La IA y los problemas de Erdős: qué se resolvió y qué no

En octubre de 2025, un directivo de OpenAI publicó que GPT-5 había encontrado soluciones a diez problemas de Erdős sin resolver. Lo borró cuando el matemático que mantiene la lista lo llamó «a dramatic misrepresentation». La historia real es más interesante: soluciones escondidas durante décadas en revistas, un anuncio retirado, un contraejemplo histórico y un sitio web que acaba de quitarse de en medio para no alimentar una carrera por apuntarse tantos.

Una lista de preguntas, no un museo

Thomas Bloom reunió en erdosproblems.com unos cientos de preguntas sueltas de Paul Erdős; hoy la base de datos contiene 1221. La FAQ reconoce que el código se montó con ayuda de ChatGPT y avisa: «Do not assume that an ‘unsolved’ problem is in fact unsolved».

La propia FAQ admite que los estados no están al día, así que, como mucho, que un problema figure como abierto significa que quien mantiene el sitio no conocía una solución publicada. Es una afirmación sobre la búsqueda, no sobre la dificultad: muchos son rincones oscuros, no grandes conjeturas.

Octubre de 2025: el tuit que se borró

Mehtaab Sawhney y Mark Sellke usaron GPT-5 para rastrear si los problemas marcados como abiertos tenían ya solución publicada. El informe colectivo de OpenAI y colaboradores de noviembre (arXiv:2511.16072, con Weil entre los coautores), en la sección de Sawhney y Sellke, cuenta que el modelo localizó soluciones ya publicadas para diez problemas (223, 339, 494, 515, 621, 822, 883, 903, 1043 y 1079), encontró en la literatura progreso parcial sobre otros diez, ayudó a corregir una errata y aportó una idea para el #848, genuinamente abierto, que ellos resolvieron.

El #339 lo desató todo: se plantea en un artículo de Erdős y Graham de unas cien páginas y unas 700 citas, y aun así GPT-5 Pro encontró a la primera, con solo una captura de pantalla, el trabajo que lo resolvía. En el #1043, la respuesta era un comentario breve entre dos teoremas de un trabajo de Pommerenke de 1961, apoyada en un artículo en alemán de 1959.

Entonces Kevin Weil, de OpenAI, escribió que GPT-5 había «found solutions to 10 (!) previously unsolved Erdős problems». Según Futurism y eWeek, Bloom respondió que GPT-5 había encontrado trabajos ya publicados que él no conocía: «abierto» solo significaba que él no conocía una solución. Demis Hassabis lo calificó de «embarrassing» y Weil borró el mensaje.

Un año de aciertos a medias

En el #124, la herramienta Aristotle, de Harmonic, dio con Boris Alexeev una prueba sencilla, formalizada en Lean, de la primera pregunta. Pero, según la página, las formulaciones de Erdős en dos de sus artículos no mencionan una condición de mcd necesaria; Alexeev lo atribuye a un posible descuido, y no está claro qué versión tenía Erdős en mente.

El #1026 es el mejor retrato de cómo se trabaja de verdad. Según el blog de Tao, Aristotle probó en Lean una conjetura, AlphaEvolve dio cotas numéricas y apareció un artículo de 2016 de Tidor, Wang y Yang con el mismo resultado, que las herramientas de búsqueda profunda no habían hallado. Tao estima que todo se ensambló en 48 horas, frente a semanas o meses por el camino tradicional: ayuda enorme, no «la IA lo resolvió sola».

En Navidad, Kevin Barreto publicó que GPT-5.2 Pro había resuelto el #333 (lo había probado su colaborador Liam) y lo presentó, hasta donde sabían, como el primer caso de un modelo de lenguaje resolviendo de forma totalmente autónoma un problema de Erdős. Unas dos horas después, el usuario KoishiChan señaló que el Teorema 2 de Erdős y Newman (1977) ya implicaba la respuesta negativa, algo que Erdős y Graham pasaron por alto en 1980. Barreto lo retiró y lo llamó «one of the most embarrassing moments of my academic career so far».

En enero de 2026, el #728. Según la página, Barreto y GPT-5.2 probaron una variante que responde a la pregunta en el espíritu con que se planteó: el enunciado literal admitía soluciones triviales como $a = b = n$, y lo resuelto fue el caso $b = n/2$. Según el artículo de arXiv, de un único autor (Nat Sothanaphan), la prueba se formalizó con Aristotle y la estrategia se parece a resultados de Erdős y Pomerance sobre divisores de $\binom{2n}{n}$; el autor lo presenta como el primer problema de Erdős «regarded as fully resolved autonomously by an AI system».

Un estudio con Gemini, de Tony Feng y colaboradores, sobre unas 700 conjeturas abiertas halló, de 13 problemas abordados, cinco soluciones aparentemente nuevas y ocho ya presentes en la literatura. Concluyen que «abierto» reflejaba oscuridad más que dificultad.

Mayo de 2026: un contraejemplo de los de verdad

Erdős preguntó en 1946 cuántas veces puede repetirse una distancia entre $n$ puntos del plano. Una cadena de pasos de longitud 1 da $n-1$ pares a distancia 1, así que el crecimiento lineal es fácil, y una retícula ya da algo más, $n^{1+c/\log\log n}$, un exceso que crece muy despacio. La conjetura decía que eso es casi lo mejor posible y, en particular, que no se supera $n^{1+\varepsilon}$ por pequeño que sea $\varepsilon$. La mejor cota superior es $n^{4/3}$, de Spencer, Szemerédi y Trotter.

En mayo de 2026, según Quanta y el artículo de arXiv de los nueve matemáticos, un modelo interno de OpenAI construyó, para infinitos $n$, conjuntos de $n$ puntos con al menos $n^{1+c}$ pares a distancia 1, con $c>0$ absoluta. Nueve matemáticos, entre ellos Alon, Bloom y Gowers, ofrecen una versión condensada verificada por humanos. Según Quanta, Gowers dijo que ninguna prueba anterior generada por IA se había acercado a esto.

Fíjate en lo que no dice: tira la conjetura, pero no toca la cota $4/3$ ni fija el exponente verdadero, y la mejora es minúscula.

Cómo se amplifica una ventaja minúscula

Bloom explica, con el problema hermano de suma-producto sobre los reales (el #52, refutado también en 2026), que se parte de un ejemplo «trivial» que gana por un factor constante y se amplifica con potencias en dimensión $d$ mediante teoría algebraica de números. Toma $A = \lbrace 0, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 14 \rbrace$, su ejemplo de calentamiento: tiene $|A+A| = 26$ sumas distintas y $|A-A| = 25$ diferencias. Suele haber más diferencias que sumas, porque $a-b$ y $b-a$ son distintas; aquí ocurre lo contrario.

Forma $A^d \subset \mathbb{Z}^d$. Se suma coordenada a coordenada, así que el conjunto de sumas es el producto de $d$ copias del de sumas:

$$|A^d + A^d| = 26^d, \qquad |A^d - A^d| = 25^d.$$

El cociente $(26/25)^d$ crece sin límite: 1,48 para $d=10$, 7,1 para $d=50$, más de 50 para $d=100$. Una ventaja del 4 % se vuelve enorme. No afirmo que este sea exactamente el mecanismo del contraejemplo de distancias unitarias; Bloom cuenta que sigue ese espíritu y que Sawin dio después una versión explícita y mejorada.

Verificado en Lean no significa cerrado

Si Lean acepta una prueba, es correcta; la pregunta es si el enunciado formalizado es el que Erdős tenía en mente, y el #124 y el #728 muestran que no siempre. El 6 de octubre, OpenAI publicó 372 afirmaciones de demostraciones, y el 8 Bloom listó 25 problemas de Erdős afectados (21 formalizados en Lean): una cota superior $n^{4/3-c}$ para distancias unitarias (el PDF no indica el valor de $c$; sería la primera mejora de la cota de Spencer, Szemerédi y Trotter) y una cota cuasipolinómica para Szemerédi, cuyo Lean solo prueba una cota más débil. Y fue prudente: no ha revisado las pruebas, no son un aval, hay acusaciones de plagio y los textos están «very poorly written, in the usual AI fashion». Igual de cautos hay que ser con Astra, el modelo que según SiliconANGLE resolvió en agosto diez problemas abiertos, tres de ellos de Erdős: ninguno pasó por revisión por pares.

Un sitio que deja de contar puntos

Ese mismo 6 de octubre, Bloom suspendió los comentarios nuevos y las declaraciones de pruebas, dejó de mostrar el estado de cada problema y el porcentaje de resueltos, y no usará lenguaje de autoría para futuras soluciones, humanas o de IA. La mayoría de los comentarios eran anuncios de pruebas generadas por IA, «a way to record a (increasingly meaningless) priority claim». Añade que mucha gente ha dejado de pensar en los problemas creyendo que no puede competir con la IA, y que parte del avance reciente viene de más esfuerzo humano. En Quanta, Noga Alon dice que dejó de trabajar en ellos.

Los problemas de Erdős nunca fueron una liga con marcador: eran un cuaderno de preguntas, algunas profundas y otras olvidadas, y la IA ha abierto cajones. En unos había respuestas que ya estaban allí; en otros, rara vez, algo nuevo de verdad. Distinguirlos exige lo de siempre: leer, comprobar y no fiarse de un titular, tampoco de este.

Practica: cuenta pares y combinaciones con la calculadora de combinatoria.

Fuentes

• Thomas Bloom, Changes, Erdős Problems (blog), 2026.
• Erdős Problems FAQ, Erdős Problems.
• Bubeck, Gowers, Sawhney, Sellke, Weil y otros, Early science acceleration experiments with GPT-5, arXiv:2511.16072, 2025.
• OpenAI Researcher Forced to Delete “Embarrassing” Tweet Claiming Huge Breakthrough, Futurism, 2025.
• Math-etic! GPT-5’s Math ‘Breakthrough’ Gets F-Minus for Hype, eWeek, 2025.
• Erdős Problem #124, Erdős Problems.
• Erdős Problem #124 (hilo del foro), Erdős Problems.
• Terence Tao, The story of Erdős problem #1026, What’s new (blog), 2025.
• Erdős Problem #333, Erdős Problems.
• Erdős Problem #333 (hilo del foro), Erdős Problems.
• Erdős Problem #728, Erdős Problems.
• Nat Sothanaphan, Resolution of Erdős Problem #728: a writeup of Aristotle’s Lean proof, arXiv:2601.07421, 2026.
• Kevin Barreto, Problem 728 and the use of AI on Erdős problems, Erdős Problems (blog), 2026.
• Tony Feng y otros, Semi-Autonomous Mathematics Discovery with Gemini: A Case Study on the Erdős Problems, arXiv:2601.22401, 2026.
• Erdős Problem #90, Erdős Problems.
• Alon, Bloom, Gowers, Litt, Sawin, Shankar, Tsimerman, Wang y Wood, Remarks on the disproof of the unit distance conjecture, arXiv:2605.20695, 2026.
• Thomas Bloom, Sum-product, unit distances, and number fields, Erdős Problems (blog), 2026.
• Thomas Bloom, Erdős problems in the OpenAI proofs, Erdős Problems (blog), 2026.
• Why the Legendary Erdős Problems Are Falling to AI, Quanta Magazine, 2026.
• OpenAI’s Astra solves 10 long-open math problems, publishes proofs, SiliconANGLE, 2026.