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El bit perdido
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Resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss

Calculadora que resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss paso a paso: matriz ampliada, ceros bajo cada pivote, clasificación y solución.

Puedes escribir 2x, -y/2, 3(x - 1) o fracciones como 1/3. También puedes separar las ecuaciones con comas.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

3×3 con solución única

x=1,y=−2,z=3x = 1, \quad y = -2, \quad z = 3

  1. 1Matriz ampliada

    Escribimos los coeficientes de cada incógnita y, tras la barra, los términos independientes.

    {x+y+z=22x−y+z=7x+2y−z=−6  ⟶  (11122−11712−1−6)\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + 2y - z = -6 \end{cases} \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & -1 & -6 \end{array}\right)

  2. 2Ceros debajo del pivote

    Tomamos como pivote el 11 de la fila 1, columna 1, y hacemos ceros debajo de él.

    F2→F2−2F1F3→F3−F1(11120−3−1301−2−8)\begin{array}{l} F_{2} \to F_{2} - 2F_{1} \\ F_{3} \to F_{3} - F_{1} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} \htmlClass{ro}{1} & 1 & 1 & 2 \\ \htmlClass{ve}{0} & -3 & -1 & 3 \\ \htmlClass{ve}{0} & 1 & -2 & -8 \end{array}\right)

  3. 3Intercambio de filas

    Intercambiamos F2F_{2} y F3F_{3} para usar como pivote un 11, que simplifica las cuentas.

    F2↔F3(111201−2−80−3−13)F_{2} \leftrightarrow F_{3} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & \htmlClass{ro}{1} & -2 & -8 \\ 0 & -3 & -1 & 3 \end{array}\right)

  4. 4Ceros debajo del pivote

    Tomamos como pivote el 11 de la fila 2, columna 2, y hacemos ceros debajo de él.

    F3→F3+3F2(111201−2−800−7−21)\begin{array}{l} F_{3} \to F_{3} + 3F_{2} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & \htmlClass{ro}{1} & -2 & -8 \\ 0 & \htmlClass{ve}{0} & -7 & -21 \end{array}\right)

  5. 5Simplificamos filas

    Dividimos cada fila que tiene un factor común entre ese número, para trabajar con valores más pequeños.

    F3→F3/(−7)(111201−2−80013)\begin{array}{l} F_{3} \to F_{3} / (-7) \end{array} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)

  6. 6Forma escalonada

    La matriz ya está escalonada: cada pivote está más a la derecha que el de la fila de arriba, y debajo de cada pivote solo hay ceros. Este es el sistema equivalente:

    (111201−2−80013)  ⟶  {x+y+z=2y−2z=−8z=3\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right) \;\longrightarrow\; \begin{cases} x + y + z = 2 \\ y - 2z = -8 \\ z = 3 \end{cases}

  7. 7Teorema de Rouché-Frobenius

    El rango de la matriz de coeficientes AA es el número de filas no nulas de su forma escalonada, y lo mismo para la ampliada A∗A^*. Como rg⁡(A)=rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3, que es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

    rg⁡(A)=3,rg⁡(A∗)=3,n=3\operatorname{rg}(A) = 3, \quad \operatorname{rg}(A^*) = 3, \quad n = 3

  8. 8Despejamos zz

    La fila 3 solo tiene una incógnita: despejamos zz.

    z=3z = 3

  9. 9Despejamos yy

    En la ecuación de la fila 2 sustituimos lo que ya sabemos y despejamos yy.

    y−2z=−8  ⇒  y−2(3)=−8  ⇒  y=−2y - 2z = -8 \;\Rightarrow\; y - 2\left(3\right) = -8 \;\Rightarrow\; y = -2

  10. 10Despejamos xx

    En la ecuación de la fila 1 sustituimos lo que ya sabemos y despejamos xx.

    x+y+z=2  ⇒  x+(−2)+(3)=2  ⇒  x=1x + y + z = 2 \;\Rightarrow\; x + \left(-2\right) + \left(3\right) = 2 \;\Rightarrow\; x = 1

  11. 11Comprobación

    Sustituimos la solución en las ecuaciones originales: todas se cumplen.

    1+(−2)+3=2  ✓2⋅1−(−2)+3=7  ✓1+2⋅(−2)−3=−6  ✓\begin{array}{l} 1 + \left(-2\right) + 3 = 2 \;\checkmark \\ 2\cdot 1 - \left(-2\right) + 3 = 7 \;\checkmark \\ 1 + 2\cdot \left(-2\right) - 3 = -6 \;\checkmark \end{array}

Qué es el método de Gauss y cuándo usarlo

El método de Gauss (o de eliminación gaussiana) transforma un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente, es decir, con exactamente las mismas soluciones, pero mucho más fácil de resolver: un sistema escalonado. Se trabaja con la matriz ampliada A∗A^*, que es la matriz de coeficientes AA con la columna de términos independientes añadida al final.

Es el método más general que conoces: sirve para sistemas con cualquier número de ecuaciones e incógnitas y, de paso, te dice si el sistema es SCD (compatible determinado, una solución), SCI (compatible indeterminado, infinitas soluciones) o SI (incompatible, ninguna). El nombre recuerda a Carl Friedrich Gauss, que usó procedimientos de este tipo en sus cálculos, aunque la idea es bastante anterior.

El método paso a paso

  1. Escribe la matriz ampliada A∗A^* del sistema.
  2. Elige un pivote en la primera columna (mejor si es 11 o −1-1) y haz ceros debajo de él con operaciones del tipo Fi→Fi−k F1F_i \to F_i - k\,F_1.
  3. Repite con la segunda columna, usando la segunda fila como pivote, y así sucesivamente.
  4. Interpreta la matriz escalonada: ¿hay filas del tipo (0  0  0 ∣ c)(0\;0\;0\,|\,c) con c≠0c\neq 0? Entonces SI. Si no, compara rangos: rg(A)=rg(A∗)=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)= número de incógnitas es SCD; si es menor, SCI.
  5. Despeja de abajo arriba (sustitución regresiva).

Un ejemplo completo

Resolvamos

{x+2y−z=−32x+y+z=63x−y+2z=13\begin{cases} x+2y-z=-3\\ 2x+y+z=6\\ 3x-y+2z=13 \end{cases}

La matriz ampliada es

(12−1−321163−1213)\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&-3\\2&1&1&6\\3&-1&2&13\end{array}\right)

Hacemos ceros bajo el primer pivote con F2→F2−2F1F_2\to F_2-2F_1 y F3→F3−3F1F_3\to F_3-3F_1:

(12−1−30−33120−7522)\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&-3\\0&-3&3&12\\0&-7&5&22\end{array}\right)

Para evitar fracciones, usamos F3→3F3−7F2F_3\to 3F_3-7F_2:

(12−1−30−331200−6−18)\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&-3\\0&-3&3&12\\0&0&-6&-18\end{array}\right)

Ahora despejamos de abajo arriba:

  • −6z=−18⇒z=3-6z=-18 \Rightarrow z=3.
  • −3y+3⋅3=12⇒y=−1-3y+3\cdot 3=12 \Rightarrow y=-1.
  • x+2⋅(−1)−3=−3⇒x=2x+2\cdot(-1)-3=-3 \Rightarrow x=2.

Como rg(A)=rg(A∗)=3\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3 es igual al número de incógnitas, el sistema es SCD con solución (x,y,z)=(2,−1,3)(x,y,z)=(2,-1,3). Comprobación en la tercera ecuación: 6+1+6=136+1+6=13.

Errores típicos

  • Cambiar solo la parte izquierda de la fila. Toda operación afecta también a la columna de términos independientes.
  • Multiplicar una fila por cero, o modificar la fila pivote mientras se usa para hacer ceros. En F3→3F3−7F2F_3\to 3F_3-7F_2 la fila que cambia es la F3F_3, y el factor 33 debe ser distinto de cero.
  • Errores de signo al restar filas con números negativos. Conviene comprobar el resultado sustituyendo en las ecuaciones originales.
  • Ignorar una fila (0 0 0 ∣ c)(0\,0\,0\,|\,c). Si c≠0c\neq0 el sistema es incompatible; no se puede “seguir adelante” con la solución.
  • Tirar una fila de ceros sin contar rangos, y olvidar que entonces hay parámetros libres.

Practica: discute el sistema con Rouché-Frobenius.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el método de Gauss para resolver sistemas?

Consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada, de modo que el sistema se resuelva despejando de abajo arriba. Es un método que sirve para cualquier sistema lineal, tenga las ecuaciones e incógnitas que tenga.

¿Cuándo es mejor Gauss que la regla de Cramer?

Gauss funciona siempre, incluso si el sistema no es cuadrado o si el determinante es cero, y requiere menos cuentas en sistemas de tres o más incógnitas. Cramer solo se aplica a sistemas cuadrados con determinante distinto de cero.

¿Cómo sé si un sistema es incompatible con Gauss?

Si al escalonar aparece una fila de ceros en los coeficientes con un término independiente distinto de cero, como (0 0 0 | 5), esa ecuación dice 0 = 5 y el sistema es incompatible (SI).

¿Qué pasa si me queda una fila de ceros?

Una fila (0 0 0 | 0) es una ecuación redundante y se descarta. Si quedan menos ecuaciones no nulas que incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (SCI) y hay que usar parámetros.

¿Qué operaciones se pueden hacer entre filas?

Intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar a una fila un múltiplo de otra. Ninguna de ellas cambia las soluciones del sistema.

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