Maryam Mirzakhani, la primera mujer con la medalla Fields

Maryam Mirzakhani pensaba en imágenes. Garabateaba sin parar, dibujando superficies y otras figuras de su investigación, y su marido contaba que tenía hojas enormes de papel por el suelo. Cuando su hija tenía tres años, al verla dibujar decía: «¡Mamá está pintando otra vez!». Lo contó la propia Mirzakhani a Quanta Magazine en 2014, el año en que se convirtió en la primera mujer en ganar la medalla Fields.

La niña que quería ser escritora

Maryam Mirzakhani nació el 12 de mayo de 1977 en Teherán. Creció durante la guerra entre Irán e Irak, que duró de 1980 a 1988. A los ocho años se contaba cuentos sobre una niña que lograba cosas extraordinarias.

Su sueño no eran los números. Quería ser escritora. Había visto en televisión biografías de Marie Curie y de Helen Keller y quería hacer algo grande, quizá con la pluma. Con su amiga Roya Beheshti recorría librerías y compraba libros al azar. «Eran muy baratos, así que los comprábamos», recordó.

Estudió en la escuela Farzanegan, un centro de Teherán para chicas con talento. Y allí las matemáticas empezaron mal. Su profesor de primer curso le dio a entender que no tenía especial talento para ellas. Beheshti recuerda que en sexto sacó un 16 sobre 20, rompió el examen y anunció que se acabó: no pensaba esforzarse más en matemáticas. No duró. Tras el verano volvió con la confianza recuperada. Según MacTutor, al curso siguiente otro profesor la animó.

Las olimpiadas

En el instituto, Mirzakhani y Beheshti descubrieron que los chicos tenían clases de resolución de problemas y ellas no. Se lo pidieron a la directora, que las organizó. En 1994, con 17 años, Mirzakhani entró en el equipo iraní de la Olimpiada Matemática Internacional, celebrada en Hong Kong. Según Beheshti, fueron las primeras chicas del equipo. Ganó una medalla de oro con 41 puntos sobre 42. Beheshti ganó la de plata.

Al año siguiente, en Toronto, obtuvo 42 sobre 42. Puntuación perfecta.

Entró en la Universidad Tecnológica de Sharif, en Teherán, en 1995. Allí el joven profesor Saeed Akbari ofreció diez dólares a quien encontrara un grafo plano que se pudiera colorear con tres colores pero que no fuera «4-elegible», una cuestión de coloración con listas de colores. A los pocos días, Mirzakhani le dio una solución de una página. Akbari la comprobó y le pagó los diez dólares. El resultado se publicó en 1996.

El accidente de 1998

En 1998, el autobús del equipo de Sharif volvía de una competición universitaria en Ahvaz y cayó por un barranco. Mirzakhani iba dentro y sobrevivió. Murieron siete estudiantes; según MacTutor, también los dos conductores.

Lo que vino después fue esto: se licenció en 1999 y ese año se marchó a Estados Unidos. Seis compañeros de su promoción habían decidido pedir plaza allí, y todos acabaron en universidades del noreste del país. Ella fue a Harvard.

Harvard y las superficies

En Harvard asistió al seminario de Curtis McMullen, que había ganado la medalla Fields en 1998, y acabó siendo su director de tesis. Sus compañeros Izzet Coskun, Laura DeMarco y David Dumas recuerdan una de sus primeras charlas en ese seminario: iba tan deprisa que a ratos las palabras no le daban abasto, y acompañaba las ideas con grandes gestos circulares de las manos.

Se doctoró en 2004 con una tesis de 130 páginas: Simple geodesics on hyperbolic surfaces and volume of the moduli space of curves. Tres cosas salieron de ahí:

• Una fórmula asintótica para contar las geodésicas cerradas simples de una superficie hiperbólica.
• Una fórmula recursiva para calcular los volúmenes de Weil-Petersson de los espacios de móduli de superficies, una forma natural de medir el «tamaño» del espacio de todas las superficies.
• Una nueva demostración de la conjetura de Witten, un resultado inspirado en la física que Maxim Kontsevich había demostrado en 1992.

Peter Sarnak recuerda que esos resultados le dieron reconocimiento internacional inmediato. La tesis recibió el premio Blumenthal en 2009.

Prefirió ser Clay Research Fellow y profesora ayudante en Princeton (2004-2008), lo que le daba más libertad para investigar. En 2008 pasó a ser catedrática en Stanford. Se casó con el informático teórico checo Jan Vondrák, a quien conocía desde que ella hacía el doctorado en Harvard y él en el MIT, y en 2011 nació su hija.

Con Alex Eskin, y con Amir Mohammadi para una parte, demostró lo que se conoce como el «teorema de la varita mágica». Trata de otro tipo de superficies, las que se forman pegando los lados de polígonos planos, muy ligadas a los billares. Si deformamos esos polígonos estirándolos, aplastándolos e inclinándolos de todas las maneras posibles, la superficie recorre un camino (una «órbita») dentro de su espacio de móduli. El teorema dice que el cierre de ese camino nunca es un conjunto caótico: siempre es una pieza geométrica muy regular. Eskin cuenta que la filosofía de Mirzakhani era no ir nunca a por lo más fácil, y que sus proyectos eran cada vez más ambiciosos.

Ella lo explicó así: «Si hubiéramos sabido lo complicado que iba a ser, creo que nos habríamos rendido». Hizo una pausa: «No lo sé; en realidad, no lo sé. No me rindo con facilidad».

La medalla Fields

El 13 de agosto de 2014, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Seúl, la Unión Matemática Internacional le concedió la medalla Fields «por sus destacadas contribuciones a la dinámica y la geometría de las superficies de Riemann y sus espacios de móduli». Era la primera mujer en recibirla desde que se creó el premio, en 1936, y también la primera persona iraní.

Tenía 37 años. La medalla solo se concede a menores de 40.

El físico Cumrun Vafa, amigo suyo desde Harvard, cuenta que los padres de Mirzakhani se enteraron del premio por la prensa, y que ella no creía que fuese para tanto. Cuando los estudiantes iraníes de la zona de Boston quisieron organizarle una gran fiesta, la rechazó y prefirió acudir, sin avisar, a su pequeño almuerzo mensual.

La enfermedad y el legado

Mirzakhani recibió el diagnóstico de cáncer de mama en 2013, antes de la medalla. Siguió trabajando. Hubo una remisión: en otoño de 2015 pasó una temporada en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, según Sarnak. Pero el cáncer volvió y se extendió al hígado y a los huesos.

Murió el 14 de julio de 2017, a los 40 años. Vafa, que la visitó en su último mes, recuerda que nunca se quejó de los tratamientos y que prefirió hablar de los audiolibros que pensaba escuchar.

Su nombre se recuerda hoy de varias formas:

• El 12 de mayo, su cumpleaños, es el Día de las Mujeres en las Matemáticas. Se eligió en 2018 en el Encuentro Mundial de Mujeres en Matemáticas, en Río de Janeiro, y se celebra desde 2019.
• La Fundación Breakthrough creó en 2019 el Premio Maryam Mirzakhani New Frontiers, de 50.000 dólares, para mujeres que han terminado el doctorado hace poco.

En 2022, Maryna Viazovska fue la segunda mujer en recibir la medalla Fields.

Las matemáticas de verdad

Mirzakhani trabajó con superficies hiperbólicas. Una esfera tiene curvatura positiva: en cada punto se dobla hacia el mismo lado en todas las direcciones. Un plano tiene curvatura cero. Una superficie hiperbólica tiene curvatura constante negativa, igual a $-1$ en todos sus puntos: alrededor de cada punto se parece a una silla de montar, que en una dirección se dobla hacia arriba y en la otra hacia abajo.

Podemos pensar en una rosquilla con $g$ agujeros, que es una superficie de género $g$. Si $g\ge 2$, se le puede dar una métrica hiperbólica, es decir, una forma de medir distancias con la que la curvatura vale $-1$ en todas partes. Esto no se consigue con una rosquilla de verdad hecha en nuestro espacio: hay que imaginarla «por dentro», como la medirían sus habitantes. Y se puede hacer de infinitas maneras distintas. Abajo dibujamos la forma (no las distancias) para $g=2$.

Una geodésica es el camino localmente más corto entre dos puntos: lo que haría un hilo tenso sobre la superficie. Es cerrada si vuelve al punto de partida en la misma dirección, de modo que se repite una y otra vez, y simple si no se corta a sí misma. Al cortar la superficie por $3g-3$ geodésicas cerradas simples disjuntas, queda dividida en $2g-2$ «pantalones» (en inglés, pairs of pants), que son esferas con tres agujeros. Benson Farb llamó a las geodésicas simples, en Quanta, «la clave para desvelar la estructura y la geometría de toda la superficie».

Si cada curva del dibujo fuese una goma elástica y la dejáramos tensarse sobre la superficie hiperbólica, se convertiría en una geodésica: la de la izquierda seguiría sin cortarse y la del ocho seguiría cruzándose una vez. Ese cruce no se puede deshacer.

Ahora, la pregunta: ¿cuántas geodésicas cerradas hay de longitud menor que $L$, cuando $L$ es muy grande? Si las contamos todas, un resultado clásico, de hace más de medio siglo, dice que su número crece como

$$\frac{e^{L}}{L}.$$

Crece de forma exponencial, y la fórmula es la misma para cualquier superficie hiperbólica cerrada, sea cual sea su género o su forma. Pero casi todas esas curvas se cruzan consigo mismas. Entre las simples, la historia cambia. Si la superficie tiene género $g$ y $n$ pinchazos (puntos que se quitan de la superficie) y admite una métrica hiperbólica, Mirzakhani demostró que el número de geodésicas cerradas simples de longitud menor que $L$ es, cuando $L$ crece, proporcional a

$$L^{\,6g-6+2n}.$$

Es un crecimiento polinómico, como una potencia de $L$. Para una superficie cerrada de género $2$ ($n=0$), crece como $L^{6}$. Una potencia contra una exponencial: a medida que $L$ crece, la proporción de geodésicas simples se acerca a cero. Ya se sabía que eran escasas y que su número crecía más o menos como esa potencia; Mirzakhani demostró que el cociente tiende exactamente a una constante. El exponente depende del género y de los pinchazos, no de la forma concreta de la superficie: coincide con la dimensión de un espacio que aparece en la demostración, el de las «laminaciones geodésicas medidas».

La constante de proporcionalidad, en cambio, sí cambia de una superficie a otra. Para entenderla hay que mirar todas las superficies a la vez. Una superficie de género $g$ admite infinitas formas hiperbólicas distintas, y el conjunto de todas ellas es otro espacio, el espacio de móduli. Ese espacio tiene una manera natural de medir volúmenes, el volumen de Weil-Petersson. Mirzakhani encontró un truco para calcular esos volúmenes paso a paso, de una superficie más sencilla a otra más complicada, y descubrió que son polinomios. Los coeficientes de esos polinomios guardan información topológica del espacio de móduli. Gracias a ello obtuvo, casi de regalo, una nueva demostración de la conjetura de Witten, que había propuesto el físico Edward Witten y que Kontsevich había demostrado por un camino muy distinto.

Para terminar

Mirzakhani cerraba así el reportaje de Quanta: «La vida no tiene por qué ser fácil». La suya no lo fue: creció durante una guerra, sobrevivió a un accidente en el que murieron siete compañeros y pasó sus últimos cuatro años enferma. No hace falta exagerar nada.

El presidente de Stanford la describió como una persona humilde que «aceptó honores solo con la esperanza de que animasen a otros a seguir su camino». Su primer gran trabajo cabe en una frase: contó con exactitud las curvas que no se cortan a sí mismas. Se sabía que eran pocas; ella demostró que obedecen una ley limpia.

Una ley que ella encontró dibujando, en esas hojas enormes que su hija miraba y resumía a su manera: «¡Mamá está pintando otra vez!».

Fuentes

• Maryam Mirzakhani. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mirzakhani/
• Varios autores (2018). Maryam Mirzakhani: 1977-2017. Notices of the AMS 65 (10), pp. 1221-1247. https://www.ams.org/journals/notices/201810/rnoti-p1221.pdf
• Erica Klarreich (2014). A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces. Quanta Magazine. https://www.quantamagazine.org/maryam-mirzakhani-is-first-woman-fields-medalist-20140812/
• Maryam Mirzakhani, Fields Medal 2014. Unión Matemática Internacional. https://mathunion.org/fileadmin/IMU/ICM2014/offline/en/awards/prizes/f4.html
• Curtis McMullen (2014). Laudatio de Maryam Mirzakhani en el ICM 2014 (vídeo). Celebratio Mathematica. https://celebratio.org/Mirzakhani_M/article/1087
• William J. Martin (2017). On an early paper of Maryam Mirzakhani. arXiv:1709.07540. https://arxiv.org/abs/1709.07540
• Obituary: Maryam Mirzakhani, math professor and Fields Medal trailblazer, dies at 40 (2017). The Stanford Daily. https://stanforddaily.com/2017/07/17/obituary-maryam-mirzakhani-math-professor-and-fields-medal-trailblazer-dies-at-40/
• May 12, Celebrating Women in Mathematics. IMU Committee for Women in Mathematics. https://www.mathunion.org/cwm/cwm-initiatives/may-12-celebrating-women-mathematics
• Breakthrough Prize Foundation (2019). Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize. https://breakthroughprize.org/News/56
• Fields Medals 2022. Unión Matemática Internacional. https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2022