Ejemplo resuelto paso a paso

Compatible determinado

\text{Sistema compatible determinado}

1Matrices del sistema
Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ , que añade la columna de los términos independientes.
$A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right), \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & -1 & -6 \end{array}\right)$
2Ceros debajo del pivote
Tomamos como pivote el $1$ de la fila 1, columna 1, y hacemos ceros debajo de él.
$\begin{array}{l} F_{2} \to F_{2} - 2F_{1} \\ F_{3} \to F_{3} - F_{1} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} \htmlClass{ro}{1} & 1 & 1 & 2 \\ \htmlClass{ve}{0} & -3 & -1 & 3 \\ \htmlClass{ve}{0} & 1 & -2 & -8 \end{array}\right)$
3Intercambio de filas
Intercambiamos $F_{2}$ y $F_{3}$ para usar como pivote un $1$ , que simplifica las cuentas.
$F_{2} \leftrightarrow F_{3} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & \htmlClass{ro}{1} & -2 & -8 \\ 0 & -3 & -1 & 3 \end{array}\right)$
4Ceros debajo del pivote
Tomamos como pivote el $1$ de la fila 2, columna 2, y hacemos ceros debajo de él.
$\begin{array}{l} F_{3} \to F_{3} + 3F_{2} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & \htmlClass{ro}{1} & -2 & -8 \\ 0 & \htmlClass{ve}{0} & -7 & -21 \end{array}\right)$
5Simplificamos filas
Dividimos cada fila que tiene un factor común entre ese número, para trabajar con valores más pequeños.
$\begin{array}{l} F_{3} \to F_{3} / (-7) \end{array} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$
6Teorema de Rouché-Frobenius
El rango de la matriz de coeficientes $A$ es el número de filas no nulas de su forma escalonada, y lo mismo para la ampliada $A^*$ . Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3$ , que es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado: tiene una única solución.
$\operatorname{rg}(A) = 3, \quad \operatorname{rg}(A^*) = 3, \quad n = 3$

Qué dice el teorema y cuándo se usa

Discutir un sistema es decidir, sin resolverlo, cuántas soluciones tiene. El teorema de Rouché-Frobenius (asociado a los matemáticos Eugène Rouché y Ferdinand Georg Frobenius) lo hace comparando dos rangos: el de la matriz de coeficientes $A$ y el de la matriz ampliada $A^*$ .

Sea $n$ el número de incógnitas:

$\text{rg}(A)\neq\text{rg}(A^*)$ : sistema incompatible (SI), sin solución.
$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=n$ : compatible determinado (SCD), solución única.
$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)<n$ : compatible indeterminado (SCI), infinitas soluciones con $n-\text{rg}(A)$ parámetros.

Es la herramienta clave cuando el sistema tiene un parámetro, porque la clasificación cambia según su valor.

El método paso a paso

Escribe $A$ y $A^*$ .
Si $A$ es cuadrada, calcula $|A|$ y halla los valores del parámetro que lo anulan.
Para los demás valores, $\text{rg}(A)=n$ y el sistema es SCD.
Para cada valor crítico, sustitúyelo y calcula $\text{rg}(A)$ y $\text{rg}(A^*)$ .
Aplica el teorema y clasifica.

Un ejemplo completo

Discutamos según $m$ el sistema

\begin{cases} x+y+mz=1\\ x+my+z=1\\ mx+y+z=1 \end{cases}

El determinante de $A$ es

|A|=\begin{vmatrix}1&1&m\\1&m&1\\m&1&1\end{vmatrix}=-(m-1)^2(m+2),

que se anula para $m=1$ y $m=-2$ .

Caso $m\neq 1,\ m\neq -2$ . Entonces $|A|\neq0$ , luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=n$ : SCD.

Caso $m=1$ . Las tres ecuaciones son $x+y+z=1$ , iguales entre sí. Así $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=1<3$ : SCI con $3-1=2$ parámetros.

Caso $m=-2$ . Tenemos

A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}.

El menor $\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq0$ da $\text{rg}(A)=2$ , pues $|A|=0$ . En $A^*$ , el menor formado por las columnas 1, 2 y 4 (la de términos independientes)

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&1\\-2&1&1\end{vmatrix}=-9\neq0

da $\text{rg}(A^*)=3$ . Como $2\neq3$ , el sistema es SI.

Errores típicos

Olvidar $A^*$ y comparar solo el rango de $A$ .
Concluir “incompatible” solo porque $|A|=0$ . Con determinante nulo el sistema puede ser SCI o SI: hay que calcular ambos rangos.
Dividir entre una expresión con parámetro sin estudiar antes cuándo se anula.
Calcular mal el rango de $A^*$ : hay que probar menores que incluyan la columna de términos independientes.
Dejar sin discutir los valores críticos: la clasificación general no los cubre.

Practica: resuelve el sistema por el método de Gauss.

Preguntas frecuentes

¿Qué dice el teorema de Rouché-Frobenius?

Un sistema lineal es compatible si y solo si rg(A) = rg(A*). Si además ese rango coincide con el número de incógnitas es compatible determinado; si es menor, es compatible indeterminado.

¿Cómo se discute un sistema con parámetro?

Se calculan los valores del parámetro que anulan el determinante de A y se estudia cada caso por separado, calculando rg(A) y rg(A*). Para el resto de valores, el sistema es SCD.

¿Qué diferencia hay entre discutir y resolver un sistema?

Discutir es clasificarlo (SCD, SCI o SI) sin necesidad de hallar la solución. Resolver es, además, calcular las soluciones cuando existen.

¿Cuántos parámetros tiene un SCI?

El número de incógnitas menos el rango: n - rg(A). Por ejemplo, con tres incógnitas y rango 1, la solución depende de dos parámetros.

¿Qué es la matriz ampliada A*?

Es la matriz de coeficientes A con la columna de términos independientes añadida a la derecha. Sirve para comparar su rango con el de A.

Discutir un sistema con el teorema de Rouché-Frobenius

Ejemplo resuelto paso a paso

1Matrices del sistema

2Ceros debajo del pivote

3Intercambio de filas

4Ceros debajo del pivote

5Simplificamos filas

6Teorema de Rouché-Frobenius

Qué dice el teorema y cuándo se usa

El método paso a paso

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