Varios cúbits y medir sin mirar

En la lección anterior vimos un cúbit y los tres obstáculos que parecían cerrar el paso a la corrección de errores cuánticos. El tercero era este: medir destruye la superposición, así que parece que no se puede «mirar» si hubo un error sin estropear el dato. Hoy empezamos a desmontarlo. Un código necesita varios cúbits, igual que el código de repetición clásico necesitaba tres bits. Aprenderemos a escribir sus estados, a reconocer el entrelazamiento y, sobre todo, a medir una propiedad del conjunto sin mirar cada cúbit. Esa es la herramienta con la que, en la lección 3, se leerá un síndrome cuántico.

La idea

Con $n$ bits hay $2^n$ palabras y el estado del sistema es una de ellas. Con $n$ cúbits, el estado es una superposición de las $2^n$ palabras: un vector de $\mathbb{C}^{2^n}$, con una amplitud por palabra. Para 3 cúbits son 8 amplitudes; para 20, más de un millón. Las matrices crecen deprisa, pero se construyen con una sola regla a partir de las pequeñas.

Y hay una segunda idea: una forma de medir distinta. En lugar de preguntar «¿cuánto vale este cúbit?», se pregunta «¿coinciden estos dos?». La respuesta es un único dato, $+1$ o $-1$, y no dice nada de lo que vale cada uno.

Varios cúbits y el producto de Kronecker

Repaso Producto de Kronecker

El producto de Kronecker $A\otimes B$ de dos matrices sustituye cada entrada $a_{ij}$ de $A$ por el bloque $a_{ij}B$. Por ejemplo,

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&0&2&0\\0&3&0&4\\3&0&4&0\end{pmatrix}.$$

Con vectores es lo mismo: $(a,b)\otimes(c,d)=(ac,\,ad,\,bc,\,bd)$. Regla que usaremos mucho: $(A\otimes B)(u\otimes v)=(Au)\otimes(Bv)$.

Para dos cúbits, la base computacional es $\ket{00},\ket{01},\ket{10},\ket{11}$, en ese orden, con $\ket{x_1x_2}=\ket{x_1}\otimes\ket{x_2}$. Por ejemplo,

$$\ket{01}=\ket{0}\otimes\ket{1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}.$$

Un estado general es $\alpha_{00}\ket{00}+\alpha_{01}\ket{01}+\alpha_{10}\ket{10}+\alpha_{11}\ket{11}$, con la suma de los $|\alpha_{xy}|^2$ igual a 1. El producto de dos estados de un cúbit se calcula con la regla de arriba:

$$\ket{+}\otimes\ket{+}=\tfrac12\big(\ket{00}+\ket{01}+\ket{10}+\ket{11}\big).$$

Para $n$ cúbits, $\ket{x_1x_2\cdots x_n}=\ket{x_1}\otimes\cdots\otimes\ket{x_n}$. Con tres cúbits, $\ket{101}$ es un vector de 8 entradas con un 1 en la sexta posición y ceros en las demás, y $\ket{+}\otimes\ket{0}\otimes\ket{1}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{001}+\ket{101})$.

Operadores sobre un cúbit. Para aplicar $X$ solo al cúbit 1 de dos se hace $X\otimes I$, donde $I$ es la identidad $2\times2$. Para aplicar $Z$ solo al cúbit 2, $I\otimes Z$. Los escribiremos $X_1$ y $Z_2$, y así en el resto: en un cúbit que no se nombra, el operador es la identidad. Con la regla de arriba, $X_1\ket{00}=(X\ket{0})\otimes\ket{0}=\ket{10}$. En tres cúbits, $X_1=X\otimes I\otimes I$.

Un operador que actúa en dos cúbits a la vez, como $Z_1Z_2=Z\otimes Z$, tiene esta matriz:

$$Z\otimes Z=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$

Es diagonal. Multiplica cada $\ket{x_1x_2}$ por $(-1)^{x_1+x_2}$: por $+1$ si los dos cúbits coinciden y por $-1$ si difieren. Es, en forma de matriz, la pregunta «¿coinciden?».

Entrelazamiento

El estado de Bell es

$$\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}.$$

No necesitamos saber cómo se prepara; nos basta con tenerlo como vector. ¿Se puede escribir como $(a\ket{0}+b\ket{1})\otimes(c\ket{0}+d\ket{1})$? Eso daría $(ac,\,ad,\,bc,\,bd)=(\tfrac1{\sqrt2},0,0,\tfrac1{\sqrt2})$. Pero $ac\neq0$ obliga a $a\neq0$ y $c\neq0$, y $bd\neq0$ obliga a $b\neq0$ y $d\neq0$. Entonces $ad\neq0$, en contradicción con $ad=0$. No se puede.

Un estado de varios cúbits que no es producto de un estado por cúbit se llama entrelazado. Los dos cúbits del estado de Bell no tienen cada uno su propio estado: solo existe el estado del par. Esto importa porque, como veremos, los estados de un código cuántico están entrelazados. El estado $\alpha\ket{000}+\beta\ket{111}$ de la lección 3, con $\alpha$ y $\beta$ no nulos, es un ejemplo.

Medir un solo cúbit de varios

Medir el cúbit 1 en la base computacional da $0$ con probabilidad igual a la suma de los $|\alpha_{0y}|^2$, es decir, de los términos cuyo primer cúbit es 0. Después se borran los términos incompatibles con el resultado y se vuelve a normalizar.

En el estado de Bell sale 0 con probabilidad $\frac12$ y el estado queda en $\ket{00}$; sale 1 con probabilidad $\frac12$ y queda en $\ket{11}$. Al medir un cúbit, el otro queda decidido: es el entrelazamiento en acción. Pero fíjate en el precio. La superposición se ha destruido, y de lo que había antes no queda rastro. Esta es la forma de medir de la que hablaba el obstáculo (c).

Medir sin mirar

Hay otra forma de medir, que pregunta por una propiedad conjunta y deja intacto lo demás.

Repaso Valores y vectores propios

Un vector $v\neq0$ es vector propio de una matriz $A$ si $Av=\lambda v$ para algún número $\lambda$, el valor propio. Por ejemplo, $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ cumple $A(1,1)^T=3\,(1,1)^T$ y $A(1,-1)^T=1\cdot(1,-1)^T$: valores propios $3$ y $1$. Los vectores propios de un mismo valor propio, junto con el 0, forman un subespacio: el autoespacio.

Sea $P$ una matriz con $P^\dagger=P$ y $P^2=I$, como $Z_1Z_2$. Aquí $P^\dagger$ es la adjunta de $P$: se traspone y se conjuga cada entrada. Si $P^\dagger=P$, la matriz se llama hermítica; las diagonales con entradas reales, como $Z_1Z_2$, lo son. Una matriz así, que se puede medir, se llama observable. Sus únicos valores propios posibles son $+1$ y $-1$, y todo vector se parte de forma única en una componente del autoespacio $+1$ y otra del autoespacio $-1$. Los proyectores sobre esos autoespacios son

$$\Pi_{+}=\frac{I+P}{2},\qquad \Pi_{-}=\frac{I-P}{2}.$$

Cumplen $\Pi_++\Pi_-=I$ y $\Pi_\pm^2=\Pi_\pm$. Si $Pv=\pm v$, entonces $\Pi_\pm v=v$ y $\Pi_\mp v=0$.

Medir $P$ sobre $\ket{\psi}$ es la medida proyectiva de $P$ sobre sus autoespacios:

• Sale $+1$ con probabilidad $\|\Pi_+\ket{\psi}\|^2$, y el estado pasa a ser $\Pi_+\ket{\psi}$ normalizado. Igual con $-1$ y $\Pi_-$.
• Si $\ket{\psi}$ ya estaba en un autoespacio, por ejemplo $\Pi_+\ket{\psi}=\ket{\psi}$, sale $+1$ con certeza y el estado no se toca.

No diremos cómo se hace esto en un laboratorio. Para nosotros es una regla matemática, la misma de medir un cúbit pero con otros proyectores. Para $P=Z_1Z_2$ los proyectores son diagonales:

$$\Pi_+=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},\qquad \Pi_-=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

El primero proyecta sobre $\ket{00},\ket{11}$ («coinciden») y el segundo sobre $\ket{01},\ket{10}$ («difieren»). Medir $Z_1Z_2$ solo pregunta en cuál de los dos grupos está el estado. No pregunta qué hay dentro del grupo, y por eso no destruye lo que hay dentro. Es lo que significa medir sin mirar.

Ejemplo resuelto

Un estado con paridad $+1$. Sea $\ket{\psi}=\alpha\ket{00}+\beta\ket{11}$, con $\alpha=\frac35$ y $\beta=\frac{4i}{5}$ (la suma de los cuadrados de los módulos es $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$). Los dos términos están en el autoespacio $+1$, así que $\Pi_+\ket{\psi}=\ket{\psi}$ y $\Pi_-\ket{\psi}=0$. Sale $+1$ con probabilidad 1 y el estado queda igual. Sirve cualquier otro par $\alpha,\beta$ con $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$: el resultado es siempre $+1$. La medida no aprende nada de $\alpha$ ni de $\beta$.

Un estado con paridad $-1$. Con $\ket{\varphi}=\alpha\ket{10}+\beta\ket{01}$ ocurre lo contrario: los dos términos difieren, $\Pi_-\ket{\varphi}=\ket{\varphi}$, sale $-1$ con certeza y el estado no cambia.

Un cambio de bit en el cúbit 1. Aplicamos $X_1$ al primer estado:

$$X_1\ket{\psi}=\alpha\ket{10}+\beta\ket{01}.$$

Ahora la medida da $-1$ con certeza, y el estado sigue siendo $\alpha\ket{10}+\beta\ket{01}$, con las mismas amplitudes. El resultado $-1$ avisa de que algo cambió y no dice nada de $\alpha$ ni de $\beta$. Esto es justo lo que pedía el obstáculo (c): detectar sin leer el dato. En la lección 3 lo convertiremos en un código.

Un estado sin paridad definida. Sea $\ket{+}\otimes\ket{+}=\frac12(1,1,1,1)^T$. Aplicamos los proyectores:

$$\Pi_+\ket{+}\ket{+}=\tfrac12(1,0,0,1)^T,\qquad \Pi_-\ket{+}\ket{+}=\tfrac12(0,1,1,0)^T.$$

Cada uno tiene norma al cuadrado $\frac14+\frac14=\frac12$. Salen $+1$ y $-1$ con probabilidad $\frac12$ cada uno. Tras medir, el estado queda en

$$\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}\quad(\text{si sale }+1),\qquad \frac{\ket{01}+\ket{10}}{\sqrt2}\quad(\text{si sale }-1).$$

Los dos estados están entrelazados: medir una propiedad conjunta puede crear entrelazamiento. Y si repites la medida de $Z_1Z_2$ sobre el estado resultante, sale el mismo resultado con certeza. La primera medida ya fijó la paridad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula $\ket{1}\otimes\ket{+}$ como vector de $\mathbb{C}^4$ y $X_2\ket{00}$.

Ver la solución

$\ket{1}\otimes\ket{+}=(0,1)\otimes\frac{1}{\sqrt2}(1,1)=\frac{1}{\sqrt2}(0,0,1,1)^T$, que es $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{10}+\ket{11})$. Y $X_2\ket{00}=\ket{0}\otimes X\ket{0}=\ket{01}$.

Ejercicio 2

Decide si $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{01}+\ket{10})$ es entrelazado, y qué sale al medir $Z_1Z_2$.

Ver la solución

Si fuera producto, $(ac,ad,bc,bd)=(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2},0)$. Pero $ad\neq0$ y $bc\neq0$ obligan a $a,b,c,d$ todos distintos de cero, y entonces $ac\neq0$: contradicción con $ac=0$. Está entrelazado.

Sus dos términos, $\ket{01}$ y $\ket{10}$, difieren: están en el autoespacio $-1$. Sale $-1$ con certeza y el estado no cambia.

Ejercicio 3

Se mide $Z_1Z_2$ sobre $\ket{\psi}=\frac13\big(2\ket{00}+\ket{01}+2\ket{11}\big)$. Da las probabilidades de $+1$ y $-1$ y el estado final en cada caso.

Ver la solución

Primero, $\frac19(4+1+4)=1$. Los términos $\ket{00},\ket{11}$ van al autoespacio $+1$: $\Pi_+\ket{\psi}=\frac13(2\ket{00}+2\ket{11})$, con norma al cuadrado $\frac{4+4}{9}=\frac89$. El término $\ket{01}$ va al $-1$: $\Pi_-\ket{\psi}=\frac13\ket{01}$, con norma al cuadrado $\frac19$. Las probabilidades suman 1. Entonces $+1$ sale con probabilidad $\frac89$ y deja $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{00}+\ket{11})$; $-1$ sale con probabilidad $\frac19$ y deja $\ket{01}$.

En resumen

• El estado de $n$ cúbits es un vector de $\mathbb{C}^{2^n}$, construido con el producto de Kronecker. Un operador sobre un solo cúbit es $A\otimes I\otimes\cdots$, por ejemplo $X_1=X\otimes I$.
• Un estado entrelazado, como $(\ket{00}+\ket{11})/\sqrt2$, no es producto de estados de cada cúbit. Medir un cúbit de varios puede destruir la superposición (en el estado de Bell, la destruye entera).
• Medir un observable $P$ con $P^\dagger=P$ y $P^2=I$ es una medida proyectiva sobre sus autoespacios $\pm1$, con proyectores $(I\pm P)/2$: el resultado dice en qué autoespacio está el estado y, si ya estaba en uno, no lo toca.
• Medir $Z_1Z_2$ sobre $\alpha\ket{00}+\beta\ket{11}$ da $+1$ sin aprender $\alpha$ ni $\beta$. Esta es la respuesta al obstáculo (c) y la base del síndrome.

Siguiente lección: El código de repetición de 3 cúbits