Por qué parecía imposible corregir errores cuánticos

En el curso de códigos correctores protegíamos bits: un mensaje se repite o se codifica, viaja por un canal ruidoso y se corrige con un síndrome $Hr^T$. Este curso hace lo mismo con cúbits, y empieza donde hay que empezar: ¿qué es un cúbit y por qué, durante años, proteger uno pareció imposible? Esta es la primera lección, así que el relato arranca aquí: tres obstáculos que parecen cerrar el paso. La pregunta de hoy es cuáles son, y la respuesta del curso entero es el código de Shor.

La idea

Un bit vale 0 o 1. Un cúbit (de quantum bit) también da 0 o 1 cuando lo miras, pero antes de mirar puede estar en una combinación de los dos, con unos «pesos» complejos llamados amplitudes. Al mirarlo, los cuadrados de los módulos de esos pesos dan las probabilidades, y el cúbit se queda en el valor que ha salido.

Sin física: un estado es un vector, un error es una matriz que actúa sobre él y medir es una regla de probabilidades. Con eso basta para ver por qué el truco clásico (repetir y votar) se estrella, y qué tuvo que inventar Shor para esquivarlo. En la lección 11 veremos sistemas de $p$ niveles.

Estados: vectores unitarios

Los dos estados de un bit se convierten en la base computacional, dos vectores columna de $\mathbb{C}^2$:

$$\ket{0}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \ket{1}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$

La notación $\ket{\cdot}$ (un «ket») solo dice «esto es un vector columna». Un estado de un cúbit es

$$\ket{\psi}=\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}=\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix},\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{C},\quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1.$$

Repaso Números complejos y vector unitario

Un número complejo es $z=x+iy$ con $x,y$ reales e $i^2=-1$. Su conjugado es $\bar z=x-iy$ y su módulo cumple $|z|^2=z\bar z=x^2+y^2$; por ejemplo, $|3+4i|^2=25$. La exponencial $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ tiene módulo 1 para todo $\theta$ real.

Un vector $(\alpha,\beta)$ es unitario si su longitud es 1, es decir, si $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. A esa condición la llamamos normalización.

El producto interno de $\ket{\psi}=\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}$ y $\ket{\phi}=\gamma\ket{0}+\delta\ket{1}$ es $\braket{\psi|\phi}=\bar\alpha\gamma+\bar\beta\delta$: ojo, el primero va conjugado. Si vale 0, los estados son ortogonales. El número $|\braket{\psi|\phi}|^2$ es el solape de dos estados: vale 1 si y solo si son el mismo estado salvo una fase global (lo vemos enseguida), y 0 si son ortogonales.

Decimos que el cúbit está en superposición cuando $\alpha$ y $\beta$ son los dos distintos de cero. Dos estados aparecen todo el rato:

$$\ket{+}=\frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt2},\qquad \ket{-}=\frac{\ket{0}-\ket{1}}{\sqrt2}.$$

Medir

Medir en la base computacional sigue esta regla:

• Sale $0$ con probabilidad $|\alpha|^2$ y $1$ con probabilidad $|\beta|^2$ (suman 1 por la normalización).
• Después de medir, el cúbit se queda en el estado del resultado: $\ket{0}$ si salió 0 y $\ket{1}$ si salió 1. Lo que había antes se pierde.

La segunda frase es la clave de todo el curso: medir cambia el estado.

Fase global y fase relativa

Multiplica el estado por un número de módulo 1: $e^{i\theta}\ket{\psi}$. Las probabilidades no cambian, porque $|e^{i\theta}\alpha|^2=|\alpha|^2$, y nada que se pueda medir distingue los dos estados. Esa fase global es irrelevante: $\ket{\psi}$ y $e^{i\theta}\ket{\psi}$ son «el mismo» estado.

Otra cosa muy distinta es la fase relativa, el signo o el ángulo entre las dos amplitudes. Los estados $\ket{+}$ y $\ket{-}$ dan las mismas probabilidades al medir en la base computacional ($1/2$ y $1/2$), pero no son el mismo estado: son ortogonales, lo más distintos que pueden ser dos estados.

Errores: dos matrices, $X$ y $Z$

Un error es una matriz $M$ que actúa sobre el estado, $\ket{\psi}\mapsto M\ket{\psi}$. Lo normal es que conserve la longitud de los vectores, para que $M\ket{\psi}$ siga siendo un estado: se dice que $M$ es unitaria. Las dos más sencillas son

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

• $X\ket{\psi}=\beta\ket{0}+\alpha\ket{1}$: el cambio de bit (bit flip). Es el error típico de un bit clásico.
• $Z\ket{\psi}=\alpha\ket{0}-\beta\ket{1}$: el cambio de fase (phase flip). No cambia las probabilidades de medir, pero convierte $\ket{+}$ en $\ket{-}$. No tiene análogo clásico.

Los tres obstáculos

En el código de repetición clásico (lección 1 del curso de códigos) repites cada bit tres veces, miras las tres copias y decides por mayoría. Con cúbits fallan los tres pasos.

(a) No se puede copiar. Una máquina que copie $\ket{\psi}$ para todo $\ket{\psi}$ tendría que mandar $\ket{\psi}\otimes\ket{0}$ a $\ket{\psi}\otimes\ket{\psi}$. Aquí $\ket{ab}$ significa «primer cúbit en $\ket{a}$, segundo en $\ket{b}$»; el producto $\otimes$ se explica en la lección 2. Toda operación es lineal (una matriz). Si copia $\ket{0}$ y $\ket{1}$ (manda $\ket{00}$ a $\ket{00}$ y $\ket{10}$ a $\ket{11}$), sobre $(\alpha\ket{0}+\beta\ket{1})\otimes\ket{0}=\alpha\ket{00}+\beta\ket{10}$ da por linealidad

$$\alpha\ket{00}+\beta\ket{11},$$

mientras que una copia de verdad sería

$$(\alpha\ket{0}+\beta\ket{1})\otimes(\alpha\ket{0}+\beta\ket{1})=\alpha^2\ket{00}+\alpha\beta\ket{01}+\alpha\beta\ket{10}+\beta^2\ket{11}.$$

Solo coinciden (salvo una fase global) si $\alpha\beta=0$, o sea, para $\ket{0}$ y $\ket{1}$. Es el teorema de no clonación de Wootters y Zurek.

(b) Los errores son continuos. Un bit solo puede cambiar o no. Un cúbit puede sufrir una pequeña rotación de fase

$$R_\theta=\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\theta}\end{pmatrix}$$

con cualquier ángulo $\theta$: hay infinitos errores posibles y no se pueden listar uno a uno. Peor, los errores pequeños se acumulan: diez rotaciones de ángulo $\theta$ equivalen a una de ángulo $10\theta$.

(c) Medir destruye la superposición. Para ver si hubo error, lo natural es mirar el cúbit. Pero medir $\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}$ lo deja en $\ket{0}$ o en $\ket{1}$ y se pierden $\alpha$ y $\beta$, que son justo lo que queremos proteger.

Lo que se pensaba a mediados de los 90

Conviene no exagerar. Nadie había demostrado que fuera imposible; lo que ocurría es que no se sabía cómo, y los tres caminos obvios parecían cerrados. Años después, J. Preskill lo contó así («Reliable quantum computers», Proc. R. Soc. Lond. A 454, 385, 1998, arXiv quant-ph/9705031): «As recently as mid 1995, we did not have a clear idea how quantum error correction would work, or whether it would work. Indeed, there were a number of reasons for pessimism about whether quantum error correction could really be possible» («Hasta mediados de 1995 no teníamos una idea clara de cómo funcionaría la corrección cuántica de errores, ni de si funcionaría. De hecho, había varios motivos de pesimismo sobre si podía llegar a ser posible»). Entre esos motivos cita los trabajos de Unruh y de Landauer.

En 1994 W. G. Unruh calculó con un modelo sencillo cuánto estropea el entorno a una memoria cuántica (arXiv hep-th/9406058, publicado en Phys. Rev. A 51, 992, febrero de 1995). No concluía que fuera imposible, sino que era muy exigente: el acoplamiento con el entorno tenía que ser minúsculo y el cálculo, corto. Se preguntaba si se podría compensar repitiendo el cálculo muchas veces, y su respuesta era que esa estrategia no sirve. En sus palabras: «We see that one must make sure that coherence is maintained during the calculation» («hay que asegurarse de que la coherencia se mantenga durante el cálculo»). Cita a R. Landauer como quien llevaba tiempo insistiendo en el efecto de las imperfecciones. El propio Landauer publicó en diciembre de 1995 «Is quantum mechanics useful?» (Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 353, 367, DOI). Su resumen se presenta como «a warning signal» («una señal de alarma») y avisa de que «small errors will accumulate and cause the computation to go off track» («los errores pequeños se acumularán y desviarán el cómputo»).

El escepticismo no se evaporó de golpe. En agosto de 1996, ya publicados los primeros códigos, S. Haroche y J.-M. Raimond abrían así su artículo «Quantum computing: dream or nightmare?» (Physics Today 49(8), DOI): «Recent experiments have deepened our insight into the wonderfully counterintuitive quantum theory. But are they really harbingers of quantum computing? We doubt it» («Los experimentos recientes han profundizado nuestra comprensión de la teoría cuántica, maravillosamente contraria a la intuición. Pero ¿anuncian de verdad la computación cuántica? Lo dudamos»). Es la entradilla de la revista, y no le atribuimos ninguna opinión sobre los códigos correctores.

Entre tanto, la respuesta técnica había llegado:

• 1982: Wootters y Zurek (Nature 299, 802, octubre de 1982) y, de forma independiente y casi a la vez, D. Dieks (Phys. Lett. A 92, 271, noviembre de 1982) establecen la no clonación.
• 1995: P. W. Shor, «Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory» (Phys. Rev. A 52, R2493, octubre de 1995). Su resumen dice que el efecto de la decoherencia se puede reducir en la memoria cuántica con un análogo cuántico de los códigos correctores. Es el código de 9 cúbits de las lecciones 4 y 5.
• 1996: A. R. Calderbank y P. W. Shor, «Good quantum error-correcting codes exist» (Phys. Rev. A 54, 1098, agosto de 1996), y A. M. Steane, «Error correcting codes in quantum theory» (Phys. Rev. Lett. 77, 793, julio de 1996). De ahí sale la construcción CSS (por Calderbank, Shor y Steane), la de las lecciones 9 y 10.

El curso cuenta cómo Shor respondió a los tres obstáculos. Un adelanto de una línea para cada uno: (a) la redundancia se logra con correlaciones entre cúbits (el entrelazamiento, lección 2), no con copias; (b) basta corregir tres tipos de error, porque todo error de un cúbit es combinación de ellos y de la identidad; al medir unas comprobaciones (el síndrome, lección 3), el error se queda en uno solo; (c) se mide una paridad entre cúbits y nunca los datos.

Ejemplo resuelto

Sea $\ket{\psi}=\frac35\ket{0}+\frac{4i}{5}\ket{1}$.

Normalización. $|3/5|^2+|4i/5|^2=9/25+16/25=1$. Es un estado válido.

Medir. Sale 0 con probabilidad $9/25=0{,}36$ y 1 con probabilidad $16/25=0{,}64$. Si sale 1, el cúbit queda en $\ket{1}$ y la información sobre $\alpha=3/5$ y $\beta=4i/5$ se ha perdido (obstáculo c).

Un cambio de bit. $X\ket{\psi}=\frac{4i}{5}\ket{0}+\frac35\ket{1}$: las probabilidades pasan a ser $16/25$ y $9/25$, intercambiadas.

Un cambio de fase. $Z\ket{\psi}=\frac35\ket{0}-\frac{4i}{5}\ket{1}$. Las probabilidades de medir siguen siendo $9/25$ y $16/25$: el error es invisible en la base computacional. Pero no es el mismo estado, ni siquiera salvo fase global. Con $\ket{\phi}=Z\ket{\psi}$, el producto interno vale $\braket{\psi|\phi}=\frac35\cdot\frac35+\overline{\big(\tfrac{4i}{5}\big)}\cdot\big(-\tfrac{4i}{5}\big)=\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$ (sin conjugar saldría 1: de ahí el «ojo» del repaso). El solape es $\frac{49}{625}$, lejos de 1.

No clonar. Una copia daría $\ket{\psi}\otimes\ket{\psi}$, con amplitud $\alpha\beta=\frac{12i}{25}\neq0$ en $\ket{01}$. La máquina lineal da $\alpha\ket{00}+\beta\ket{11}$, con amplitud $0$ en $\ket{01}$. No coinciden (obstáculo a).

Un error continuo. Aplica $R_\theta$ con $\theta=0{,}2$ a $\ket{+}$: sale $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0}+e^{0{,}2i}\ket{1})$. Su solape con el estado original es $\big|\frac{1+e^{i\theta}}{2}\big|^2=\cos^2(\theta/2)=\cos^2(0{,}1)\approx0{,}9900$: casi perfecto, pero ya no es el mismo. Diez errores iguales dan $\theta=2$ y un solape de $\cos^2(1)\approx0{,}2919$. Un error minúsculo, repetido, lo arruina (obstáculo b).

Ejercicios

Ejercicio 1

Sea $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt3}\big(\ket{0}+(1+i)\ket{1}\big)$. Comprueba que está normalizado, da las probabilidades de medir 0 y 1 y di en qué estado queda el cúbit si sale 1.

Ver la solución

$|1|^2+|1+i|^2=1+2=3$, y el factor $1/\sqrt3$ al cuadrado es $1/3$, así que la suma total es 1. La probabilidad de 0 es $1/3$ y la de 1 es $2/3$. Si sale 1, el cúbit queda en $\ket{1}$: la fase de la amplitud $(1+i)/\sqrt3$ ya no importa.

Ejercicio 2

Un cúbit está en $\ket{+}$ y sufre un error $Z$. Calcula las probabilidades de medir 0 y 1 antes y después del error. ¿Es el mismo estado? ¿Y si el error hubiera sido $X$?

Ver la solución

$Z\ket{+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0}-\ket{1})=\ket{-}$. En ambos casos las probabilidades son $1/2$ y $1/2$, así que medir en la base computacional no detecta nada. Pero $\ket{+}$ y $\ket{-}$ son estados distintos (ortogonales). Con $X$ ocurre lo contrario: $X\ket{+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{1}+\ket{0})=\ket{+}$, el error no cambia el estado.

Ejercicio 3

Para $\ket{\psi}=\ket{+}$, escribe la copia verdadera $\ket{\psi}\otimes\ket{\psi}$ y el estado que da la máquina lineal que copia $\ket{0}$ y $\ket{1}$. ¿Qué amplitud tiene cada uno en $\ket{01}$ y qué probabilidad de medir $01$ resulta?

Ver la solución

La copia verdadera es $\frac12(\ket{00}+\ket{01}+\ket{10}+\ket{11})$. La máquina lineal da $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{00}+\ket{11})$. La amplitud en $\ket{01}$ es $1/2$ en la copia y $0$ en la máquina; medir ambos cúbits daría $01$ con probabilidad $1/4$ en la copia y $0$ en la máquina. Se distinguen, así que la máquina no copia.

En resumen

• Un cúbit es un vector unitario $\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}$ de $\mathbb{C}^2$; medir da 0 o 1 con probabilidades $|\alpha|^2$ y $|\beta|^2$ y deja el cúbit en el resultado.
• La fase global no se puede observar; la fase relativa ($\ket{+}$ frente a $\ket{-}$) sí cuenta.
• Dos errores básicos: $X$ (cambio de bit) y $Z$ (cambio de fase, sin análogo clásico).
• Tres obstáculos: (a) no clonación, por linealidad; (b) los errores son continuos y se acumulan; (c) medir destruye la superposición.
• A mediados de los 90 nadie sabía esquivarlos. Shor (1995) lo logró, y el curso cuenta cómo.

Siguiente lección: Varios cúbits y medir sin mirar