb R.

Respuesta

La recta pedida es

\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-2}{-6}=\dfrac{z-1}{1}

, es decir,

(x,y,z)=(1,2,1)+\lambda\,(4,-6,1)

,

\lambda\in\mathbb R

.

Ejercicio 4 · Problema 4

Enunciado

Sea el plano $\pi\colon 6x+4y-3z-d=0$ . Se pide:

a) Calcular los valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos)

b) Calcular, en función del parámetro $d$ , las coordenadas de los puntos $A$ , $B$ y $C$ que resultan de intersectar el plano $\pi$ con los ejes de coordenadas, $X$ , $Y$ y $Z$ , respectivamente. (3 puntos)

c) Para $d\neq 0$ , calcular el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)

Solución

a) Valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea 1

La distancia de un punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ al plano $\pi\colon ax+by+cz+e=0$ es

\operatorname{dist}(P_0,\pi)=\frac{|a x_0+b y_0+c z_0+e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Para $\pi\colon 6x+4y-3z-d=0$ , el vector normal es $\vec n=(6,4,-3)$ , con $|\vec n|=\sqrt{36+16+9}=\sqrt{61}$ . Con $O=(0,0,0)$ :

\operatorname{dist}(O,\pi)=\frac{|6\cdot 0+4\cdot 0-3\cdot 0-d|}{\sqrt{61}}=\frac{|d|}{\sqrt{61}}.

Imponemos que la distancia valga una unidad:

\frac{|d|}{\sqrt{61}}=1 \iff |d|=\sqrt{61} \iff d=\sqrt{61}\ \text{ o }\ d=-\sqrt{61}.

Comprobación: para $d=\pm\sqrt{61}$ , $\operatorname{dist}(O,\pi)=\dfrac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}=1$ . Hay dos soluciones porque hay dos planos paralelos (con el mismo vector normal) a distancia $1$ del origen, uno a cada lado.

Respuesta

d=\sqrt{61}

o

d=-\sqrt{61}

(dos planos paralelos,

6x+4y-3z\mp\sqrt{61}=0

, a distancia una unidad del origen).

b) Puntos de corte con los ejes en función de $d$

Cada eje se describe anulando las otras dos coordenadas:

Eje $X$ ( $y=0$ , $z=0$ ): $6x-d=0 \Rightarrow x=\dfrac d6$ , luego $A=\left(\dfrac d6,\,0,\,0\right)$ .
Eje $Y$ ( $x=0$ , $z=0$ ): $4y-d=0 \Rightarrow y=\dfrac d4$ , luego $B=\left(0,\,\dfrac d4,\,0\right)$ .
Eje $Z$ ( $x=0$ , $y=0$ ): $-3z-d=0 \Rightarrow z=-\dfrac d3$ , luego $C=\left(0,\,0,\,-\dfrac d3\right)$ .

Comprobación: $6\cdot\frac d6-d=0$ , $4\cdot\frac d4-d=0$ y $-3\cdot\left(-\frac d3\right)-d=0$ , así que los tres puntos están en $\pi$ .

Respuesta

A=\left(\dfrac d6,0,0\right)

,

B=\left(0,\dfrac d4,0\right)

,

C=\left(0,0,-\dfrac d3\right)

(para

d=0

los tres coinciden con el origen).

c) Ángulo entre $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ para $d\neq 0$

Calculamos los vectores con los puntos del apartado b):

\overrightarrow{AB}=B-A=\left(-\frac d6,\ \frac d4,\ 0\right),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=\left(-\frac d6,\ 0,\ -\frac d3\right).

El ángulo $\alpha$ entre dos vectores no nulos cumple

\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|}.

Producto escalar:

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-\frac d6\right)\left(-\frac d6\right)+\frac d4\cdot 0+0\cdot\left(-\frac d3\right)=\frac{d^2}{36}.

Módulos (como $d\neq0$ , los dos vectores son no nulos):

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\frac{d^2}{36}+\frac{d^2}{16}}=|d|\sqrt{\frac{4+9}{144}}=\frac{|d|\sqrt{13}}{12},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{\frac{d^2}{36}+\frac{d^2}{9}}=|d|\sqrt{\frac{1+4}{36}}=\frac{|d|\sqrt{5}}{6}.

Coseno: como $|d|^2=d^2$ ,

\cos\alpha=\frac{\dfrac{d^2}{36}}{\dfrac{|d|\sqrt{13}}{12}\cdot\dfrac{|d|\sqrt5}{6}}=\frac{\dfrac{d^2}{36}}{\dfrac{d^2\sqrt{65}}{72}}=\frac{72}{36\sqrt{65}}=\frac{2}{\sqrt{65}}=\frac{2\sqrt{65}}{65}\approx 0{,}248.

El resultado no depende de $d$ (para cualquier $d\neq 0$ , positivo o negativo): en efecto, $\overrightarrow{AB}=d\left(-\frac16,\frac14,0\right)$ y $\overrightarrow{AC}=d\left(-\frac16,0,-\frac13\right)$ son $d$ por vectores fijos, y multiplicar ambos por el mismo número no nulo no cambia el ángulo que forman. Como $\cos\alpha>0$ , el ángulo es agudo:

\alpha=\arccos\frac{2\sqrt{65}}{65}\approx 75{,}64^\circ\approx 75^\circ\,38'\,12''.

Nota

Otra forma de hacerlo. Como el ángulo no depende de $d$ , se puede tomar un valor cómodo, por ejemplo $d=12$ : $A=(2,0,0)$ , $B=(0,3,0)$ , $C=(0,0,-4)$ , $\overrightarrow{AB}=(-2,3,0)$ , $\overrightarrow{AC}=(-2,0,-4)$ y $\cos\alpha=\dfrac{4}{\sqrt{13}\sqrt{20}}=\dfrac{2}{\sqrt{65}}$ . Pero hay que justificar antes que el ángulo es independiente de $d$ (como se ha visto, $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ son $d$ por vectores fijos).

Error frecuente: escribir $|\overrightarrow{AB}|=\dfrac{d\sqrt{13}}{12}$ sin valor absoluto; para $d<0$ el módulo saldría negativo. Aquí no cambia el resultado porque en el coseno aparece $|d|^2=d^2$ , pero conviene escribirlo bien.

Respuesta

\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{65}}=\dfrac{2\sqrt{65}}{65}\approx 0{,}248

, luego

\alpha=\arccos\dfrac{2\sqrt{65}}{65}\approx 75{,}64^\circ

(

75^\circ\,38'\,12''

), el mismo para todo

d\neq 0

.

Ejercicio 5 · Problema 5

Enunciado

Se considera la función $h(x)=ax+x^2$ , donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

a) El valor de $a$ que hace que la gráfica de la función $y=h(x)$ tenga un mínimo relativo en la abscisa $x=-\frac{3}{4}$ . (3 puntos)

b) Para el valor $a$ del apartado anterior, dibuja las curvas $y=h(x)$ e $y=h'(x)$ . (2 puntos)

c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)

Solución

a) Valor de $a$

La función $h(x)=ax+x^2$ es polinómica, luego es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ . Por tanto, si tiene un mínimo relativo en $x=-\frac{3}{4}$ , necesariamente $h'\!\left(-\frac{3}{4}\right)=0$ :

h'(x)=a+2x \quad\Longrightarrow\quad h'\!\left(-\tfrac{3}{4}\right)=a-\tfrac{3}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac{3}{2}.

Comprobamos que es un mínimo (y no un máximo) con la segunda derivada:

h''(x)=2>0 \quad\text{para todo } x,

así que en $x=-\frac{3}{4}$ hay un mínimo relativo. Observa que $h''(x)=2>0$ para cualquier $a$ : el punto crítico es siempre un mínimo, y la condición $h'\!\left(-\frac34\right)=0$ (necesaria) es la que fija $a$ ; $h''>0$ la hace suficiente. Con $a=\frac32$ , $h(x)=x^2+\frac{3}{2}x$ y el mínimo es el punto $\left(-\frac34,\,h\!\left(-\frac34\right)\right)=\left(-\frac34,\,-\frac{9}{16}\right)$ .

Respuesta

a=\dfrac{3}{2}

. Entonces

h(x)=x^2+\dfrac{3}{2}x

, con mínimo relativo en

\left(-\dfrac34,\,-\dfrac{9}{16}\right)

(pues

h''(x)=2>0

).

b) Gráficas de $y=h(x)$ e $y=h'(x)$

Con $a=\frac32$ :

h(x)=x^2+\tfrac{3}{2}x, \qquad h'(x)=2x+\tfrac{3}{2}.

Curva $y=h(x)$ . Es una parábola abierta hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo):

Vértice (el mínimo del apartado a): $\left(-\frac34,\,-\frac{9}{16}\right)$ .
Cortes con los ejes: $x^2+\frac32x=x\left(x+\frac32\right)=0 \Rightarrow x=0,\ x=-\frac32$ ; puntos $(0,0)$ (corte con $OX$ y con $OY$ a la vez) y $\left(-\frac32,0\right)$ .

Curva $y=h'(x)$ . Es una recta de pendiente $2$ :

Corte con $OY$ : $\left(0,\frac32\right)$ .
Corte con $OX$ : $2x+\frac32=0\Rightarrow x=-\frac34$ , punto $\left(-\frac34,0\right)$ (justo en la abscisa del mínimo de $h$ , como debe ser).

Puntos de corte entre ambas curvas (los necesitaremos en c):

x^2+\tfrac32x=2x+\tfrac32 \;\Longleftrightarrow\; x^2-\tfrac12x-\tfrac32=0 \;\Longleftrightarrow\; 2x^2-x-3=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\frac{1\pm5}{4},

es decir, $x=-1$ y $x=\frac32$ . Los puntos son $\left(-1,-\frac12\right)$ y $\left(\frac32,\frac92\right)$ .

Cargando la gráfica…

Parábola y = x² + 3x/2, con vértice en (−3/4, −9/16) y cortes con el eje X en x = −3/2 y x = 0, y recta y = 2x + 3/2, que corta a los ejes en (−3/4, 0) y (0, 3/2). Ambas curvas se cortan en P(−1, −1/2) y Q(3/2, 9/2); entre ambos puntos la recta queda por encima de la parábola. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

Parábola

y=x^2+\frac32x

: vértice

\left(-\frac34,-\frac{9}{16}\right)

, cortes

\left(-\frac32,0\right)

y

(0,0)

. Recta

y=2x+\frac32

: pasa por

\left(-\frac34,0\right)

y

\left(0,\frac32\right)

. Se cortan en

\left(-1,-\frac12\right)

y

\left(\frac32,\frac92\right)

.

c) Área entre ambas curvas

Las curvas se cortan en $x=-1$ y $x=\frac32$ (apartado b), así que encierran un único recinto en $\left[-1,\frac32\right]$ . Para saber qué curva va por encima evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$ : $h'(0)=\frac32>h(0)=0$ . Como en $\left(-1,\frac32\right)$ no hay más cortes, la recta está por encima de la parábola en todo el intervalo:

h'(x)-h(x)=2x+\tfrac32-x^2-\tfrac32x=-x^2+\tfrac12x+\tfrac32 .

Una primitiva es $G(x)=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3}{2}x$ , y por la regla de Barrow:

G\!\left(\tfrac32\right)=-\tfrac{9}{8}+\tfrac{9}{16}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{-18+9+36}{16}=\tfrac{27}{16}, \qquad G(-1)=\tfrac13+\tfrac14-\tfrac32=\tfrac{4+3-18}{12}=-\tfrac{11}{12},

A=\int_{-1}^{3/2}\left[\left(2x+\tfrac32\right)-\left(x^2+\tfrac32x\right)\right]dx=G\!\left(\tfrac32\right)-G(-1)=\frac{27}{16}+\frac{11}{12}=\frac{81+44}{48}=\frac{125}{48}.

Nota

Comprobación rápida: el área entre una parábola

y=px^2+\dots

y una recta que la corta en

x=\alpha

y

x=\beta

vale

\dfrac{|p|\,(\beta-\alpha)^3}{6}

. Aquí

|p|=1

y

\beta-\alpha=\frac52

, así que

A=\dfrac{(5/2)^3}{6}=\dfrac{125}{48}

. Es solo una comprobación: en el examen hay que plantear y calcular la integral, porque los criterios puntúan el planteamiento. Errores frecuentes: tomar como límites de integración los cortes con los ejes (

-\frac32

,

-\frac34

,

0

) en lugar de las abscisas de los cortes entre las dos curvas (

-1

y

\frac32

), o integrar

h(x)-h'(x)

y dar un área negativa,

-\frac{125}{48}

; el área es siempre positiva (se integra «la de arriba menos la de abajo» o se toma el valor absoluto).

Respuesta

A=\displaystyle\int_{-1}^{3/2}\left(-x^2+\tfrac12x+\tfrac32\right)dx=\dfrac{125}{48}\approx 2{,}6042\ \text{u}^2

.

Ejercicio 6 · Problema 6

Enunciado

Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud $x$ en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular:

(El examen incluye una figura: la hoja rectangular con líneas discontinuas que delimitan un cuadrado en cada esquina, por donde se dobla; los dos lados del cuadrado de la esquina inferior izquierda están rotulados con $x$ .)

a) Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible. (8 puntos)

b) Dicho volumen. (2 puntos)

Solución

a) Dimensiones de la caja de volumen máximo

Planteamiento. Al recortar un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y levantar los laterales, la caja tiene:

largo: $16 - 2x$ cm,
ancho: $10 - 2x$ cm,
alto: $x$ cm.

Para que la caja exista, todas las medidas han de ser positivas: $x > 0$ y $10 - 2x > 0$ , es decir, $0 < x < 5$ (la condición $16 - 2x > 0$ , es decir, $x < 8$ , ya se cumple).

Función a optimizar. El volumen (en cm³) es

V(x) = x\,(16-2x)(10-2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x, \qquad 0 < x < 5.

Puntos críticos. Derivamos e igualamos a cero:

V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4\,(3x^2 - 26x + 40) = 0

x = \frac{26 \pm \sqrt{26^2 - 4\cdot 3\cdot 40}}{6} = \frac{26 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{26 \pm 14}{6} \;\Rightarrow\; x = 2 \quad\text{o}\quad x = \frac{20}{3}.

Como $\frac{20}{3} \approx 6{,}67$ no pertenece al intervalo $(0, 5)$ (el ancho saldría negativo: $10 - \frac{40}{3} < 0$ ), se descarta. El único candidato es $x = 2$ .

Comprobación de que es máximo. Con la segunda derivada:

V''(x) = 24x - 104, \qquad V''(2) = 48 - 104 = -56 < 0,

luego en $x = 2$ hay un máximo relativo. Además, $V'(x) = 4(x-2)(3x-20)$ es positiva en $(0,2)$ y negativa en $(2,5)$ , así que $V$ crece hasta $x=2$ y decrece después: el máximo es absoluto en el intervalo. (En los extremos, $V(x)\to 0$ cuando $x\to 0^+$ y cuando $x\to 5^-$ .)

Dimensiones. Para $x = 2$ :

\text{largo} = 16 - 2\cdot 2 = 12 \text{ cm}, \qquad \text{ancho} = 10 - 2\cdot 2 = 6 \text{ cm}, \qquad \text{alto} = 2 \text{ cm}.

Cargando la gráfica…

Gráfica del volumen V(x) = x(16 − 2x)(10 − 2x) en el intervalo de 0 a 5: crece desde 0 hasta alcanzar el máximo 144 en x = 2 y después decrece hasta 0 en x = 5. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

El volumen es máximo al recortar cuadrados de lado

x = 2

cm. La caja mide

12

cm de largo,

6

cm de ancho y

2

cm de alto.

b) Volumen máximo

Sustituimos $x = 2$ en la función volumen:

V(2) = 2\cdot(16-4)\cdot(10-4) = 2\cdot 12\cdot 6 = 144 \text{ cm}^3.

Respuesta

El volumen máximo es

V = 144

cm³.

Ejercicio 7 · Problema 7

Enunciado

Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10,25 % de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30 % de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el 10 % defectuosas. El 25 % de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el 5 % defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa? (4 puntos)

b) Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina? (3 puntos)

c) Si se escoge una lata al azar y es defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina? (3 puntos)

Solución

Definimos los sucesos, para una lata elegida al azar entre las que fabrica la empresa:

$M_1$ , $M_2$ , $M_3$ : «la lata se ha fabricado en la primera, segunda o tercera máquina», respectivamente;
$D$ : «la lata es defectuosa».

Los sucesos $M_1$ , $M_2$ y $M_3$ forman un sistema completo de sucesos (cada lata sale de una y solo una máquina). Del enunciado:

P(M_1)=0{,}30,\qquad P(M_2)=0{,}25,\qquad P(M_3)=1-0{,}30-0{,}25=0{,}45,

P(D\mid M_1)=0{,}10,\qquad P(D\mid M_2)=0{,}05,\qquad P(D)=0{,}1025.

La incógnita es $p=P(D\mid M_3)$ . El diagrama de árbol queda:

Primera rama	Segunda rama	Probabilidad del camino
$M_1$ $(0{,}30)$	$D$ $(0{,}10)$	$0{,}30\cdot 0{,}10=0{,}03$
	$\overline{D}$ $(0{,}90)$	$0{,}30\cdot 0{,}90=0{,}27$
$M_2$ $(0{,}25)$	$D$ $(0{,}05)$	$0{,}25\cdot 0{,}05=0{,}0125$
	$\overline{D}$ $(0{,}95)$	$0{,}25\cdot 0{,}95=0{,}2375$
$M_3$ $(0{,}45)$	$D$ $(p)$	$0{,}45\,p$
	$\overline{D}$ $(1-p)$	$0{,}45\,(1-p)$

a) Probabilidad de que una lata de la tercera máquina sea defectuosa

Por el teorema de la probabilidad total, con el sistema completo $\{M_1, M_2, M_3\}$ :

P(D)=P(M_1)\,P(D\mid M_1)+P(M_2)\,P(D\mid M_2)+P(M_3)\,P(D\mid M_3).

Sustituyendo los datos:

0{,}1025=0{,}30\cdot 0{,}10+0{,}25\cdot 0{,}05+0{,}45\,p=0{,}03+0{,}0125+0{,}45\,p=0{,}0425+0{,}45\,p,

de donde

0{,}45\,p=0{,}1025-0{,}0425=0{,}06\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{0{,}06}{0{,}45}=\frac{2}{15}\approx 0{,}1333.

Comprobación: $0{,}03+0{,}0125+0{,}45\cdot\dfrac{2}{15}=0{,}03+0{,}0125+0{,}06=0{,}1025$ . Además $0\le p\le 1$ , así que es una probabilidad válida.

Respuesta

P(D\mid M_3)=\dfrac{2}{15}\approx 0{,}1333

: aproximadamente el 13,33 % de las latas de la tercera máquina son defectuosas.

b) Probabilidad de que una lata no defectuosa proceda de la primera máquina

Nos piden $P(M_1\mid \overline{D})$ . Por el suceso contrario,

P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}1025=0{,}8975,\qquad P(\overline{D}\mid M_1)=1-0{,}10=0{,}90.

Por el teorema de Bayes:

P(M_1\mid \overline{D})=\frac{P(M_1\cap\overline{D})}{P(\overline{D})}=\frac{P(M_1)\,P(\overline{D}\mid M_1)}{P(\overline{D})}=\frac{0{,}30\cdot 0{,}90}{0{,}8975}=\frac{0{,}27}{0{,}8975}=\frac{108}{359}\approx 0{,}3008.

Comprobación con el árbol: $P(\overline{D})=0{,}27+0{,}2375+0{,}45\cdot\dfrac{13}{15}=0{,}27+0{,}2375+0{,}39=0{,}8975$ .

Respuesta

P(M_1\mid \overline{D})=\dfrac{108}{359}\approx 0{,}3008

.

c) Probabilidad de que una lata defectuosa no proceda de la segunda máquina

Nos piden $P(\overline{M_2}\mid D)$ . Por el teorema de Bayes y el suceso contrario:

P(M_2\mid D)=\frac{P(M_2)\,P(D\mid M_2)}{P(D)}=\frac{0{,}25\cdot 0{,}05}{0{,}1025}=\frac{0{,}0125}{0{,}1025}=\frac{5}{41},

P(\overline{M_2}\mid D)=1-P(M_2\mid D)=1-\frac{5}{41}=\frac{36}{41}\approx 0{,}8780.

Nota

Otra forma de hacerlo (la que usan los criterios oficiales): como

\overline{M_2}=M_1\cup M_3

con

M_1

y

M_3

incompatibles,

P(\overline{M_2}\mid D)=P(M_1\mid D)+P(M_3\mid D)=\frac{0{,}03}{0{,}1025}+\frac{0{,}06}{0{,}1025}=\frac{12}{41}+\frac{24}{41}=\frac{36}{41}.

Los criterios oficiales dan el valor

0{,}8779

sin cálculos intermedios; coincide con sumar los dos sumandos truncados a cuatro decimales:

0{,}2926+0{,}5853=0{,}8779

(redondeando cada uno saldría

0{,}2927+0{,}5854=0{,}8781

). El valor exacto es

36/41=0{,}87804\ldots

, que redondeado a cuatro decimales es

0{,}8780

; cualquiera de estos valores aproximados es una respuesta correcta.

Respuesta

P(\overline{M_2}\mid D)=\dfrac{36}{41}\approx 0{,}8780

.

Ejercicio 8 · Problema 8

Enunciado

Se ha determinado que en el 60% de los mensajes enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía diez mensajes de WhatsApp. Se pide la probabilidad de que:

a) Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos. (3 puntos)

b) Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos. (3 puntos)

c) Ocho o más mensajes tengan emoticonos. (4 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

Solución

Planteamiento. Cada mensaje tiene dos resultados posibles: «lleva emoticono» (éxito) o «no lleva emoticono» (fracaso). El enunciado da el $60\,\%$ como probabilidad de éxito, $p = 0{,}6$ , y suponemos que los diez mensajes son independientes entre sí. Por tanto, la variable aleatoria

X = \text{«número de mensajes, de los diez, que llevan emoticono»}

sigue una distribución binomial $X \sim B(10;\ 0{,}6)$ , con $q = 1 - p = 0{,}4$ , y

P(X = k) = \binom{10}{k}\,(0{,}6)^k\,(0{,}4)^{10-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, 10.

Usaremos $p = \dfrac{3}{5}$ y $q = \dfrac{2}{5}$ para obtener los resultados exactos en forma de fracción.

Nota

Con la tabla del examen. El examen incluye una tabla de la función de distribución binomial $F(x) = P(X \leq x)$ , pero solo llega hasta $p = 0{,}50$ , así que no sirve directamente para $p = 0{,}6$ . El truco es contar los fracasos: la variable

Y = 10 - X = \text{«número de mensajes, de los diez, que no llevan emoticono»}

sigue una binomial $Y \sim B(10;\ 0{,}4)$ , que sí está en la tabla. Para $n = 10$ , $p = 0{,}40$ la tabla da $F(2) = 0{,}1673$ , $F(5) = 0{,}8338$ , $F(6) = 0{,}9452$ y $F(9) = 0{,}9999$ . Con ellas:

a) $P(X = 0) = P(Y = 10) = 1 - F(9) = 1 - 0{,}9999 = 0{,}0001$ .
b) $P(X = 4) = P(Y = 6) = F(6) - F(5) = 0{,}9452 - 0{,}8338 = 0{,}1114$ .
c) $P(X \geq 8) = P(Y \leq 2) = F(2) = 0{,}1673$ .

Los criterios oficiales solo publican los resultados, que coinciden con los de esta vía. Abajo hacemos el cálculo exacto con la fórmula, que además da las fracciones.

a) Ningún mensaje con emoticono

El suceso es $X = 0$ :

P(X = 0) = \binom{10}{0}(0{,}6)^0(0{,}4)^{10} = (0{,}4)^{10} = \left(\frac{2}{5}\right)^{10} = \frac{1024}{9\,765\,625} \approx 0{,}000105 \approx 0{,}0001 \text{ (a cuatro decimales)}.

Respuesta

P(X = 0) = \dfrac{1024}{9\,765\,625} \approx 0{,}0001

.

b) Exactamente dos quintas partes con emoticono

Las dos quintas partes de $10$ mensajes son $\dfrac{2}{5}\cdot 10 = 4$ mensajes, así que el suceso es $X = 4$ :

P(X = 4) = \binom{10}{4}(0{,}6)^4(0{,}4)^{6} = 210 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}004096 = 0{,}111476736 .

En forma de fracción, con $p = \dfrac{3}{5}$ y $q = \dfrac{2}{5}$ :

P(X = 4) = 210\cdot\frac{3^4\cdot 2^6}{5^{10}} = \frac{1\,088\,640}{9\,765\,625} = \frac{217\,728}{1\,953\,125} \approx 0{,}111477.

Respuesta

P(X = 4) = \dfrac{217\,728}{1\,953\,125} \approx 0{,}1115

.

c) Ocho o más mensajes con emoticono

El suceso es $X \geq 8$ , es decir, $X = 8$ , $X = 9$ o $X = 10$ (sucesos incompatibles), así que sumamos sus probabilidades:

P(X = 8) = \binom{10}{8}(0{,}6)^8(0{,}4)^2 = 45 \cdot 0{,}01679616 \cdot 0{,}16 = 0{,}120932352 = \frac{45\cdot 3^8\cdot 2^2}{5^{10}} = \frac{1\,180\,980}{9\,765\,625} = \frac{236\,196}{1\,953\,125}

P(X = 9) = \binom{10}{9}(0{,}6)^9(0{,}4)^1 = 10 \cdot 0{,}010077696 \cdot 0{,}4 = 0{,}040310784 = \frac{10\cdot 3^9\cdot 2}{5^{10}} = \frac{393\,660}{9\,765\,625} = \frac{78\,732}{1\,953\,125}

P(X = 10) = \binom{10}{10}(0{,}6)^{10} = 0{,}0060466176 = \frac{59\,049}{9\,765\,625}

P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = \frac{1\,633\,689}{9\,765\,625} \approx 0{,}16729.

Respuesta

P(X \geq 8) = \dfrac{1\,633\,689}{9\,765\,625} \approx 0{,}1673

.

Ejercicio 1 · Problema 1

a) Valores de kkk para los que AAA es invertible

b) Inversa de AAA para k=0k=0k=0

c) Matrices diagonales DDD con AD=DAAD=DAAD=DA para k=0k=0k=0

Ejercicio 2 · Problema 2

a) Valores de aaa para los que A2X=BA^2X=BA2X=B tiene solución única

b) α\alphaα, β\betaβ y γ\gammaγ si X=(3,−2,−1)tX=(3,-2,-1)^tX=(3,−2,−1)t es solución

Ejercicio 3 · Problema 3

a) Las rectas se cortan; punto de corte PPP

b) Recta por PPP perpendicular a rrr y a sss

Ejercicio 4 · Problema 4

a) Valores de ddd para que la distancia del plano al origen sea 1

b) Puntos de corte con los ejes en función de ddd

c) Ángulo entre AB→\overrightarrow{AB}AB y AC→\overrightarrow{AC}AC para d≠0d\neq 0d=0

Ejercicio 5 · Problema 5

a) Valor de aaa

b) Gráficas de y=h(x)y=h(x)y=h(x) e y=h′(x)y=h'(x)y=h′(x)

c) Área entre ambas curvas

Ejercicio 6 · Problema 6

a) Dimensiones de la caja de volumen máximo

b) Volumen máximo

Ejercicio 7 · Problema 7

a) Probabilidad de que una lata de la tercera máquina sea defectuosa

b) Probabilidad de que una lata no defectuosa proceda de la primera máquina

c) Probabilidad de que una lata defectuosa no proceda de la segunda máquina

Ejercicio 8 · Problema 8

a) Ningún mensaje con emoticono

b) Exactamente dos quintas partes con emoticono

c) Ocho o más mensajes con emoticono

a) Valores de $k$ para los que $A$ es invertible

b) Inversa de $A$ para $k=0$

c) Matrices diagonales $D$ con $AD=DA$ para $k=0$

a) Valores de $a$ para los que $A^2X=B$ tiene solución única

b) $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ si $X=(3,-2,-1)^t$ es solución

a) Las rectas se cortan; punto de corte $P$

b) Recta por $P$ perpendicular a $r$ y a $s$

a) Valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea 1

b) Puntos de corte con los ejes en función de $d$

c) Ángulo entre $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ para $d\neq 0$

a) Valor de $a$

b) Gráficas de $y=h(x)$ e $y=h'(x)$