Ejemplo resuelto paso a paso

4×4

|A| = 4

1Idea del método
Hacemos ceros debajo de la diagonal con operaciones del tipo $F_i \to F_i - k\,F_j$ , que no cambian el determinante. Al final, el determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal.
$|A| = \left|\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 1 & 7 \\ -2 & 1 & 5 & 0 \\ 6 & 4 & 2 & 11 \end{array}\right|$
2Ceros debajo del pivote
Tomamos como pivote el $2$ de la fila 1, columna 1, y hacemos ceros debajo de él.
$\begin{array}{l} F_{2} \to F_{2} - 2F_{1} \\ F_{3} \to F_{3} + F_{1} \\ F_{4} \to F_{4} - 3F_{1} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{cccc} \htmlClass{ro}{2} & 1 & 0 & 3 \\ \htmlClass{ve}{0} & 1 & 1 & 1 \\ \htmlClass{ve}{0} & 2 & 5 & 3 \\ \htmlClass{ve}{0} & 1 & 2 & 2 \end{array}\right)$
3Ceros debajo del pivote
Tomamos como pivote el $1$ de la fila 2, columna 2, y hacemos ceros debajo de él.
$\begin{array}{l} F_{3} \to F_{3} - 2F_{2} \\ F_{4} \to F_{4} - F_{2} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & \htmlClass{ro}{1} & 1 & 1 \\ 0 & \htmlClass{ve}{0} & 3 & 1 \\ 0 & \htmlClass{ve}{0} & 1 & 1 \end{array}\right)$
4Intercambio de filas
Intercambiamos $F_{3}$ y $F_{4}$ para usar como pivote un $1$ , que simplifica las cuentas. Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo.
$F_{3} \leftrightarrow F_{4} \qquad \left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \htmlClass{ro}{1} & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right)$
5Ceros debajo del pivote
Tomamos como pivote el $1$ de la fila 3, columna 3, y hacemos ceros debajo de él.
$\begin{array}{l} F_{4} \to F_{4} - 3F_{3} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \htmlClass{ro}{1} & 1 \\ 0 & 0 & \htmlClass{ve}{0} & -2 \end{array}\right)$
6Producto de la diagonal
La matriz ya es triangular. Hemos intercambiado filas 1 vez, así que el signo cambia.
$|A| = -\left|\begin{array}{cccc} \htmlClass{ro}{2} & 1 & 0 & 3 \\ 0 & \htmlClass{ro}{1} & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \htmlClass{ro}{1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \htmlClass{ro}{-2} \end{array}\right| = -\left(2\cdot 1\cdot 1\cdot \left(-2\right)\right) = 4$

Qué es el método de Gauss para determinantes

Consiste en usar operaciones elementales entre filas para convertir la matriz en triangular superior (todo ceros por debajo de la diagonal). El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal, así que el cálculo termina en una multiplicación. Es el método más eficaz para matrices grandes y el más fácil de automatizar.

El método paso a paso

Busca un pivote no nulo en la primera columna (si es $0$ , intercambia filas y apunta un cambio de signo).
Haz ceros debajo del pivote con $F_i \to F_i - kF_j$ . Esta operación no altera $|A|$ .
Repite con la segunda columna, la tercera, etc., hasta tener una matriz triangular.
Multiplica la diagonal y aplica $(-1)^s$ , siendo $s$ el número de intercambios de filas realizados.

Si multiplicas alguna fila por un número $k$ , recuerda que el determinante queda multiplicado por $k$ ; por eso conviene evitar esa operación y usar solo $F_i \to F_i - kF_j$ .

Ejemplo resuelto

Calculemos

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 7 & 10 \end{vmatrix}.

Hacemos ceros bajo el primer pivote con $F_2 \to F_2 - 2F_1$ y $F_3 \to F_3 - 3F_1$ :

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}.

Ahora $F_3 \to F_3 - F_2$ :

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot 1\cdot 3 = 3.

No ha habido intercambios de filas, así que no cambia el signo y $|A|=3$ .

Propiedades útiles

Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
$F_i \to F_i - kF_j$ no cambia el determinante: es la operación clave del método.
Si aparece una fila de ceros, o dos filas proporcionales, el determinante es $0$ .
Si la matriz es triangular, $|A|$ es el producto de la diagonal.

Además, el número de pivotes no nulos que obtienes está relacionado con el rango: un determinante nulo indica que al triangular aparece alguna fila de ceros.

Errores típicos

Olvidar el signo tras intercambiar filas: lleva la cuenta de cuántos intercambios haces.
Multiplicar una fila por un número sin dividir luego el determinante entre ese número.
Operar mal con fracciones al hacer ceros; revisa cada línea antes de seguir.
Hacer $F_i \to kF_i - F_j$ creyendo que no cambia nada: esa operación multiplica el determinante por $k$ .

Practica: calcula el mismo determinante por adjuntos.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula un determinante por el método de Gauss?

Se transforma la matriz en triangular superior con operaciones entre filas y se multiplican los elementos de la diagonal. Hay que tener en cuenta el cambio de signo por cada intercambio de filas.

¿Qué operaciones entre filas no cambian el determinante?

Sumar a una fila un múltiplo de otra, F_i → F_i − kF_j, no lo cambia. Intercambiar dos filas lo cambia de signo, y multiplicar una fila por k lo multiplica por k.

¿Por qué el determinante de una matriz triangular es el producto de la diagonal?

Porque al desarrollar por la primera columna (o la última fila) solo sobrevive un sumando en cada paso, y así se va multiplicando cada elemento de la diagonal.

¿Qué hago si aparece un 0 en el pivote?

Intercambia esa fila con otra inferior que tenga un valor no nulo en esa columna, y cambia el signo del determinante. Si no hay ninguna, el determinante es 0.

¿Es mejor Gauss o los adjuntos para un determinante grande?

Para órdenes 4 o mayores, Gauss suele ser más corto y ordenado, sobre todo si hay fracciones o ningún cero. Los adjuntos compensan cuando una fila o columna ya tiene casi todo ceros.

Otras herramientas

Para leer

Carl Friedrich Gauss: de la suma de 1 a 100 al planeta Ceres

Ejemplo resuelto paso a paso

1Idea del método

2Ceros debajo del pivote

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4Intercambio de filas

5Ceros debajo del pivote

6Producto de la diagonal