Multiplicar matrices paso a paso

Qué es el producto de matrices

Multiplicar matrices es combinar la información de dos tablas de números en una nueva. Se usa para encadenar transformaciones, para escribir sistemas de ecuaciones como $AX=B$ y para calcular potencias e inversas. Es una operación distinta de multiplicar elemento a elemento: aquí cada resultado mezcla una fila con una columna.

Cómo se multiplica

1. Comprueba las dimensiones. Si $A$ es $m\times n$ y $B$ es $p\times q$, el producto $AB$ existe solo si $n=p$, y entonces es de tamaño $m\times q$.
2. Calcula cada elemento. El elemento de la fila $i$ y la columna $j$ es

$$(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}.$$

Es decir, multiplicas la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$ y sumas.

Ejemplo resuelto

Sean $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Ambas son $2\times2$, así que existen $AB$ y $BA$.

$$AB=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$$ $$BA=\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot3&0\cdot2+1\cdot4\\1\cdot1+0\cdot3&1\cdot2+0\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$$

Resulta $AB\neq BA$. Fíjate en el efecto: multiplicar por $B$ a la derecha intercambia las columnas de $A$, y multiplicar por $B$ a la izquierda intercambia sus filas.

Propiedades

• No conmutativa: en general $AB\neq BA$.
• Asociativa: $(AB)C=A(BC)$.
• Distributiva: $A(B+C)=AB+AC$.
• Elemento neutro: $AI=IA=A$.
• Traspuesta: $(AB)^t=B^tA^t$.
• Inversa: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ si ambas son invertibles.
• Divisores de cero: $AB=0$ no obliga a que $A=0$ o $B=0$.

Para qué sirve en la práctica

El producto de matrices permite escribir un sistema de ecuaciones como $AX=B$, donde $A$ contiene los coeficientes, $X$ las incógnitas y $B$ los términos independientes. También representa la composición de transformaciones: aplicar primero una y después otra equivale a multiplicar sus matrices, y por eso el orden importa. Si una matriz es invertible, multiplicar por su inversa permite despejar $X=A^{-1}B$.

Consejos para calcularlo sin errores

• Escribe las dimensiones de cada matriz al lado y comprueba que las interiores coinciden.
• Calcula el producto fila por fila: cada fila de $A$ genera una fila entera del resultado.
• Comprueba el tamaño del resultado antes de rellenarlo.
• Si una de las matrices es la identidad o la nula, el producto es inmediato.

Un ejemplo con distinto tamaño

Si $A$ es $2\times3$ y $B$ es $3\times2$, existen $AB$ (de tamaño $2\times2$) y $BA$ (de tamaño $3\times3$), y ni siquiera tienen el mismo tamaño. Si $A$ es $2\times3$ y $B$ es $2\times2$, en cambio, $AB$ no existe porque $A$ tiene $3$ columnas y $B$ solo $2$ filas, pero sí existe $BA$. Estas comprobaciones de tamaño son lo primero que debes hacer en cualquier ejercicio.

Errores típicos

• Multiplicar elemento a elemento, como en la suma.
• No mirar las dimensiones antes de empezar: $2\times3$ por $2\times3$ no se puede multiplicar.
• Cambiar el orden de los factores y dar por bueno el resultado.
• Simplificar como con números: de $AB=AC$ no se deduce $B=C$ salvo que $A$ sea invertible.
• Desarrollar mal $(A+B)^2$: es $A^2+AB+BA+B^2$, que solo es $A^2+2AB+B^2$ si $AB=BA$.

Practica: calcula potencias de una matriz.