PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2025 julio – resuelto (PDF)

Llamamos $X$ = «número de publicaciones, de las $n$ que sube Juana, que reciben un Like». Cada publicación es una prueba con dos resultados posibles: recibe un Like (éxito), con probabilidad $p = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$, o no lo recibe, con probabilidad $q = 1 - p = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$. Suponemos, como es habitual, que las publicaciones se comportan de forma independiente y que $p$ es la misma en todas. Entonces $X$ sigue una distribución binomial:

En los apartados 1.1 y 1.2, Juana sube $n = 4$ publicaciones, así que $X \sim B(4;\ 0{,}6)$.

1.1 Probabilidad de no recibir ningún Like en cuatro publicaciones

«No recibir ningún Like» es el suceso $X = 0$:

1.2 Probabilidad de no recibir más de dos Likes

«No recibir más de dos Likes» equivale a «como máximo dos»: recibir 0, 1 o 2, es decir, el suceso $X \leq 2$. Ya sabemos del apartado 1.1 que $P(X = 0) = 0{,}0256$; calculamos las otras dos probabilidades:

Sumando,

1.3 Menor número de publicaciones para que $P(\text{al menos un } \textit{Like}) > 0{,}999$

Si Juana sube $n$ publicaciones, $X \sim B(n;\ 0{,}6)$ y el suceso «recibir al menos un Like» es $X \geq 1$. Su contrario es $X = 0$ (ninguna publicación recibe Like), luego

Imponemos la condición:

Tomando logaritmos neperianos (la función $\ln$ es creciente, así que se conserva la desigualdad):

Como $\ln 0{,}4 < 0$, al dividir entre él cambia el sentido de la desigualdad:

El cociente se hace directamente con la calculadora ($\ln 0{,}001 / \ln 0{,}4 = 7{,}5388\ldots$), sin redondear los logaritmos antes de dividir. Con logaritmos decimales queda más limpio, porque $\log 0{,}001 = -3$: $n > \dfrac{-3}{\log 0{,}4} \approx \dfrac{3}{0{,}39794} \approx 7{,}54$. Como $n$ es un número natural, el menor valor que cumple la condición es $n = 8$.

Comprobación:

• Con $n = 7$: $1 - 0{,}4^{7} = 1 - 0{,}0016384 = 0{,}9983616 < 0{,}999$, no basta.
• Con $n = 8$: $1 - 0{,}4^{8} = 1 - 0{,}00065536 = 0{,}99934464 > 0{,}999$, sí se cumple.

Antes de nada calculamos los determinantes de $A$ y $B$, que usaremos en todo el ejercicio:

Como $|A|\neq 0$ y $|B|\neq 0$, las matrices $A$ y $B$ son invertibles. Además, $B^2$ es muy sencilla:

2.1.1: Ecuación matricial

Usamos las propiedades $(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$ y $\left(M^{-1}\right)^{-1}=M$. Tomando inversas en los dos miembros de la ecuación:

Multiplicando por $A$ por la izquierda, $X=AB^2$. Y como $B^2=I$,

Comprobación. Con $X=A$: $\left(A^{-1}A\right)^{-1}=I^{-1}=I$, y $A\left(B^2A\right)^{-1}=A\,A^{-1}=I$. Se cumple. Además, $X=A$ es invertible porque $|A|=1\neq 0$, como exige la ecuación (el miembro izquierdo es la inversa de $A^{-1}X$).

2.1.2: Determinante de $\left(3A^5B\right)^2$

Usamos que $|MN|=|M|\,|N|$, $|M^n|=|M|^n$ y que, para una matriz de orden $2$, $|kM|=k^2|M|$:

2.1.3: Valores de $a$ y $b$

Como $B^2=I$, para todo $k$ se tiene $B^{2k}=\left(B^2\right)^k=I$ y $B^{2k+1}=B^{2k}B=B$: las potencias pares valen $I$ y las impares valen $B$. En particular,

Por tanto

Por otro lado,

Igualando elemento a elemento:

De la segunda ecuación, $b=0$; entonces la primera da $a=1$, y la cuarta se cumple: $1-0=1$. El sistema es compatible determinado. (Dicho de otro modo: como $A+C=I$, hay que escribir $I=aI+bB$, y como $B$ no es múltiplo de $I$, la única forma es $a=1$, $b=0$.)

Comprobación. $1\cdot B^{100}+0\cdot B^{99}=I=A+C$.

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$:

2.2.1) Discusión del sistema

Usamos el teorema de Rouché-Frobenius. Calculamos $|A|$ desarrollando por la tercera fila, que tiene un cero. Los signos de los adjuntos de la 3.ª fila son $+,\,-,\,+$, y el 0 anula el último sumando; cada menor se obtiene suprimiendo la 3.ª fila y la columna del elemento (1.ª y 2.ª columna, respectivamente). También se puede calcular por Sarrus.

Por tanto, $|A|=0 \iff a=-1$.

Caso $a\neq -1$. Como $|A|\neq 0$, $\operatorname{rg}(A)=3$; y $A^*$ tiene solo 3 filas y contiene ese menor de orden 3 no nulo, así que también $\operatorname{rg}(A^*)=3$. Como $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

Caso $a=-1$. Las matrices quedan

Ahora $|A|=0$, luego $\operatorname{rg}(A)<3$. El menor formado por las filas 1.ª y 3.ª y las columnas 1.ª y 2.ª es

así que $\operatorname{rg}(A)=2$. Para el rango de $A^*$ basta mirar la matriz: su 2.ª fila es la 1.ª cambiada de signo ($F_2=-F_1$, también en la columna de términos independientes). Por tanto $A^*$ tiene a lo sumo 2 filas independientes y, como contiene el menor anterior no nulo, $\operatorname{rg}(A^*)=2$. (Por el método de orlar: todo menor de orden 3 de $A^*$ que contenga las filas 1.ª y 2.ª es nulo.) Como $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$, el sistema es compatible indeterminado (con $3-2=1$ parámetro).

2.2.2) Solución en el caso compatible determinado

Para $a\neq -1$ el sistema es compatible determinado, con $|A|=-(a+1)^2\neq 0$, y aplicamos la regla de Cramer. Desarrollando cada determinante por la tercera fila (signos $+,\,-,\,+$; en $|A_x|$ y $|A_y|$ el último elemento es 0 y su sumando desaparece):

Por tanto, escribiendo $|A|=-(a+1)(a+1)$ y cancelando el factor común $a+1$, que es no nulo porque $a\neq-1$:

Comprobación:

• 1.ª ecuación: $\dfrac{a}{a+1}-a\cdot\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{2a}{a+1}=\dfrac{a-a^2-2a}{a+1}=\dfrac{-a(a+1)}{a+1}=-a$ ✓
• 2.ª ecuación: $a\cdot\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{2a}{a+1}=\dfrac{a^2+a}{a+1}=a$ ✓
• 3.ª ecuación: $a\cdot\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{a(a+1)}{a+1}=a$ ✓

El ángulo entre dos planos es el menor de los ángulos que forman sus vectores normales (agudo o recto). Los leemos de los coeficientes de $x$, $y$, $z$:

Lo usaremos varias veces:

3.1.1) Valor de $m$ para que los planos sean perpendiculares

Dos planos son perpendiculares si y solo si lo son sus vectores normales, es decir, si su producto escalar es nulo:

Comprobación: con $m=-1$, $\vec n_1=(1,2,-1)$ y $(1,2,-1)\cdot(1,0,1)=1+0-1=0$. ✓

3.1.2) Valor de $m$ para que formen un ángulo de $45^\circ$

El ángulo $\alpha$ entre los dos planos cumple

El valor absoluto hace que se tome el ángulo agudo, que es el ángulo entre los planos. Imponemos $\alpha=45^\circ$, es decir, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}$:

Los dos miembros son no negativos, así que podemos elevar al cuadrado sin introducir soluciones falsas:

Comprobación: con $m=2$, $\vec n_1=(1,2,2)$, $|\vec n_1|=\sqrt{9}=3$ y $\vec n_1\cdot\vec n_2=3$, luego

que es el ángulo pedido. ✓

3.1.3) Ecuación paramétrica de la recta intersección

La recta intersección está formada por los puntos que cumplen las dos ecuaciones a la vez. Resolvemos el sistema

tomando $z=\lambda$ como parámetro. De $\pi_2$, $x=6-\lambda$. Sustituyendo en $\pi_1$:

Siempre podemos despejar $y$ porque su coeficiente es $2\neq0$, así que para cualquier $m$ hay infinitas soluciones con un parámetro: los planos siempre son secantes (sus normales $(1,2,m)$ y $(1,0,1)$ nunca son proporcionales). La recta es, para $\lambda\in\mathbb R$,

Pasa por $P=\left(6,-\tfrac72,0\right)$ (con $\lambda=0$) y tiene vector director $\vec u=\left(-1,\tfrac{1-m}{2},1\right)$.

Comprobación: $x+z=6-\lambda+\lambda=6$ y

Las dos ecuaciones se cumplen para todo $\lambda$. ✓

3.2.1) Recta $PQ$ contenida en el plano $\pi$

Si dos puntos distintos de una recta están en un plano, la recta entera está contenida en él.

• Vector director de la recta: $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1-0,\;a-1,\;1-(-1))=(1,\;a-1,\;2)$. Como su tercera componente es $2\neq 0$, $P\neq Q$ para todo $a$ y la recta $PQ$ está bien definida.

¿Está $P$ en el plano? Sustituimos $P=(0,1,-1)$ en la ecuación de $\pi$:

¿Cuándo está $Q$ en el plano? Sustituimos $Q=(1,a,1)$:

Por tanto, la recta está contenida en $\pi$ si y solo si $a=0$ (entonces $Q=(1,0,1)$).

Comprobación con el vector normal $\vec n=(3,1,-1)$:

Para $a=0$ es $\overrightarrow{PQ}\perp\vec n$: la recta es paralela al plano y, como tiene el punto $P$ en común con él, está contenida. Para $a\neq 0$ es $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n=a\neq 0$, así que la recta no es paralela al plano: lo corta en un único punto, que es $P$ (es secante).

3.2.2) Simétrico de $Q$ respecto de $\pi$ para $a=1$

Para $a=1$, $Q=(1,1,1)$. Observamos que $Q\notin\pi$, pues $3+1-1=3\neq 2$.

Paso 1: recta perpendicular a $\pi$ por $Q$. Su vector director es el normal del plano, $\vec n=(3,1,-1)$:

Paso 2: punto $M=r\cap\pi$ (proyección ortogonal de $Q$ sobre $\pi$). Sustituimos en la ecuación del plano:

Paso 3: $M$ es el punto medio de $Q$ y su simétrico $Q'$. De $M=\dfrac{Q+Q'}{2}$ se despeja $Q'=2M-Q$:

Comprobación:

• $M\in\pi$: $3\cdot\frac{8}{11}+\frac{10}{11}-\frac{12}{11}=\frac{24+10-12}{11}=\frac{22}{11}=2$. ✓
• $\overrightarrow{QQ'}=\left(-\frac{6}{11},-\frac{2}{11},\frac{2}{11}\right)=-\frac{2}{11}(3,1,-1)$ es paralelo a $\vec n$. ✓
• El punto medio de $Q$ y $Q'$ es $\left(\frac{1+5/11}{2},\frac{1+9/11}{2},\frac{1+13/11}{2}\right)=\left(\frac{8}{11},\frac{10}{11},\frac{12}{11}\right)=M$. ✓
• Al sustituir en $3x+y-z$, $Q$ da $3$ y $Q'$ da $\frac{15+9-13}{11}=1$: ambos quedan a una unidad del valor $2$ del plano, uno a cada lado. ✓

4.1.1) Dominio, asíntotas y monotonía

Dominio. $f$ es un cociente de polinomios; solo no existe donde se anula el denominador. Como $x^2+1\geq 1>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$, el denominador nunca se anula:

Asíntotas verticales. No hay: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (cociente de funciones continuas con denominador no nulo), así que no existe ningún punto $a$ con $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2):

Por tanto, $y=0$ es asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Asíntotas oblicuas. No hay, porque $f$ ya tiene asíntota horizontal en ambos lados (equivalentemente, $m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2+1}=0$). Una asíntota oblicua exige $m\neq0$; con $m=0$ la recta que se obtiene es la propia horizontal $y=0$.

Posición respecto de la asíntota (útil para el dibujo). $f(x)>0$ si $x>0$ y $f(x)<0$ si $x<0$, de modo que la gráfica se acerca a $y=0$ por encima en $+\infty$ y por debajo en $-\infty$.

Crecimiento y decrecimiento. Derivamos con la regla del cociente:

El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el de $1-x^2=(1-x)(1+x)$, que se anula en $x=-1$ y $x=1$:

(Por ejemplo, $f'(-2)=-\tfrac{3}{25}<0$, $f'(0)=1>0$, $f'(2)=-\tfrac{3}{25}<0$.)

4.1.2) Extremos relativos y absolutos

Extremos relativos. Los puntos críticos son las soluciones de $f'(x)=0$, es decir, $1-x^2=0\Rightarrow x=\pm1$ (no hay puntos donde $f'$ no exista). Con la tabla de signos del apartado anterior:

• En $x=-1$, $f$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, con $f(-1)=\dfrac{-1}{1+1}=-\dfrac12$.
• En $x=1$, $f$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, con $f(1)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$.

Extremos absolutos. Comparamos $f(x)$ con los valores $\pm\tfrac12$ para todo $x\in\mathbb{R}$:

Por tanto,

y ambos valores se alcanzan (en $x=-1$ y en $x=1$). Luego el máximo relativo es también absoluto, y lo mismo el mínimo.

Esto encaja con la monotonía: $f$ es continua, tiende a $0$ en $\pm\infty$, baja desde valores negativos próximos a $0$ hasta $-\tfrac12$, sube hasta $\tfrac12$ y vuelve a bajar hacia $0$ con valores positivos.

4.1.3) Representación gráfica

Reunimos los datos:

• Dominio $\mathbb{R}$; corta a los ejes solo en el origen ($f(x)=0\iff x=0$).
• Función impar: simétrica respecto del origen. Signo: negativa si $x<0$, positiva si $x>0$.
• Asíntota horizontal $y=0$ (por debajo en $-\infty$, por encima en $+\infty$).
• Decrece en $(-\infty,-1)$, crece en $(-1,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$.
• Mínimo $\left(-1,-\tfrac12\right)$ y máximo $\left(1,\tfrac12\right)$.
• Algunos valores: $f(2)=\tfrac25$, $f(3)=\tfrac{3}{10}$, $f(-2)=-\tfrac25$, $f(-3)=-\tfrac3{10}$.

Aunque no se pide, la segunda derivada $f''(x)=\dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$ da los puntos de inflexión $x=0$ y $x=\pm\sqrt3$ (con $f(\pm\sqrt3)=\pm\tfrac{\sqrt3}{4}$); en cada uno $f''$ cambia de signo, porque son raíces simples del numerador. Ayudan a dibujar la curvatura.

4.2.1 Dominio, asíntotas y monotonía de $f$

Dominio. $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ es un cociente de polinomios; solo falla donde se anula el denominador, $x^2=0 \iff x=0$: