Calcular la matriz inversa por Gauss-Jordan

Qué es la matriz inversa y para qué sirve

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es la matriz $A^{-1}$ que cumple

$$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I,$$

donde $I$ es la matriz identidad. Hace el papel del inverso de un número: igual que $5\cdot\frac15=1$, aquí $A$ y $A^{-1}$ se “cancelan”. Se usa para resolver ecuaciones matriciales como $AX=B$ (entonces $X=A^{-1}B$) y sistemas de ecuaciones con tantas ecuaciones como incógnitas.

El método de Gauss-Jordan paso a paso

1. Escribe la matriz ampliada $(A\,|\,I)$, con $A$ a la izquierda y la identidad a la derecha.
2. Con operaciones elementales entre filas, haz ceros bajo cada pivote y deja un 1 en cada pivote.
3. Sigue haciendo ceros también por encima de los pivotes, hasta que a la izquierda quede $I$.
4. A la derecha ha aparecido $A^{-1}$: $(A\,|\,I)\to(I\,|\,A^{-1})$.

Las operaciones permitidas son intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra. Aplicamos a la vez cada operación a las dos mitades de la matriz.

Ejemplo resuelto

Calculemos la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_2-3F_1}\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{F_2/(-2)}\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&\tfrac32&-\tfrac12\end{array}\right)\xrightarrow{F_1-2F_2}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\tfrac32&-\tfrac12\end{array}\right)$$

Por tanto

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix}.$$

Comprobación de la primera fila de $A\cdot A^{-1}$: $1\cdot(-2)+2\cdot\tfrac32=1$ y $1\cdot1+2\cdot(-\tfrac12)=0$, justo la primera fila de $I$.

Propiedades que conviene recordar

• $(A^{-1})^{-1}=A$.
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$: el orden se invierte.
• $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$.
• $A$ tiene inversa si y solo si $|A|\neq0$, es decir, si $\operatorname{rg}(A)=n$ para una matriz $n\times n$.
• La inversa, si existe, es única.

Por qué funciona el método

Cada operación elemental entre filas equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz invertible. Si una sucesión de operaciones convierte $A$ en $I$, el producto de todas esas matrices es justo $A^{-1}$. Como aplicamos las mismas operaciones a la identidad de la derecha, esa mitad se va transformando en $A^{-1}I=A^{-1}$. Por eso no hace falta ninguna fórmula: la inversa aparece sola.

Consejos para no perderte

• Trabaja columna a columna: primero el pivote de la columna 1, luego el de la columna 2, y así hasta el final.
• Si el pivote es $0$, intercambia esa fila con otra de debajo que tenga un número distinto de cero.
• Si puedes elegir, prefiere pivotes iguales a $1$ o $-1$ para retrasar la aparición de fracciones.
• Anota la operación que haces en cada paso (por ejemplo $F_2 o F_2-3F_1$). Te ahorrará dudas al revisar.

Errores típicos

• Operar solo en un lado. Cada operación de fila se hace en la matriz entera $(A\,|\,I)$.
• Intentar invertir una matriz no cuadrada. Solo las cuadradas pueden tener inversa.
• Seguir adelante con una fila de ceros. Si a la izquierda te sale una fila nula, la matriz es singular y no hay inversa.
• Invertir mal el producto. $(AB)^{-1}$ es $B^{-1}A^{-1}$, no $A^{-1}B^{-1}$.
• Errores con fracciones. Revisa cada paso o comprueba al final que $A\cdot A^{-1}=I$.

Practica: calcula la inversa con la adjunta.