Calcular el rango de una matriz

Qué es el rango y para qué se usa

El rango de una matriz $A$, que se escribe $\operatorname{rg}(A)$, es el número de filas (o de columnas) linealmente independientes. Dicho de otro modo: cuántas filas aportan información nueva y no son combinación de las demás. Sirve para saber si una matriz cuadrada es invertible y, sobre todo, para discutir sistemas de ecuaciones con el teorema de Rouché-Frobenius.

Cómo se calcula

Por Gauss. Se hacen ceros por debajo de cada pivote con operaciones elementales entre filas hasta obtener una matriz escalonada. El rango es el número de filas no nulas.

Por menores. Se busca el mayor orden $r$ para el que existe un menor (determinante de una submatriz cuadrada) distinto de $0$. Entonces $\operatorname{rg}(A)=r$.

Ejemplo resuelto

Calculemos el rango de

$$A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\\3&6&4\end{pmatrix}.$$

Hacemos ceros bajo el primer pivote:

$$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\\3&6&4\end{pmatrix}\xrightarrow[F_3-3F_1]{F_2-2F_1}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3-F_2}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

Quedan dos filas no nulas, luego $\operatorname{rg}(A)=2$.

Comprobación por menores. El determinante de $A$ es $0$, así que el rango no es $3$. Y el menor formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 3,

$$\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=3-2=1\neq0,$$

demuestra que el rango es al menos $2$. Por tanto $\operatorname{rg}(A)=2$.

Propiedades

• $0\le\operatorname{rg}(A)\le\min(m,n)$ para una matriz $m\times n$.
• $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)$: el rango por filas y por columnas coincide.
• Las operaciones elementales entre filas no cambian el rango.
• Una matriz cuadrada $n\times n$ es invertible si y solo si $\operatorname{rg}(A)=n$.
• Solo la matriz nula tiene rango $0$.

Rango y sistemas de ecuaciones

El rango es la herramienta básica del teorema de Rouché-Frobenius. Si $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la ampliada con los términos independientes, el sistema es compatible cuando $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)$. Será compatible determinado si ese rango coincide con el número de incógnitas, e indeterminado si es menor. Si los rangos son distintos, el sistema es incompatible.

Consejos prácticos

• Con matrices pequeñas, empieza por el determinante: si es distinto de $0$, el rango es máximo y has terminado.
• En matrices con muchos ceros, el método de menores suele ser más rápido que escalonar.
• Si dos filas son proporcionales o una es suma de otras, sabes que el rango baja.
• Al escalonar, intercambia filas si necesitas un pivote distinto de cero.

Errores típicos

• Contar filas sin escalonar: que ninguna fila sea cero no basta; hay que reducir primero.
• Contar mal las filas nulas: tras escalonar, el rango es el número de filas no nulas.
• Dar un rango imposible: una matriz $3\times4$ no puede tener rango $4$, porque $\operatorname{rg}(A)\le\min(3,4)=3$.
• Confundir un menor nulo con rango bajo: que un menor de orden $r$ valga $0$ no basta; hay que mirar si existe algún menor de ese orden distinto de cero.
• Mezclar operaciones por filas y por columnas sin cuidado: ambas conservan el rango, pero cada una debe aplicarse a la matriz entera.

Practica: calcula la inversa por Gauss-Jordan.