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El bit perdido
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Inversa de una matriz con parámetro

Calculadora que dice para qué valores del parámetro tiene inversa una matriz (|A| ≠ 0) y calcula A⁻¹ en función del parámetro por la adjunta, simplificada y paso a paso.

A =
Filas 3 Columnas 3

Cada casilla admite enteros (−3), decimales (2.5) o fracciones (3/4).

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

3×3

A−1=1∣A∣Adj⁡(A)t=1−(k−1)(k−3)(−k2−3−1k12−k+4−3−4k−1k)(k≠1 y k≠3)A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t = \dfrac{1}{-\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)}\left(\begin{array}{ccc} -k^{2} - 3 & -1 & k \\ 12 & -k + 4 & -3 \\ -4k & -1 & k \end{array}\right) \quad \left(k \neq 1 \text{ y } k \neq 3\right)

  1. 1Determinante

    Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Calculamos ∣A∣|A| en función de kk. Regla de Sarrus: sumamos el producto de la diagonal principal y los de sus dos «triángulos», y restamos el de la diagonal secundaria y los de los suyos.

    ∣A∣=∣10−10k341−k∣=(1⋅k⋅(−k)+0⋅3⋅4+(−1)⋅0⋅1)−((−1)⋅k⋅4+1⋅3⋅1+0⋅0⋅(−k))=(−k2+0+0)−(−4k+3+0)=(−k2)−(−4k+3)=−k2+4k−3\begin{aligned} |A| &= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{array}\right| \\ &= \left(1\cdot k\cdot \left(-k\right) + 0\cdot 3\cdot 4 + \left(-1\right)\cdot 0\cdot 1\right) - \left(\left(-1\right)\cdot k\cdot 4 + 1\cdot 3\cdot 1 + 0\cdot 0\cdot \left(-k\right)\right) \\ &= \left(-k^{2} + 0 + 0\right) - \left(-4k + 3 + 0\right) \\ &= \left(-k^{2}\right) - \left(-4k + 3\right) \\ &= -k^{2} + 4k - 3 \end{aligned}

  2. 2Ecuación de segundo grado

    Resolvemos la ecuación de segundo grado −k2+4k−3=0-k^{2} + 4k - 3 = 0 (dividiendo entre −1-1, es lo mismo que k2−4k+3=0k^{2} - 4k + 3 = 0). Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado.

    k=−b±b2−4ac2a=4±(−4)2−4⋅1⋅32=4±22  ⇒  k=3,k=1k = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4\cdot 1\cdot 3}}{2} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \;\Rightarrow\; k = 3, \quad k = 1

  3. 3Valores que anulan el determinante

    Factorizado, el determinante se anula solo para k=1k = 1 y k=3k = 3.

    ∣A∣=−k2+4k−3=−(k−1)(k−3)|A| = -k^{2} + 4k - 3 = -\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)

  4. 4Cuándo existe la inversa

    AA tiene inversa si y solo si k≠1 y k≠3k \neq 1 \text{ y } k \neq 3. Para k=1k = 1 y k=3k = 3, ∣A∣=0|A| = 0 y no hay inversa.

  5. 5Matriz de adjuntos

    El adjunto de cada elemento es Aij=(−1)i+j MijA_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}, donde MijM_{ij} es el determinante que queda al quitar la fila ii y la columna jj. Los calculamos con el parámetro dentro.

    A11=+∣k31−k∣=+(−k2−3)=−k2−3A12=−∣034−k∣=−(−12)=12A13=+∣0k41∣=+(−4k)=−4kA21=−∣0−11−k∣=−1A22=+∣1−14−k∣=+(−k+4)=−k+4A23=−∣1041∣=−1A31=+∣0−1k3∣=+kA32=−∣1−103∣=−3A33=+∣100k∣=+k\begin{array}{lll} A_{11} = +\left|\begin{array}{cc} k & 3 \\ 1 & -k \end{array}\right| = +\left(-k^{2} - 3\right) = -k^{2} - 3 & A_{12} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 4 & -k \end{array}\right| = -\left(-12\right) = 12 & A_{13} = +\left|\begin{array}{cc} 0 & k \\ 4 & 1 \end{array}\right| = +\left(-4k\right) = -4k \\[6pt] A_{21} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & -k \end{array}\right| = -1 & A_{22} = +\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 4 & -k \end{array}\right| = +\left(-k + 4\right) = -k + 4 & A_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array}\right| = -1 \\[6pt] A_{31} = +\left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ k & 3 \end{array}\right| = +k & A_{32} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{array}\right| = -3 & A_{33} = +\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}\right| = +k \end{array}

  6. 6Matriz adjunta

    Colocamos cada adjunto en su lugar:

    Adj⁡(A)=(−k2−312−4k−1−k+4−1k−3k)\operatorname{Adj}(A) = \left(\begin{array}{ccc} -k^{2} - 3 & 12 & -4k \\ -1 & -k + 4 & -1 \\ k & -3 & k \end{array}\right)

  7. 7Traspuesta de la adjunta

    Cambiamos filas por columnas:

    Adj⁡(A)t=(−k2−3−1k12−k+4−3−4k−1k)\operatorname{Adj}(A)^t = \left(\begin{array}{ccc} -k^{2} - 3 & -1 & k \\ 12 & -k + 4 & -3 \\ -4k & -1 & k \end{array}\right)

  8. 8Dividimos entre el determinante

    Para k≠1 y k≠3k \neq 1 \text{ y } k \neq 3 podemos dividir entre ∣A∣|A|. Cada elemento queda como una fracción de polinomios:

    A−1=1∣A∣Adj⁡(A)t=1−(k−1)(k−3)(−k2−3−1k12−k+4−3−4k−1k)=(k2+3(k−1)(k−3)1(k−1)(k−3)−k(k−1)(k−3)−12(k−1)(k−3)k−4(k−1)(k−3)3(k−1)(k−3)4k(k−1)(k−3)1(k−1)(k−3)−k(k−1)(k−3))\begin{aligned} A^{-1} &= \dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t = \dfrac{1}{-\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)}\left(\begin{array}{ccc} -k^{2} - 3 & -1 & k \\ 12 & -k + 4 & -3 \\ -4k & -1 & k \end{array}\right) \\ &= \left(\begin{array}{ccc} \dfrac{k^{2} + 3}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} & \dfrac{1}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} & -\dfrac{k}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} \\[4pt] -\dfrac{12}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} & \dfrac{k - 4}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} & \dfrac{3}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} \\[4pt] \dfrac{4k}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} & \dfrac{1}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} & -\dfrac{k}{\left(k - 1\right)\left(k - 3\right)} \end{array}\right) \end{aligned}

  9. 9Comprobación

    Multiplicando AA por la matriz obtenida y simplificando, sale la identidad para cualquier valor permitido del parámetro.

    A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I

  10. 10Por ejemplo, k=2k = 2

    Para un valor concreto del parámetro basta con sustituir en la fórmula. Con k=2k = 2:

    A=(10−102341−2)  ⇒  A−1=(−7−12122−3−8−12)A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{array}\right) \;\Rightarrow\; A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{array}\right)

Qué es y cuándo se usa

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Cuando la matriz depende de un parámetro, la pregunta de la PAU suele ser doble: «¿para qué valores de kk tiene inversa AA? Calcúlala para k=…k=\dots» o «en función de kk».

La respuesta sale del determinante: se calculan los valores que lo anulan y, para el resto, la inversa con la fórmula de la adjunta.

El método paso a paso

  1. Calcula ∣A∣|A| en función del parámetro y factorízalo.

  2. AA tiene inversa si y solo si el parámetro no es ninguna raíz de ∣A∣|A|.

  3. Calcula los adjuntos Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} con el parámetro dentro.

  4. Forma Adj⁡(A)\operatorname{Adj}(A), trasponla y divide entre ∣A∣|A|:

    A−1=1∣A∣ Adj⁡(A)t.A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,\operatorname{Adj}(A)^t.

  5. Simplifica cada elemento. Para un valor concreto, basta con sustituir.

Un ejemplo completo

Sea

A=(10a0a0a01).A=\begin{pmatrix}1&0&a\\0&a&0\\a&0&1\end{pmatrix}.

Por Sarrus, ∣A∣=a−a3=−a(a+1)(a−1)|A|=a-a^3=-a(a+1)(a-1), que se anula para a=−1a=-1, a=0a=0 y a=1a=1. Por tanto, AA tiene inversa si y solo si a≠−1a\neq-1, a≠0a\neq0 y a≠1a\neq1.

Los adjuntos son A11=aA_{11}=a, A13=−a2A_{13}=-a^2, A22=1−a2A_{22}=1-a^2, A31=−a2A_{31}=-a^2, A33=aA_{33}=a y los demás valen 00. La adjunta es simétrica, así que coincide con su traspuesta, y

A−1=1a−a3(a0−a201−a20−a20a)=(11−a20−a1−a201a0−a1−a2011−a2).A^{-1}=\frac{1}{a-a^3}\begin{pmatrix}a&0&-a^2\\0&1-a^2&0\\-a^2&0&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1-a^2}&0&\dfrac{-a}{1-a^2}\\[6pt]0&\dfrac{1}{a}&0\\[6pt]\dfrac{-a}{1-a^2}&0&\dfrac{1}{1-a^2}\end{pmatrix}.

Por ejemplo, para a=2a=2:

A−1=(−130230120230−13).A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac13&0&\frac23\\0&\frac12&0\\\frac23&0&-\frac13\end{pmatrix}.

Errores típicos

  • Calcular la inversa sin decir para qué valores existe: la fórmula no vale en las raíces de ∣A∣|A|.
  • Olvidar la raíz a=0a=0 cuando ∣A∣|A| tiene factor común aa.
  • No trasponer la matriz de adjuntos (aquí no se nota porque es simétrica, pero en general sí).
  • Simplificar dividiendo entre un factor que puede ser cero sin haber excluido antes ese valor.

Practica: calcula la inversa con la adjunta.

Preguntas frecuentes

¿Para qué valores tiene inversa una matriz con parámetro?

Para los que no anulan su determinante. Se calcula |A| en función del parámetro, se buscan sus raíces y la matriz tiene inversa para todos los demás valores.

¿Cómo se calcula la inversa en función del parámetro?

Con la fórmula de la adjunta, A^{-1} = (1/|A|) · Adj(A)^t, haciendo los adjuntos con el parámetro dentro. Después se simplifica cada elemento, que queda como una fracción de polinomios.

¿Y si piden la inversa para un valor concreto, por ejemplo k = 2?

Primero se comprueba que ese valor no anula el determinante. Después se puede sustituir en la fórmula general o calcular la inversa de la matriz numérica, por Gauss-Jordan o por la adjunta.

¿Se pueden simplificar los elementos de la inversa?

Sí: cada adjunto puede tener factores comunes con |A|. Al simplificar se dividen entre factores que no son cero, porque solo trabajamos con valores en los que |A| ≠ 0.

¿Puede una matriz con parámetro tener inversa siempre?

Sí, si su determinante no se anula para ningún valor real del parámetro, por ejemplo si es una constante distinta de cero o un polinomio como a² + 1.

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