Saltar al contenido
El bit perdido
Newsletter

Resolver ecuaciones bicuadradas paso a paso

Calculadora de ecuaciones bicuadradas (ax⁴ + bx² + c = 0) paso a paso: cambio de variable t = x², ecuación de segundo grado en t y soluciones x = ±√t.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Cuatro soluciones

x=±2,x=±1x = \pm 2,\quad x = \pm 1

  1. 1Cambio de variable t=x2t = x^2

    Solo hay potencias pares de xx. Como x4=(x2)2x^4 = (x^2)^2, llamamos t=x2t = x^2 y la ecuación se convierte en una de segundo grado en tt.

    t=x2  ⟹  t2−5t+4=0t = x^{2} \;\Longrightarrow\; t^{2} - 5t + 4 = 0

  2. 2Identificamos los coeficientes

    Es una ecuación completa de la forma at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0. Leemos los coeficientes con su signo.

    a=1,b=−5,c=4a = 1, \quad b = -5, \quad c = 4

  3. 3Calculamos el discriminante

    El discriminante Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac es lo que va dentro de la raíz en la fórmula, y su signo dice cuántas soluciones hay. Como Δ=9>0\Delta = 9 > 0, hay dos soluciones reales distintas.

    Δ=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅4=25−16=9\Delta = b^2 - 4ac = \left(-5\right)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 25 - 16 = \htmlClass{az}{9}

  4. 4Aplicamos la fórmula

    Sustituimos los coeficientes en la fórmula. Como 9=3\sqrt{9} = 3 es exacta, las dos soluciones son números racionales: una con el signo ++ y otra con el −-.

    t=−b±Δ2a=−(−5)±92⋅1=5±32  ⟹  {t1=5+32=82=4t2=5−32=22=1t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-5\right) \pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} t_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \\[4pt] t_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{cases}

  5. 5Deshacemos el cambio

    Para cada valor de tt resolvemos x2=tx^2 = t: si t>0t > 0 salen dos soluciones opuestas, x=±tx = \pm\sqrt{t}; si t=0t = 0, solo x=0x = 0; y si t<0t < 0, ninguna.

    x2=4  ⟹  x=±4=±2x2=1  ⟹  x=±1=±1\begin{array}{l} x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\[4pt] x^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{array}

  6. 6Comprobación

    Sustituimos las soluciones racionales en x4−5x2+4=0x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0.

    x=2:24−5⋅22+4=16−20+4=0x=−2:(−2)4−5⋅(−2)2+4=16−20+4=0x=1:14−5⋅12+4=1−5+4=0x=−1:(−1)4−5⋅(−1)2+4=1−5+4=0\begin{array}{l} x = 2:\quad 2^{4} - 5\cdot 2^{2} + 4 = 16 - 20 + 4 = 0 \\[4pt] x = -2:\quad \left(-2\right)^{4} - 5\cdot \left(-2\right)^{2} + 4 = 16 - 20 + 4 = 0 \\[4pt] x = 1:\quad 1^{4} - 5\cdot 1^{2} + 4 = 1 - 5 + 4 = 0 \\[4pt] x = -1:\quad \left(-1\right)^{4} - 5\cdot \left(-1\right)^{2} + 4 = 1 - 5 + 4 = 0 \end{array}

Qué es una ecuación bicuadrada

Una ecuación bicuadrada es una de la forma

ax4+bx2+c=0(a≠0).ax^4+bx^2+c=0\qquad(a\neq0).

No es de segundo grado, pero se reduce a una con un cambio de variable, porque x4=(x2)2x^4=(x^2)^2.

El método paso a paso

  1. Haz el cambio t=x2t=x^2 (y por tanto x4=t2x^4=t^2). La ecuación pasa a ser at2+bt+c=0at^2+bt+c=0.
  2. Resuelve esa ecuación de segundo grado en tt.
  3. Deshaz el cambio para cada valor de tt, resolviendo x2=tx^2=t:
    • si t>0t>0: x=±tx=\pm\sqrt{t} (dos soluciones);
    • si t=0t=0: x=0x=0 (una solución);
    • si t<0t<0: ninguna solución real.
  4. Reúne todas las soluciones. Como máximo hay cuatro.

Un ejemplo completo

Resolvamos x4−13x2+36=0x^4-13x^2+36=0.

Con t=x2t=x^2 queda t2−13t+36=0t^2-13t+36=0, y

t=13±169−1442=13±52 ⟹ t=9  o  t=4.t=\frac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}=\frac{13\pm5}{2}\ \Longrightarrow\ t=9\ \text{ o }\ t=4.

Deshacemos el cambio:

x2=9⇒x=±3,x2=4⇒x=±2.x^2=9\Rightarrow x=\pm3,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2.

La ecuación tiene cuatro soluciones: −3-3, −2-2, 22 y 33.

Otros casos:

  • x4+x2−6=0x^4+x^2-6=0 da t2+t−6=0t^2+t-6=0, con t=2t=2 o t=−3t=-3. Solo vale t=2t=2, así que x=±2x=\pm\sqrt{2} (dos soluciones).
  • x4+5x2+4=0x^4+5x^2+4=0 da t=−1t=-1 y t=−4t=-4, ambos negativos: ninguna solución real.
  • x4−4x2=0x^4-4x^2=0 es incompleta: x2(x2−4)=0x^2(x^2-4)=0, con x=0x=0 y x=±2x=\pm2 (tres soluciones).

Errores típicos

  • Dar como solución el valor de tt, olvidando deshacer el cambio.
  • Olvidar el ±\pm al hacer la raíz: cada t>0t>0 produce dos valores de xx.
  • No descartar los tt negativos, escribiendo raíces cuadradas de números negativos como si fueran soluciones reales.
  • Escribir x4=2tx^4=2t en lugar de t2t^2.
  • Perder la solución x=0x=0 cuando falta el término independiente y se divide entre x2x^2.

Practica: resuelve ecuaciones de otros tipos: racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una ecuación bicuadrada?

Es una ecuación de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, en la que solo aparecen la cuarta potencia, la segunda potencia y el término independiente.

¿Cómo se resuelve una ecuación bicuadrada?

Se hace el cambio t = x², lo que da una ecuación de segundo grado en t. Se resuelve y después se deshace el cambio con x = ± raíz de t.

¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación bicuadrada?

Puede tener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución real. Cada valor positivo de t da dos soluciones de x, t = 0 da una y cada t negativo no da ninguna.

¿Por qué se descartan los valores negativos de t?

Porque t = x² y un cuadrado real nunca es negativo. Si t sale negativo, la ecuación x² = t no tiene soluciones reales.

¿Se pueden factorizar las bicuadradas?

Sí. Si las raíces de la ecuación en t son t1 y t2, se factoriza como a(x² - t1)(x² - t2) y cada factor se descompone después según el signo de t.

Otras herramientas