PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2024 junio – resuelto (PDF)

Ejercicio 1 · Problema 1

Enunciado

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $m$ :

\begin{cases} -x+y+z=m\\ 2x+my-z=3m\\ (m-1)x+3y-z=6+m. \end{cases}

Se pide:

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$ . (6 puntos)

b) Para los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución. (4 puntos)

Solución

a) Discusión del sistema

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ :

A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\ 2 & m & -1\\ m-1 & 3 & -1\end{pmatrix},\qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & m\\ 2 & m & -1 & 3m\\ m-1 & 3 & -1 & 6+m\end{array}\right)

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible si y solo si $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)$ ; si además ese rango es 3 (el número de incógnitas), es compatible determinado.

Determinante de $A$ (regla de Sarrus):

\begin{aligned} |A| &= \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1\\ 2 & m & -1\\ m-1 & 3 & -1\end{vmatrix}\\ &= (-1)\cdot m\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\cdot(m-1) + 1\cdot 2\cdot 3 - \big[\,1\cdot m\cdot(m-1) + (-1)\cdot(-1)\cdot 3 + 1\cdot 2\cdot(-1)\,\big]\\ &= m - m + 1 + 6 - (m^2 - m + 3 - 2)\\ &= -m^2 + m + 6 . \end{aligned}

Lo igualamos a cero:

-m^2+m+6=0 \iff m^2-m-6=0 \iff m=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm 5}{2} \iff m=3 \ \text{ o } \ m=-2 .

Es decir, $|A| = -(m-3)(m+2)$ .

Caso 1: $m\neq 3$ y $m\neq -2$ . Entonces $|A|\neq 0$ , luego $\operatorname{rg}(A)=3$ . Como $A$ está contenida en $A^*$ y $A^*$ tiene solo 3 filas, $3=\operatorname{rg}(A)\le\operatorname{rg}(A^*)\le 3$ , luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$ . Así $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$ (el número de incógnitas): el sistema es compatible determinado.

Caso 2: $m=3$ .

A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & -1 & 9\\ 2 & 3 & -1 & 9\end{array}\right)

$|A|=0$ , y el menor $\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & 3\end{vmatrix} = -3-2=-5\neq 0$ , así que $\operatorname{rg}(A)=2$ .
En $A^*$ la tercera fila es igual a la segunda (también en el término independiente), por lo que todo menor de orden 3 de $A^*$ tiene dos filas iguales y vale 0. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*)=2$ .

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$ : el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, con $3-2=1$ parámetro).

Caso 3: $m=-2$ .

A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & -2\\ 2 & -2 & -1 & -6\\ -3 & 3 & -1 & 4\end{array}\right)

$|A|=0$ , y el menor formado por las filas 1.ª y 2.ª y las columnas de $x$ y $z$ es $\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix} = 1-2=-1\neq 0$ , así que $\operatorname{rg}(A)=2$ .
Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2\\ 2 & -1 & -6\\ -3 & -1 & 4\end{vmatrix} = (-1)\begin{vmatrix} -1 & -6\\ -1 & 4\end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & -6\\ -3 & 4\end{vmatrix} + (-2)\begin{vmatrix} 2 & -1\\ -3 & -1\end{vmatrix} = (-1)(-10) - (-10) + (-2)(-5) = 30 \neq 0,

luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$ .

$\operatorname{rg}(A)=2\neq\operatorname{rg}(A^*)=3$ : el sistema es incompatible.

Respuesta

Si $m\neq 3$ y $m\neq -2$ : $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$ , sistema compatible determinado (solución única).
Si $m=3$ : $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$ , sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Si $m=-2$ : $\operatorname{rg}(A)=2\neq\operatorname{rg}(A^*)=3$ , sistema incompatible (no tiene solución).

b) Solución en el caso compatible indeterminado

Por el apartado a), el único valor para el que el sistema es compatible indeterminado es $m=3$ . Para ese valor la tercera ecuación coincide con la segunda, así que el sistema equivale a

\begin{cases} -x+y+z=3\\ 2x+3y-z=9 \end{cases}

(las dos ecuaciones que quedan son independientes, porque el menor $\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & 3\end{vmatrix}=-5\neq 0$ ).

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro y pasamos sus términos a la derecha:

\begin{cases} -x+z=3-\lambda\\ 2x-z=9-3\lambda \end{cases}

Sumando las dos ecuaciones: $x=12-4\lambda$ . Sustituyendo en la primera:

z = 3-\lambda + x = 3-\lambda+12-4\lambda = 15-5\lambda .

Comprobación (en las ecuaciones originales con $m=3$ ):

$-x+y+z = -(12-4\lambda)+\lambda+(15-5\lambda) = 3$ ✓
$2x+3y-z = 24-8\lambda+3\lambda-15+5\lambda = 9$ ✓
La tercera ecuación, $(3-1)x+3y-z=6+3$ , es $2x+3y-z=9$ , igual que la segunda ✓

Respuesta

Para $m=3$ el sistema tiene infinitas soluciones:

(x,\,y,\,z)=(12-4\lambda,\;\lambda,\;15-5\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}.

Ejercicio 2 · Problema 2

Enunciado

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2m & m\\ 0 & m & 0\\ m & 1 & m \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Se pide:

a) Estudiar el rango de $A$ en función del parámetro real $m$ . (3 puntos)

b) Para $m=-1$ , resolver la ecuación matricial $AX=B$ . (4 puntos)

c) Para $m=0$ , calcular $A^5$ . (3 puntos)

Solución

a) Rango de $A$ según $m$

$A$ es cuadrada de orden 3, así que empezamos por su determinante. Desarrollamos por la segunda fila, que tiene dos ceros:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2m & m\\ 0 & m & 0\\ m & 1 & m \end{vmatrix} = m\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & m\\ m & m \end{vmatrix} = m\,(m-m^2) = m^2(1-m).

|A| = 0 \iff m^2(1-m)=0 \iff m=0 \ \text{ o } \ m=1.

Caso $m\neq 0$ y $m\neq 1$ . $|A|\neq 0$ , luego $\operatorname{rg}(A)=3$ .

Caso $m=0$ .

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

La segunda fila es nula y las filas 1.ª y 3.ª no son proporcionales, así que ya se ve que el rango es 2. Con menores: el formado por las filas 1.ª y 3.ª y las columnas 1.ª y 2.ª es $\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\neq 0$ , luego $\operatorname{rg}(A)\geq 2$ ; y $|A|=0$ (por la fórmula anterior), luego $\operatorname{rg}(A)\leq 2$ . Por tanto, $\operatorname{rg}(A)=2$ .

Caso $m=1$ .

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

El menor formado por las filas 1.ª y 2.ª y las columnas 1.ª y 2.ª es $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\neq 0$ , luego $\operatorname{rg}(A)\geq 2$ ; y $|A|=0$ (por la fórmula anterior), luego $\operatorname{rg}(A)\leq 2$ . Por tanto, $\operatorname{rg}(A)=2$ .

Respuesta

Si

m\neq 0

y

m\neq 1

,

\operatorname{rg}(A)=3

. Si

m=0

o

m=1

,

\operatorname{rg}(A)=2

.

b) Ecuación $AX=B$ para $m=-1$

Para $m=-1$ :

A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad |A| = (-1)^2\,(1-(-1)) = 2 \neq 0.

Como $|A|\neq 0$ , $A$ es invertible. Multiplicando la ecuación por $A^{-1}$ por la izquierda:

AX=B \;\Longrightarrow\; A^{-1}AX=A^{-1}B \;\Longrightarrow\; X=A^{-1}B.

Como $A$ es $3\times 3$ y $B$ es $3\times 2$ , la incógnita $X$ es una matriz $3\times 2$ .

Cálculo de $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t$ , donde $\operatorname{Adj}(A)$ es la matriz formada por los adjuntos $A_{ij}=(-1)^{i+j}\,\alpha_{ij}$ ( $\alpha_{ij}$ es el menor que queda al quitar la fila $i$ y la columna $j$ ). Los adjuntos de $A$ son

\begin{aligned} A_{11}&=\begin{vmatrix} -1 & 0\\ 1 & -1\end{vmatrix}=1, & A_{12}&=-\begin{vmatrix} 0 & 0\\ -1 & -1\end{vmatrix}=0, & A_{13}&=\begin{vmatrix} 0 & -1\\ -1 & 1\end{vmatrix}=-1,\\ A_{21}&=-\begin{vmatrix} -2 & -1\\ 1 & -1\end{vmatrix}=-3, & A_{22}&=\begin{vmatrix} 1 & -1\\ -1 & -1\end{vmatrix}=-2, & A_{23}&=-\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1 & 1\end{vmatrix}=1,\\ A_{31}&=\begin{vmatrix} -2 & -1\\ -1 & 0\end{vmatrix}=-1, & A_{32}&=-\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0, & A_{33}&=\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 0 & -1\end{vmatrix}=-1. \end{aligned}

\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ -3 & -2 & 1\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \operatorname{Adj}(A)^t=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1\\ 0 & -2 & 0\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1\\ 0 & -2 & 0\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Cálculo de $X$ :

X=A^{-1}B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1\\ 0 & -2 & 0\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 0 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\\[2pt] 0 & -1\\[2pt] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Comprobación:

AX=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\\[2pt] 0 & -1\\[2pt] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac12+\frac12 & -\frac32+2-\frac12\\[2pt] 0 & 1\\[2pt] -\frac12+\frac12 & \frac32-1-\frac12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=B.\ \checkmark

Nota

Error frecuente: escribir $X=BA^{-1}$ . El producto de matrices no es conmutativo: como $A$ multiplica a $X$ por la izquierda, $A^{-1}$ también debe ir por la izquierda. Además, $BA^{-1}$ ni siquiera está definido ( $B$ es $3\times 2$ y $A^{-1}$ es $3\times 3$ ). También es frecuente olvidar trasponer la matriz de adjuntos o equivocarse en los signos $(-1)^{i+j}$ , que siguen el tablero $\begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{pmatrix}$ ; la comprobación $AX=B$ detecta estos fallos.

Otra forma de hacerlo: escribir $X=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ e & f\end{pmatrix}$ y resolver los dos sistemas $3\times 3$ que salen de $AX=B$ (uno para cada columna); se obtiene el mismo resultado. Más corto aún: aplicar Gauss-Jordan a la matriz ampliada $(A\,|\,B)$ hasta llegar a $(I\,|\,X)$ , que da $X$ directamente sin calcular $A^{-1}$ .

Respuesta

X=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\\[2pt] 0 & -1\\[2pt] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

(solución única, porque

|A|=2\neq 0

).

c) $A^5$ para $m=0$

Para $m=0$ :

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Calculamos las primeras potencias:

A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

A^3=A^2\cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=A^2.

Como $A^3=A^2$ , multiplicar otra vez por $A$ no cambia nada: $A^4=A^3\cdot A=A^2\cdot A=A^3=A^2$ , y del mismo modo $A^5=A^4\cdot A=A^2$ . En general, $A^n=A^2$ para todo $n\geq 2$ .

Respuesta

A^5=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(de hecho,

A^n=A^2

para todo

n\geq 2

).

Ejercicio 3 · Problema 3

Enunciado

Se considera la recta $r:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z+2}{-1}$ y el plano $\pi:\ 3x-my+z=1$ . Se pide:

a) Determinar el valor del parámetro real $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. Obtener además los valores de $m$ para los que el plano $\pi$ contiene a la recta $r$ . (4 puntos)

b) Para los valores $m$ del apartado anterior, hallar un plano paralelo a $\pi$ , que contenga a la recta $r$ . (3 puntos)

c) Calcular, en función de $m$ , la distancia entre $\pi$ y el punto $P=(1,-1,-2)$ . (3 puntos)

Solución

Extraemos de la recta un punto y un vector director, y del plano su vector normal:

$r$ pasa por $A=(1,-1,-2)$ y tiene vector director $\vec v=(2,3,-1)$ (los denominadores de la ecuación continua).
$\pi\colon 3x-my+z=1$ tiene vector normal $\vec n=(3,-m,1)$ .

a) Valor de $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos; valores de $m$ para que $\pi$ contenga a $r$

Recordemos los tres casos posibles para una recta y un plano:

$\vec v\cdot\vec n\neq 0$ : la recta y el plano son secantes (se cortan en un punto).
$\vec v\cdot\vec n=0$ y $A\notin\pi$ : son paralelos (sin puntos comunes).
$\vec v\cdot\vec n=0$ y $A\in\pi$ : la recta está contenida en el plano.

Por eso, además de $\vec v\cdot\vec n=0$ , hay que comprobar el punto $A$ .

Paralelismo. Imponemos que el vector director de la recta sea perpendicular al vector normal del plano, $\vec v\cdot\vec n=0$ :

\vec v\cdot\vec n=2\cdot 3+3\cdot(-m)+(-1)\cdot 1=5-3m=0\iff m=\frac{5}{3}.

Si $m\neq\frac53$ , entonces $\vec v\cdot\vec n\neq 0$ y la recta corta al plano en un único punto (son secantes).

Para $m=\frac53$ falta ver si la recta está fuera del plano o dentro. Sustituimos el punto $A=(1,-1,-2)$ de $r$ en $\pi\colon 3x-\frac53y+z=1$ :

3\cdot 1-\frac53\cdot(-1)+(-2)=1+\frac53=\frac83\neq 1\;\Longrightarrow\;A\notin\pi.

Como $r$ tiene la dirección del plano y un punto suyo no está en él, para $m=\frac53$ la recta y el plano son paralelos (sin puntos comunes).

Recta contenida en el plano. Para que $r\subset\pi$ hacen falta las dos condiciones a la vez: $\vec v\cdot\vec n=0$ (es decir, $m=\frac53$ ) y $A\in\pi$ . Esta segunda condición es

3\cdot 1-m\cdot(-1)+(-2)=1\iff 1+m=1\iff m=0.

No hay ningún valor de $m$ que cumpla a la vez $m=\frac53$ y $m=0$ , luego $\pi$ no contiene a $r$ para ningún valor de $m$ .

Respuesta

r

y

\pi

son paralelos (sin puntos comunes) para

m=\dfrac53

. Ningún valor de

m

hace que el plano

\pi

contenga a la recta

r

.

b) Plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$ (para $m=\frac53$ )

Por el apartado anterior, $r$ es paralela a $\pi$ solo para $m=\frac53$ (y no hay ningún $m$ con $r\subset\pi$ ); tomamos ese valor: $\pi\colon 3x-\frac53y+z=1$ . Multiplicamos por $3$ para trabajar con coeficientes enteros: $\pi\colon 9x-5y+3z=3$ .

Un plano paralelo a $\pi$ tiene el mismo vector normal $(9,-5,3)$ , luego es de la forma

\pi'\colon 9x-5y+3z=D.

Hay infinitos planos así (uno por cada $D$ ), pero solo un valor de $D$ hace que contenga a $r$ . Para que contenga a $r$ basta que contenga a su punto $A=(1,-1,-2)$ , porque $r$ ya es paralela a $\pi$ (y por tanto a $\pi'$ ): $(9,-5,3)\cdot(2,3,-1)=18-15-3=0$ . Imponemos $A\in\pi'$ :

D=9\cdot 1-5\cdot(-1)+3\cdot(-2)=9+5-6=8.

\pi'\colon 9x-5y+3z=8.

Comprobación: un punto cualquiera de $r$ , $(1+2t,\,-1+3t,\,-2-t)$ , cumple $9(1+2t)-5(-1+3t)+3(-2-t)=8+(18-15-3)t=8$ para todo $t$ , así que $r\subset\pi'$ . Además $\pi'\neq\pi$ (pues $8\neq 3$ ), así que es un plano paralelo distinto de $\pi$ .

Respuesta

Para

m=\dfrac53

, el plano paralelo a

\pi

que contiene a

r

es

\pi'\colon 9x-5y+3z-8=0

.

c) Distancia entre $\pi$ y $P=(1,-1,-2)$ en función de $m$

Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P=(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+d=0$ :

d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Escribimos $\pi\colon 3x-my+z-1=0$ y sustituimos $P=(1,-1,-2)$ :

d(P,\pi)=\frac{|3\cdot 1-m\cdot(-1)+(-2)-1|}{\sqrt{3^2+(-m)^2+1^2}}=\frac{|3+m-2-1|}{\sqrt{10+m^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{10+m^2}}\ \text{u}.

El denominador nunca se anula ( $10+m^2>0$ ), así que la fórmula vale para todo $m\in\mathbb R$ . La distancia es $0$ solo para $m=0$ , que es justo cuando $P\in\pi$ .

Comprobación (opcional). $P$ es el punto $A$ de la recta $r$ . Para $m=\frac53$ , como $r\parallel\pi$ , esta distancia es también la distancia de $r$ a $\pi$ , y debe coincidir con la distancia entre los planos paralelos $\pi\colon 9x-5y+3z=3$ y $\pi'\colon 9x-5y+3z=8$ :

\frac{\left|\frac53\right|}{\sqrt{10+\frac{25}{9}}}=\frac{\frac53}{\frac{\sqrt{115}}{3}}=\frac{5}{\sqrt{115}},\qquad d(\pi,\pi')=\frac{|8-3|}{\sqrt{81+25+9}}=\frac{5}{\sqrt{115}}.\ \checkmark

Respuesta

d(P,\pi)=\dfrac{|m|}{\sqrt{10+m^2}}

u, para todo

m\in\mathbb R

(vale

0

solo si

m=0

, cuando

P\in\pi

; para

m=\frac53

es

\frac{5}{\sqrt{115}}=\frac{\sqrt{115}}{23}

u; en el examen basta dejarlo así, sin el valor aproximado

0{,}47

).

Ejercicio 4 · Problema 4

Enunciado

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos $P=(2,1,3)$ y $Q=(1,3,1)$ , y los otros dos sobre una recta $r$ que pasa por el punto $R=(4,7,6)$ .

a) Calcular la ecuación de la recta $r$ . (2 puntos)

b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. (3 puntos)

c) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. (5 puntos)

Solución

Datos. El vector del lado $PQ$ es

\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1-2,\;3-1,\;1-3)=(-1,\,2,\,-2),\qquad |\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{1+4+4}=3.

a) Ecuación de la recta $r$

Si $P$ y $Q$ son vértices consecutivos, $PQ$ es un lado y (aceptando, como pide el enunciado, que los otros dos vértices forman el lado opuesto a $PQ$ ) la recta $r$ contiene el lado opuesto. En un cuadrado los lados opuestos son paralelos, así que $r$ es paralela a $PQ$ : su vector director es $\vec u=\overrightarrow{PQ}=(-1,2,-2)$ . Además pasa por $R=(4,7,6)$ .

(Observamos que $R$ no está en la recta $PQ$ : $\overrightarrow{PR}=(2,6,3)$ no es proporcional a $(-1,2,-2)$ , así que $r$ es una recta paralela distinta de la recta $PQ$ .)

r:\ \begin{cases} x=4-\lambda\\ y=7+2\lambda\\ z=6-2\lambda\end{cases}\qquad \lambda\in\mathbb R,

o, en forma continua, $\dfrac{x-4}{-1}=\dfrac{y-7}{2}=\dfrac{z-6}{-2}$ .

Respuesta

r:\ x=4-\lambda,\ y=7+2\lambda,\ z=6-2\lambda

, es decir,

(x,y,z)=(4,7,6)+\lambda(-1,2,-2)

.

b) Plano que contiene al cuadrado

El plano $\pi$ contiene a $P$ , a $Q$ y a la recta $r$ (por tanto, a $R$ ). Dos vectores directores, no proporcionales, son

\overrightarrow{PQ}=(-1,2,-2),\qquad \overrightarrow{PR}=(4-2,\;7-1,\;6-3)=(2,6,3).

Su producto vectorial es un vector normal al plano:

\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\ -1 & 2 & -2\\ 2 & 6 & 3\end{vmatrix}=(6+12)\,\vec\imath-(-3+4)\,\vec\jmath+(-6-4)\,\vec k=(18,\,-1,\,-10).

Luego $\pi:\ 18x-y-10z+D=0$ . Como pasa por $P=(2,1,3)$ : $36-1-30+D=0$ , así que $D=-5$ y

\pi:\ 18x-y-10z-5=0.

Comprobación: $Q$ : $18-3-10-5=0$ ; $R$ : $72-7-60-5=0$ . Se cumplen ambas.

Respuesta

\pi:\ 18x-y-10z-5=0

.

c) Los otros dos vértices

Llamamos $A$ al vértice contiguo a $Q$ y $B$ al contiguo a $P$ , de modo que el polígono es $PQAB$ . Los lados contiguos a $PQ$ son perpendiculares a $PQ$ : $\overrightarrow{QA}\perp\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{PQ}$ . Esto equivale a proyectar ortogonalmente $Q$ y $P$ sobre $r$ . Ambos vértices están en $r$ , así que son de la forma

X_\lambda=(4-\lambda,\;7+2\lambda,\;6-2\lambda).

Vértice $A$ . $\overrightarrow{QX_\lambda}=(3-\lambda,\;4+2\lambda,\;5-2\lambda)$ y

\overrightarrow{QX_\lambda}\cdot\overrightarrow{PQ}=-(3-\lambda)+2(4+2\lambda)-2(5-2\lambda)=9\lambda-5=0\iff\lambda=\frac59,

A=\left(4-\frac59,\;7+\frac{10}9,\;6-\frac{10}9\right)=\left(\frac{31}{9},\;\frac{73}{9},\;\frac{44}{9}\right).

Vértice $B$ . $\overrightarrow{PX_\lambda}=(2-\lambda,\;6+2\lambda,\;3-2\lambda)$ y

\overrightarrow{PX_\lambda}\cdot\overrightarrow{PQ}=-(2-\lambda)+2(6+2\lambda)-2(3-2\lambda)=9\lambda+4=0\iff\lambda=-\frac49,

B=\left(4+\frac49,\;7-\frac89,\;6+\frac89\right)=\left(\frac{40}{9},\;\frac{55}{9},\;\frac{62}{9}\right).

Respuesta

A=\left(\frac{31}{9},\frac{73}{9},\frac{44}{9}\right)

(contiguo a

Q

) y

B=\left(\frac{40}{9},\frac{55}{9},\frac{62}{9}\right)

(contiguo a

P

), que coinciden con los criterios oficiales.

Con estos datos $PQAB$ es un rectángulo de lados $3$ y $\frac{5\sqrt{17}}{3}\approx 6{,}87$ , no un cuadrado.

¿Por qué no hay cuadrado? $\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2,2)=-\overrightarrow{PQ}$ , así que $AB$ es paralelo a $PQ$ y mide 3, y los ángulos en $P$ y $Q$ son rectos: $PQAB$ es un rectángulo. Sus otros lados miden la distancia entre las rectas paralelas $PQ$ y $r$ , que es

d(Q,r)=\frac{|\overrightarrow{RQ}\times\vec u|}{|\vec u|}=\frac{|(-3,-4,-5)\times(-1,2,-2)|}{3}=\frac{|(18,-1,-10)|}{3}=\frac{\sqrt{425}}{3}=\frac{5\sqrt{17}}{3}\approx 6{,}87\neq 3.

En particular, $|\overrightarrow{QA}|=|\overrightarrow{PB}|=\frac{5\sqrt{17}}{3}$ . Ningún punto de $r$ está a distancia 3 de $Q$ ni de $P$ , así que con estos datos es imposible que dos vértices de un cuadrado de lado $PQ$ estén sobre $r$ (por ejemplo, $|\overrightarrow{QX_\lambda}|=3$ lleva a $9\lambda^2-10\lambda+41=0$ , sin soluciones reales). Para que existiera, $r$ tendría que estar a distancia 3 de la recta $PQ$ .

Ejercicio 5 · Problema 5

Enunciado

Sea la función $f(x)=\dfrac{kx}{e^{2x}}$ donde $k$ es un parámetro real. Se pide:

a) Obtener el dominio y las asíntotas de $f(x)$ . (3 puntos)

b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (5 puntos)

c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo $[-1,1]$ . (2 puntos)

Solución

Conviene escribir la función como producto: $f(x)=\dfrac{kx}{e^{2x}}=kx\,e^{-2x}$ .

a) Dominio y asíntotas

Dominio. El denominador $e^{2x}$ es siempre positivo (nunca vale 0) y $kx$ es un polinomio, así que

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\quad\text{para cualquier valor de }k.

Asíntotas verticales. $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (cociente de funciones continuas con denominador no nulo), luego no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales. Si $k=0$ , $f(x)=0$ para todo $x$ y $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ , así que $y=0$ es asíntota horizontal por ambos lados (degenerada: la gráfica coincide con ella; algunos libros no la consideran asíntota). Si $k\neq 0$ , calculamos los límites en $\pm\infty$ :

En $+\infty$ aparece una indeterminación del tipo $\frac{\pm\infty}{\infty}$ (el signo depende de $k$ ); por la regla de L’Hôpital,
$\lim_{x\to+\infty}\frac{kx}{e^{2x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{k}{2e^{2x}}=0 .$
Hay asíntota horizontal $y=0$ cuando $x\to+\infty$ .
En $-\infty$ no hay indeterminación: $kx\to\mp\infty$ (según el signo de $k$ ) y $e^{-2x}\to+\infty$ , así que
$\lim_{x\to-\infty}kx\,e^{-2x}=\begin{cases}-\infty & \text{si } k>0\\ +\infty & \text{si } k<0\end{cases}$
No hay asíntota horizontal por la izquierda.

Asíntotas oblicuas. Por la derecha ya hay horizontal, así que solo puede haber oblicua en $-\infty$ :

m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}k\,e^{-2x}=\pm\infty \quad (k\neq 0),

que no es un número real: no hay asíntota oblicua.

Respuesta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}

. No tiene asíntotas verticales ni oblicuas. Si

k\neq 0

, tiene la asíntota horizontal

y=0

(cuando

x\to+\infty

). Si

k=0

,

f(x)=0

e

y=0

es asíntota horizontal por ambos lados (degenerada: coincide con la gráfica).

b) Monotonía y extremos

Derivamos con la regla del cociente (o del producto):

f'(x)=\frac{k\,e^{2x}-kx\cdot 2e^{2x}}{\left(e^{2x}\right)^2}=\frac{k\,e^{2x}(1-2x)}{e^{4x}}=\frac{k(1-2x)}{e^{2x}} .

Caso $k=0$ . $f(x)=0$ es constante: no crece ni decrece, y no hay extremos que estudiar.

Caso $k\neq 0$ . Como $e^{2x}>0$ , el signo de $f'$ es el de $k(1-2x)$ , y

f'(x)=0\iff 1-2x=0\iff x=\tfrac12 .

El valor de la función en ese punto es

f\!\left(\tfrac12\right)=\frac{k\cdot\frac12}{e^{1}}=\frac{k}{2e}\approx 0{,}184\,k .

Estudiamos el signo de $1-2x$ : es positivo en $\left(-\infty,\tfrac12\right)$ y negativo en $\left(\tfrac12,+\infty\right)$ .

	$\left(-\infty,\tfrac12\right)$	$\left(\tfrac12,+\infty\right)$
signo de $1-2x$	$+$	$-$
$f'$ si $k>0$	$+$ (crece)	$-$ (decrece)
$f'$ si $k<0$	$-$ (decrece)	$+$ (crece)

Si $k>0$ : $f$ es creciente en $\left(-\infty,\tfrac12\right)$ y decreciente en $\left(\tfrac12,+\infty\right)$ ; tiene un máximo (relativo y absoluto) en $\left(\tfrac12,\dfrac{k}{2e}\right)$ .
Si $k<0$ : $f$ es decreciente en $\left(-\infty,\tfrac12\right)$ y creciente en $\left(\tfrac12,+\infty\right)$ ; tiene un mínimo (relativo y absoluto) en $\left(\tfrac12,\dfrac{k}{2e}\right)$ .

Comprobación con la segunda derivada: $f''(x)=\dfrac{4k(x-1)}{e^{2x}}$ , y $f''\!\left(\tfrac12\right)=-\dfrac{2k}{e}$ , que es negativa si $k>0$ (máximo) y positiva si $k<0$ (mínimo).

Cargando la gráfica…

Gráficas de f para k = 1 (máximo en x = 1/2) y k = −1 (mínimo en x = 1/2); ambas pasan por el origen y se acercan a y = 0 por la derecha. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

Si

k>0

: creciente en

\left(-\infty,\tfrac12\right)

, decreciente en

\left(\tfrac12,+\infty\right)

y máximo en

\left(\tfrac12,\tfrac{k}{2e}\right)\approx(0{,}5;\ 0{,}184k)

. Si

k<0

: decreciente en

\left(-\infty,\tfrac12\right)

, creciente en

\left(\tfrac12,+\infty\right)

y mínimo en

\left(\tfrac12,\tfrac{k}{2e}\right)\approx(0{,}5;\ 0{,}184k)

. Si

k=0

: la función es constante (

f(x)=0

).

c) La función se anula en $[-1,1]$

Si $k=0$ , $f(x)=0$ para todo $x$ , así que se anula en todos los puntos de $[-1,1]$ .

Si $k\neq 0$ , aplicamos el teorema de Bolzano:

$f$ es continua en $[-1,1]$ (lo es en todo $\mathbb{R}$ , apartado a).
$f(-1)=\dfrac{-k}{e^{-2}}=-k\,e^{2}$ y $f(1)=\dfrac{k}{e^{2}}$ . Como $e^{2}>0$ y $e^{-2}>0$ , $f(-1)$ y $f(1)$ tienen signos opuestos (el de $-k$ y el de $k$ ): $f(-1)\cdot f(1)=-k^2<0$ .

Por el teorema de Bolzano existe $c\in(-1,1)$ con $f(c)=0$ .

De hecho, basta con observar que $f(0)=\dfrac{k\cdot 0}{e^{0}}=0$ para cualquier $k$ , y $0\in[-1,1]$ . Esto basta por sí solo para justificar lo pedido; Bolzano es la vía habitual en este tipo de enunciado. Además, $x=0$ es el único cero si $k\neq0$ , porque $kx\,e^{-2x}=0\iff x=0$ .

Respuesta

Para todo

k

,

f(0)=0

con

0\in[-1,1]

. Si

k\neq 0

también lo garantiza Bolzano:

f

es continua en

[-1,1]

y

f(-1)\cdot f(1)=-k^{2}<0

. Si

k=0

,

f

se anula en todo el intervalo.

Ejercicio 6 · Problema 6

Enunciado

Sea el rectángulo $R$ definido por los puntos del plano $(-1,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ y $(-1,1)$ . Se consideran las gráficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=a$ , $0<a<1$ , contenidas dentro de $R$ . Obtener el valor de $a$ que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de $R$ . (10 puntos)

Solución

Planteamiento

El rectángulo $R$ tiene base $1-(-1)=2$ y altura $1$ , así que su área es $2\cdot 1=2\ \text{u}^2$ . Buscamos $a$ tal que el área comprendida entre las gráficas sea

\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}\ \text{u}^2.

Dentro de $R$ (es decir, para $x\in[-1,1]$ ), la parábola $y=x^2$ va de $0$ a $1$ y la recta horizontal $y=a$ la corta donde

x^2=a \iff x=\pm\sqrt{a}, \qquad -1<-\sqrt a<0<\sqrt a<1 \quad(\text{pues } 0<a<1).

Por tanto la posición relativa de las curvas cambia en $x=\pm\sqrt a$ :

si $-\sqrt a<x<\sqrt a$ , entonces $x^2<a$ : la recta $y=a$ va por encima;
si $\sqrt a<|x|\le 1$ , entonces $x^2>a$ : la parábola va por encima.

El área comprendida entre ambas gráficas en $[-1,1]$ es, por tanto,

A(a)=\int_{-1}^{1}\left|x^2-a\right|dx .

La gráfica es solo una ilustración: usa el valor $a=\frac{9}{16}$ que obtendremos al final.

Cargando la gráfica…

Parábola y = x² y recta horizontal y = 9/16 en el rectángulo de vértices (−1,0), (1,0), (1,1), (−1,1). Se cortan en x = −3/4 y x = 3/4. Entre los cortes la recta va por encima de la parábola; en los extremos, entre 3/4 y 1 en valor absoluto, la parábola va por encima de la recta. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Cálculo del área en función de $a$

Como $|x^2-a|$ es una función par, basta integrar en $[0,1]$ y multiplicar por $2$ , separando en el punto de corte $x=\sqrt a$ :

A(a)=2\int_{0}^{1}\left|x^2-a\right|dx=2\int_{0}^{\sqrt a}\left(a-x^2\right)dx+2\int_{\sqrt a}^{1}\left(x^2-a\right)dx .

Por la regla de Barrow:

\int_{0}^{\sqrt a}\left(a-x^2\right)dx=\left[ax-\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt a}=a\sqrt a-\frac{a\sqrt a}{3}=\frac{2}{3}\,a^{3/2},

\int_{\sqrt a}^{1}\left(x^2-a\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}-ax\right]_{\sqrt a}^{1}=\left(\frac13-a\right)-\left(\frac{a\sqrt a}{3}-a\sqrt a\right)=\frac13-a+\frac23\,a^{3/2}.

Sumando y multiplicando por $2$ :

A(a)=2\left(\frac23\,a^{3/2}+\frac13-a+\frac23\,a^{3/2}\right)=\frac{8}{3}\,a^{3/2}-2a+\frac{2}{3}.

Valor de $a$

Imponemos $A(a)=\dfrac23$ :

\frac{8}{3}\,a^{3/2}-2a+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\iff \frac{8}{3}\,a\sqrt a-2a=0\iff 2a\left(\frac{4}{3}\sqrt a-1\right)=0 .

Como $a>0$ , la solución $a=0$ se descarta, y queda

\frac43\sqrt a=1\iff \sqrt a=\frac34\iff a=\frac{9}{16}=0{,}5625,

que cumple $0<a<1$ .

Comprobación. Con $a=\frac{9}{16}$ los cortes son $x=\pm\frac34$ y

2\int_0^{3/4}\left(\tfrac{9}{16}-x^2\right)dx=2\cdot\frac{9}{32}=\frac{9}{16},\qquad 2\int_{3/4}^{1}\left(x^2-\tfrac{9}{16}\right)dx=2\cdot\frac{5}{96}=\frac{5}{48},

A=\frac{9}{16}+\frac{5}{48}=\frac{27+5}{48}=\frac{32}{48}=\frac23\ \text{u}^2=\frac13\cdot 2\ \text{u}^2. \;\checkmark

Nota

Sobre la interpretación. Los criterios oficiales entienden «el área comprendida entre dichas gráficas» dentro de

R

como

\int_{-1}^{1}|x^2-a|\,dx

, es decir, sumando también las dos zonas laterales (

\frac34<|x|\le1

), donde la parábola queda por encima de la recta y la región está limitada además por los lados verticales

x=\pm1

del rectángulo. Si solo se considerase la región encerrada entre la parábola y la recta (entre los cortes

x=\pm\sqrt a

), el área sería

2\int_0^{\sqrt a}(a-x^2)\,dx=\frac43a^{3/2}

, y de

\frac43a^{3/2}=\frac23

saldría

a=\left(\frac12\right)^{2/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\approx0{,}63

. Esa lectura no es la de la PAU: los criterios dan como resultado

a=\frac{9}{16}

, que es el que se debe responder.

Respuesta

a=\dfrac{9}{16}=0{,}5625

. Con este valor, el área entre

y=x^2

e

y=\frac{9}{16}

dentro de

R

es

A=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|x^2-\tfrac{9}{16}\right|dx=\frac{9}{16}+\frac{5}{48}=\frac23\ \text{u}^2

, un tercio del área de

R

(

2\ \text{u}^2

).

Ejercicio 7 · Problema 7

Enunciado

Una bolsa contiene dos monedas que llamamos $M_1$ y $M_2$ . La moneda $M_1$ es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda $M_1$ es de $0{,}6$ . La moneda $M_2$ tiene una cara impresa en ambos lados.

a) Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces.

¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? (3 puntos)
¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz? (3 puntos)

b) Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda $M_1$ . Responder a la misma pregunta para la moneda $M_2$ . (4 puntos)

Solución

Llamamos $M_1$ y $M_2$ a los sucesos «se escoge la moneda $M_1$ » y «se escoge la moneda $M_2$ », y $C$ y $X$ a los sucesos «sale cara» y «sale cruz». Como la moneda se escoge al azar entre dos,

P(M_1) = P(M_2) = \frac{1}{2},

y por el enunciado

P(C \mid M_1) = 0{,}6, \qquad P(X \mid M_1) = 0{,}4, \qquad P(C \mid M_2) = 1, \qquad P(X \mid M_2) = 0.

a) Tres repeticiones con devolución

En cada repetición se escoge una moneda al azar y se lanza. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de cara en una repetición es

P(C) = P(M_1)\,P(C\mid M_1) + P(M_2)\,P(C\mid M_2) = \frac{1}{2}\cdot 0{,}6 + \frac{1}{2}\cdot 1 = 0{,}8 = \frac{4}{5},

y la de cruz, $P(X) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 = \dfrac{1}{5}$ .

Como la moneda se devuelve a la bolsa y antes de cada lanzamiento se vuelve a sortear cuál se lanza, lo ocurrido en las repeticiones anteriores no influye en la siguiente. Cada repetición es el mismo experimento (sortear moneda y lanzarla), con $P(C) = 0{,}8$ : las tres repeticiones son independientes y se pueden multiplicar sus probabilidades.

1. Tres caras. Sea $C_i$ el suceso «sale cara en la repetición $i$ ». Por la independencia,

P(C_1 \cap C_2 \cap C_3) = P(C)^3 = 0{,}8^3 = \frac{64}{125} = 0{,}512.

2. Exactamente una cruz. La cruz puede salir en la primera, en la segunda o en la tercera repetición; son tres casos incompatibles, cada uno con la misma probabilidad:

P(XCC) = P(CXC) = P(CCX) = 0{,}2\cdot 0{,}8^2 = 0{,}128.

Por tanto,

P(\text{exactamente una cruz}) = 3\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^2 = \frac{48}{125} = 0{,}384.

Respuesta

$P(\text{tres caras}) = \dfrac{64}{125} = 0{,}512$ .
$P(\text{exactamente una cruz}) = \dfrac{48}{125} = 0{,}384$ .

b) Probabilidades a posteriori (teorema de Bayes)

Ahora se escoge una moneda y se lanza dos veces con ella. Sea $D$ el suceso «se obtienen dos caras». Una vez fijada la moneda, los dos lanzamientos son independientes (por eso se eleva al cuadrado la probabilidad de cara de esa moneda); sin fijarla no lo son, porque ambos dependen de la misma elección:

P(D\mid M_1) = 0{,}6^2 = 0{,}36, \qquad P(D\mid M_2) = 1^2 = 1.

Por el teorema de la probabilidad total,

P(D) = P(M_1)\,P(D\mid M_1) + P(M_2)\,P(D\mid M_2) = \frac{1}{2}\cdot 0{,}36 + \frac{1}{2}\cdot 1 = 0{,}18 + 0{,}5 = 0{,}68.

Por el teorema de Bayes,

P(M_1\mid D) = \frac{P(M_1)\,P(D\mid M_1)}{P(D)} = \frac{0{,}18}{0{,}68} = \frac{9}{34} \approx 0{,}2647,

P(M_2\mid D) = \frac{P(M_2)\,P(D\mid M_2)}{P(D)} = \frac{0{,}5}{0{,}68} = \frac{25}{34} \approx 0{,}7353.

Comprobación: $M_1$ y $M_2$ forman un sistema completo de sucesos, así que las dos probabilidades a posteriori deben sumar 1: $\dfrac{9}{34} + \dfrac{25}{34} = 1$ .

Es razonable que $M_2$ sea más probable: con ella las dos caras son seguras, mientras que con $M_1$ solo ocurren el 36 % de las veces. Observar dos caras hace pasar la probabilidad de $M_2$ de $\frac{1}{2}$ a $\frac{25}{34}$ .

Respuesta

$P(M_1 \mid \text{dos caras}) = \dfrac{9}{34} \approx 0{,}2647$ y $P(M_2 \mid \text{dos caras}) = \dfrac{25}{34} \approx 0{,}7353$ .

Ejercicio 8 · Problema 8

Enunciado

Un comercial de venta por teléfono sabe que en el $30\,\%$ de sus llamadas no consigue una venta. Este comercial realiza $10$ llamadas.

a) Calcular la probabilidad de que consiga más de $7$ ventas. (3 puntos)

b) Calcular la probabilidad de que consiga al menos $5$ ventas. (3 puntos)

c) Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de $3$ ventas y un máximo de $8$ ventas. (4 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

Solución

Planteamiento. Cada llamada es un experimento con dos resultados: hay venta (éxito) o no la hay. Si en el $30\,\%$ de las llamadas no hay venta, la probabilidad de venta en una llamada es $p=1-0{,}3=0{,}7$ . Suponemos, como es habitual, que las $10$ llamadas son independientes y que la probabilidad de venta es la misma en todas.

Sea $Y$ = «número de ventas en las $10$ llamadas». Entonces $Y$ sigue una distribución binomial

Y\sim B(10;\ 0{,}7),\qquad P(Y=k)=\binom{10}{k}\,0{,}7^{k}\,0{,}3^{10-k},\quad k=0,1,\dots,10.

La tabla de la binomial que acompaña al examen solo llega hasta $p=0{,}5$ , así que no tiene la columna $p=0{,}7$ . Fíjate en que el $30\,\%$ del enunciado es justo la probabilidad de «no venta». Por eso contamos los fracasos: la variable $X$ = «número de llamadas sin venta» $=10-Y$ es otra binomial con las mismas $10$ llamadas, cuyo «éxito» es no vender, y su probabilidad sí está en la tabla:

X\sim B(10;\ 0{,}3).

Regla práctica: si $p>0{,}5$ , cuenta los fracasos en lugar de los éxitos.

Como $Y=10-X$ , cada suceso sobre las ventas se traduce en uno sobre las llamadas sin venta: $Y=k \iff X=10-k$ . En la tabla del examen buscamos el bloque $n=10$ , la columna $p=0{,}30$ (no $0{,}35$ ) y la fila $k=x$ , y leemos los valores de la función de distribución $F(x)=P(X\le x)$ que vamos a usar:

$x$	$1$	$2$	$5$	$7$
$P(X\le x)$	$0{,}1493$	$0{,}3828$	$0{,}9527$	$0{,}9984$

a) Probabilidad de conseguir más de 7 ventas

«Más de $7$ ventas» significa $Y\ge 8$ , es decir, $8$ , $9$ o $10$ ventas. Eso equivale a tener como mucho $2$ llamadas sin venta:

P(Y>7)=P(Y\ge 8)=P(X\le 2)=0{,}3828.

Comprobación con la fórmula (no hace falta en el examen):

P(Y\ge 8)=\binom{10}{8}0{,}7^{8}\,0{,}3^{2}+\binom{10}{9}0{,}7^{9}\,0{,}3+0{,}7^{10}\approx 0{,}23347+0{,}12106+0{,}02825=0{,}38278\ldots\approx 0{,}3828.

Respuesta

P(Y>7)=P(X\le 2)\approx 0{,}3828

. La probabilidad de conseguir más de

7

ventas es

0{,}3828

(un

38{,}3\,\%

, aproximadamente).

b) Probabilidad de conseguir al menos 5 ventas

«Al menos $5$ ventas» es $Y\ge 5$ , lo que equivale a tener como mucho $10-5=5$ llamadas sin venta:

P(Y\ge 5)=P(X\le 5)=0{,}9527.

Comprobación con la fórmula (no hace falta en el examen): por el suceso contrario,

P(Y\le 4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}0{,}7^{k}\,0{,}3^{10-k}\approx 0{,}047349,\qquad 1-P(Y\le 4)=0{,}952651\ldots\approx 0{,}9527.

Respuesta

P(Y\ge 5)=P(X\le 5)\approx 0{,}9527

. La probabilidad de conseguir al menos

5

ventas es

0{,}9527

(un

95{,}3\,\%

, aproximadamente).

c) Probabilidad de conseguir entre 3 y 8 ventas (ambas incluidas)

«Un mínimo de $3$ ventas y un máximo de $8$ » es el suceso $3\le Y\le 8$ . Como $X=10-Y$ , al pasar a $X$ los extremos se intercambian: $10-8\le X\le 10-3$ , es decir, $2\le X\le 7$ :

P(3\le Y\le 8)=P(2\le X\le 7)=P(X\le 7)-P(X\le 1)=0{,}9984-0{,}1493=0{,}8491.

Comprobación con la fórmula (no hace falta en el examen): por el suceso contrario, hay $0$ , $1$ o $2$ ventas, o bien $9$ o $10$ :

P(Y\le 2)+P(Y\ge 9)=0{,}001590\ldots+0{,}149308\ldots=0{,}150898\ldots,\qquad 1-0{,}150898\ldots=0{,}849101\ldots\approx 0{,}8491.

Respuesta

P(3\le Y\le 8)=P(2\le X\le 7)\approx 0{,}8491

. La probabilidad de conseguir entre

3

y

8

ventas es

0{,}8491

(un

84{,}9\,\%

, aproximadamente).

Ejercicio 1 · Problema 1

a) Discusión del sistema

b) Solución en el caso compatible indeterminado

Ejercicio 2 · Problema 2

a) Rango de AAA según mmm

b) Ecuación AX=BAX=BAX=B para m=−1m=-1m=−1

c) A5A^5A5 para m=0m=0m=0

Ejercicio 3 · Problema 3

a) Valor de mmm para que rrr y π\piπ sean paralelos; valores de mmm para que π\piπ contenga a rrr

b) Plano paralelo a π\piπ que contiene a rrr (para m=53m=\frac53m=35​)

c) Distancia entre π\piπ y P=(1,−1,−2)P=(1,-1,-2)P=(1,−1,−2) en función de mmm

Ejercicio 4 · Problema 4

a) Ecuación de la recta rrr

b) Plano que contiene al cuadrado

c) Los otros dos vértices

Ejercicio 5 · Problema 5

a) Dominio y asíntotas

b) Monotonía y extremos

c) La función se anula en [−1,1][-1,1][−1,1]

Ejercicio 6 · Problema 6

Planteamiento

Cálculo del área en función de aaa

Valor de aaa

Ejercicio 7 · Problema 7

a) Tres repeticiones con devolución

b) Probabilidades a posteriori (teorema de Bayes)

Ejercicio 8 · Problema 8

a) Probabilidad de conseguir más de 7 ventas

b) Probabilidad de conseguir al menos 5 ventas

c) Probabilidad de conseguir entre 3 y 8 ventas (ambas incluidas)

a) Rango de $A$ según $m$

b) Ecuación $AX=B$ para $m=-1$

c) $A^5$ para $m=0$

a) Valor de $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos; valores de $m$ para que $\pi$ contenga a $r$

b) Plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$ (para $m=\frac53$ )

c) Distancia entre $\pi$ y $P=(1,-1,-2)$ en función de $m$

a) Ecuación de la recta $r$

c) La función se anula en $[-1,1]$

Cálculo del área en función de $a$

Valor de $a$