Conjetura de Kakeya en 3D: la aguja de Wang y Zahl

Imagina una aguja de un palmo tirada sobre una mesa. Tu tarea es hacerla girar una vuelta completa, de 360 grados, barriendo la menor superficie posible. Parece un acertijo de sobremesa. Sin embargo, la pregunta que esconde lleva más de un siglo dando trabajo a los matemáticos, y su versión tridimensional se resolvió hace muy poco: el 24 de febrero de 2025, dos matemáticos subieron a arXiv un texto de 127 páginas que cierra el caso de tres dimensiones de la conjetura de Kakeya.

Una aguja y una pregunta de 1917

En 1917, el matemático japonés Sōichi Kakeya planteó este problema: ¿cuál es el área mínima de una región plana en la que un segmento de longitud 1 puede girar 360 grados?

Lo primero que se le ocurre a cualquiera es girar la aguja sobre su punto medio. Barre un disco de radio $\tfrac12$, con área

$$\pi\left(\tfrac12\right)^2=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785.$$

Se puede hacer bastante mejor. Si la aguja hace un cambio de sentido «en tres tiempos», como un coche en una calle estrecha, con los extremos deslizándose por el borde, recorre una figura con tres puntas llamada deltoide, de área $\pi/8\approx 0{,}393$: justo la mitad. Durante un tiempo se creyó que ese era el mínimo.

No lo es. Abram Besicovitch demostró (su artículo es de 1928) que la aguja puede darse la vuelta barriendo un área tan pequeña como se quiera. La respuesta a la pregunta de Kakeya es, por tanto, una de esas respuestas incómodas: no hay mínimo. Existen conjuntos planos de área cero que contienen un segmento unidad en cada dirección, pero para girar la aguja de forma continua hace falta añadir algo de área. Se puede acercar uno a cero tanto como se desee, sin llegar.

El truco de cortar y deslizar

¿Cómo se comprime tanto una figura que contiene todas las direcciones? La idea de fondo de la construcción de Perron es sorprendentemente manual. Se parte de un triángulo y se corta en rebanadas triangulares que comparten el vértice superior. Cada rebanada se desplaza horizontalmente, sin girarla, de modo que se solapen entre sí. Como solo se deslizan, cada segmento conserva su dirección, pero el conjunto ocupa menos sitio. Hickman describe la versión completa: se desplazan las rebanadas primero para formar parejas, luego parejas de parejas, y así sucesivamente. El dibujo es una versión simplificada, de un solo paso.

De la aguja a la dimensión

Aquí cambia el problema. Un conjunto de Kakeya (o de Besicovitch) es un compacto de $\mathbb{R}^n$ que contiene un segmento unidad en cada dirección. Fíjate en lo que no se pide: nadie exige que los segmentos giren dentro del conjunto. Basta con que estén ahí, uno por dirección.

Como esos conjuntos pueden tener medida cero, el volumen ya no sirve para distinguirlos. Se usa una vara de medir más fina, la dimensión. La idea de la dimensión de Minkowski es la de los cubitos: se cubre el conjunto con cubos de lado $\delta$ y se cuenta cuántos hacen falta. Si hacen falta unos $N(\delta)\approx\delta^{-d}$, el conjunto tiene dimensión $d$. Un segmento necesita $\delta^{-1}$ cubitos, un cuadrado $\delta^{-2}$, un cubo $\delta^{-3}$.

La conjetura de Kakeya afirma que todo conjunto de Kakeya en $\mathbb{R}^n$ tiene dimensión de Minkowski y de Hausdorff igual a $n$: aunque su volumen sea nulo, es tan «grande» como el espacio entero. En el plano la conjetura es un teorema desde 1971, gracias a Roy Davies. En tres dimensiones, por el contrario, resistió más de cincuenta años.

Para ver qué se juega, pasemos a la versión gruesa en $\mathbb{R}^3$. Cada segmento se engorda a un tubo de longitud 1 y sección $\delta\times\delta$, con volumen $\approx\delta^{2}$. Para cubrir todas las direcciones hacen falta unos $\delta^{-2}$ tubos, ya que las direcciones forman una esfera de dos dimensiones. Si los tubos no se solaparan, su unión tendría volumen

$$\delta^{-2}\cdot\delta^{2}=1.$$

La conjetura dice que, por mucho que se solapen, la unión no puede encogerse más que una potencia arbitrariamente pequeña de $\delta$: su volumen es al menos $c_\varepsilon\,\delta^{\varepsilon}$ para cada $\varepsilon>0$, donde la constante $c_\varepsilon>0$ depende de $\varepsilon$ pero no de $\delta$. Esto implica (y es, en esencia, su forma cuantitativa) que la dimensión de Minkowski es 3, porque un conjunto de dimensión de Minkowski $d$ tiene un $\delta$-entorno de volumen $\approx\delta^{3-d}$.

Medio siglo de escalones

La versión con tubos la formuló Jean Bourgain en 1991. Thomas Wolff demostró en 1995 que la dimensión es al menos $5/2$. Después, Nets Katz, Izabella Łaba y Terence Tao mejoraron en 2000 la cota para la dimensión de Minkowski en una cantidad del orden de $10^{-10}$, en un artículo de 64 páginas. Su análisis sugería que un contraejemplo tendría que cumplir tres propiedades: stickiness, planiness y graininess. En 2014, Katz y Tao, según el propio Tao, «declararon la derrota» y dejaron escrita una hoja de ruta que funcionaría si se lograba justificar esas tres propiedades.

En 2022, Hong Wang y Joshua Zahl demostraron el caso sticky (el pegajoso), la propiedad que, según Tao, resultó ser la crítica. Se publicó en el Journal of the American Mathematical Society en 2026. Faltaba reducir el caso general a este.

Febrero de 2025

La pieza que faltaba la aportaron los mismos autores. En su preprint, Wang y Zahl demuestran que todo conjunto de Kakeya en $\mathbb{R}^3$ tiene dimensión de Minkowski y de Hausdorff 3. El resultado se deduce de una cota de volumen para uniones de $\delta$-tubos que no se amontonan demasiado dentro de un mismo convexo: la unión tiene entonces volumen casi máximo.

Según la exposición de Tao, el argumento reduce el caso general al caso pegajoso mediante una inducción sobre escalas, y esa reducción es «completamente original» de los autores. Para el caso pegajoso usan resultados recientes sobre proyecciones de Orponen, Shmerkin y Wang.

Tao anunció el resultado en su blog el 25 de febrero de 2025. La nota de NYU salió el 6 de marzo y el reportaje de Quanta Magazine, el 14 de marzo. Nets Katz lo calificó de resultado «de los que ocurren una vez por siglo», y Eyal Lubetzky, director del departamento en el Courant, declaró que es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XXI (ambas citas, traducidas del inglés).

Por qué importa

La importancia está en el análisis de Fourier. En 1971, Charles Fefferman usó un conjunto de Besicovitch para demostrar que, en dimensión 2 o más, las integrales de Fourier sobre bolas no tienen por qué converger en norma $L^p$ cuando $p\neq 2$. Un objeto geométrico caprichoso resolvió, en negativo, un problema central del análisis.

Tao explica que varias conjeturas centrales implican la de Kakeya: restricción de Stein, Bochner-Riesz, suavizado local y, en teoría de números, la conjetura de Montgomery. Un contraejemplo a Kakeya produciría contraejemplos para las demás. Aun así, el avance no se propaga solo: Tao es optimista, pero señala que habrá que trabajar en cada una, y que la de Montgomery, con menos geometría dentro, podría ser especialmente difícil. Según Tao, resolver Kakeya sería un primer paso necesario, no suficiente, para atacar por esta vía la hipótesis de Lindelöf, que se sigue de la de Riemann.

Qué no está resuelto, y qué ha pasado después

La conjetura sigue abierta en dimensión 4 y superiores. Lo demostrado es $n=2$ (Davies, 1971) y $n=3$ (Wang y Zahl).

Respecto al estado del artículo a 21 de octubre de 2026: el preprint de 127 páginas sigue en una sola versión en arXiv y sin referencia de revista; no consta que esté publicado. Sí lo están las piezas previas (el caso pegajoso, en JAMS, y un resultado sobre la dimensión de Assouad, en Inventiones). En enero de 2026, Guth, Wang y Zahl publicaron una demostración simplificada, de 49 páginas, cuya versión final aparecerá en Mathematika. Según los autores, un grupo verificó formalmente en Lean sus argumentos y otro el teorema del caso pegajoso, y ambos trabajos se han combinado en una formalización completa; aclaran que los resultados los demostraron ellos y que la inteligencia artificial solo se usó para revisar el texto y autoformalizar.

El 23 de julio de 2026, primer día del Congreso Internacional de Matemáticos, el IHES anunció que Hong Wang recibía la Medalla Fields. La citación de la Unión Matemática Internacional menciona expresamente el problema de Kakeya en tres dimensiones. Wang es profesora permanente en el IHES y Silver Professor en el Courant Institute de NYU, y Zahl, en la Universidad de la Columbia Británica.

La aguja de Kakeya nunca necesitó más que un palmo de longitud. Para entender hasta dónde puede llegar su sombra hicieron falta más de un siglo, el trabajo de muchos analistas y la idea de que, a veces, la forma de ganar espacio es deslizar las piezas sin girarlas.

Fuentes

• Hong Wang, Joshua Zahl (2025). Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions. arXiv:2502.17655.
• Hong Wang, Joshua Zahl (2026). Sticky Kakeya sets and the sticky Kakeya conjecture. Journal of the American Mathematical Society 39; arXiv:2210.09581.
• Larry Guth, Hong Wang, Joshua Zahl (2026). A streamlined proof of the Kakeya set conjecture in R^3. arXiv:2601.14411 (versión final, a publicar en Mathematika).
• Terence Tao (2026). Rotating needles in space: the road to the Kakeya conjecture, and why it matters. arXiv:2608.22209.
• Jonathan Hickman (2025). The Kakeya Conjecture: where does it come from and why is it important?. arXiv:2512.09842.
• Joseph Howlett (2025). Once-in-a-Century Proof Settles Math’s Kakeya Conjecture. Quanta Magazine.
• Courant Institute, NYU (2025). Hong Wang Solves Kakeya Set Conjecture.
• Terence Tao (2025). The three-dimensional Kakeya conjecture, after Wang and Zahl. What’s new (blog).
• Hong Wang, Joshua Zahl (2025). The Assouad dimension of Kakeya sets in R^3. Inventiones Mathematicae 241.
• Institut des Hautes Études Scientifiques (2026). Hong Wang, Fields Medal 2026.
• Unión Matemática Internacional (2026). Hong Wang, Fields Medal 2026: citations.