PAU MACS II Comunitat Valenciana 2024 junio – resuelto (PDF)

Planteamiento del sistema

Definimos las incógnitas:

• $x$ = número de televisores del modelo ULED vendidos,
• $y$ = número de televisores del modelo QLED vendidos,
• $z$ = número de televisores del modelo LD vendidos.

Primero calculamos los precios. El ULED cuesta $1250$ €; el QLED es un $10\,\%$ más barato y el LD un $20\,\%$ más barato:

Traducimos cada dato del enunciado a una ecuación:

• Se han vendido 220 televisores: $x+y+z=220$.
• Se han obtenido 247 250 €: $1250x+1125y+1000z=247\,250$.
• QLED más LD es el triple de ULED: $y+z=3x$, es decir, $3x-y-z=0$.

Como $1250$, $1125$, $1000$ y $247\,250$ son múltiplos de $125$, dividimos la segunda ecuación entre $125$ para trabajar con números más pequeños: $10x+9y+8z=1978$.

Resolución del sistema

Resolvemos por el método de Gauss. Ordenando las incógnitas $(x,y,z)$, la matriz ampliada (con la segunda ecuación ya simplificada) es

(La segunda fila es la segunda ecuación dividida entre $125$.) La matriz es escalonada con tres pivotes no nulos. Siendo $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la ampliada, $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ número de incógnitas, así que el sistema es compatible determinado (solución única). Resolviendo de abajo arriba:

La solución tiene sentido en el contexto: son números naturales (no negativos), como corresponde a cantidades de televisores.

Comprobación con los datos originales:

• Televisores vendidos: $55+108+57=220$. ✓
• Recaudación: $1250\cdot 55+1125\cdot 108+1000\cdot 57=68\,750+121\,500+57\,000=247\,250$ €. ✓
• Relación entre cantidades: $108+57=165=3\cdot 55$. ✓

En los tres apartados se despeja primero la matriz incógnita sin operar, recordando que el producto de matrices no es conmutativo: hay que multiplicar por la izquierda o por la derecha según el lado en que esté cada factor. Solo al final se sustituyen $A$ y $B$.

a) Matriz $X$ tal que $X^{-1}A + A = B$

Despejamos $X$. Pasamos $A$ al otro miembro:

Multiplicamos por la izquierda por $X$ (que es invertible, pues en la ecuación aparece $X^{-1}$):

Si $B-A$ es invertible, multiplicamos por la derecha por $(B-A)^{-1}$:

Calculamos $B-A$ y su inversa.

Desarrollamos por la primera columna, cuyo único elemento no nulo es $a_{31}=1$ (el signo del adjunto es $(-1)^{3+1}=+1$):

así que $B-A$ es invertible. Llamando $C_{ij}$ a sus adjuntos:

(por ejemplo, $C_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{vmatrix} = -(0\cdot 0 - 1\cdot 1) = 1$) y, con $(B-A)^{-1} = \dfrac{1}{|B-A|}\,\big(\operatorname{Adj}(B-A)\big)^{t}$:

Calculamos $X$.

Comprobación. $|X| = 1 \neq 0$, luego existe $X^{-1}$ (como exige el enunciado), y además:

es decir, $X^{-1}A + A = B$.

b) Matriz $Y$ tal que $(A-B)\,Y - A\,Y = I$

Despejamos $Y$. Sacamos $Y$ factor común por la derecha (en los dos términos está multiplicando a la derecha):

Si $B$ es invertible, multiplicamos por la izquierda por $-B^{-1}$:

Calculamos $B^{-1}$. Desarrollando por la primera fila:

luego $B$ es invertible. Sus adjuntos $C_{ij}$ son

de modo que

Calculamos $Y$.

Comprobación.

por lo que $-BY = I$ y, por tanto, $(A-B)Y - AY = I$.

c) Matriz $Z$ tal que $A\,Z\,A^{-1} = I$

La matriz $A$ es invertible, pues es triangular superior y $|A| = 1\cdot1\cdot1 = 1 \neq 0$.

Multiplicamos la ecuación por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $A$:

No hace falta calcular $A^{-1}$. Comprobación: $A\,I\,A^{-1} = AA^{-1} = I$.

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador. Lo desarrollamos:

Así que la función es, en realidad,

y el denominador solo se anula en $x=1$:

Corte con el eje $Y$ ($x=0$, que está en el dominio): $f(0)=\dfrac{0}{1}=0$. Punto $(0,0)$.

Cortes con el eje $X$ ($f(x)=0$): una fracción se anula cuando se anula el numerador (y no el denominador). $x(x-3)=0\iff x=0$ o $x=3$, ambos en el dominio. Puntos $(0,0)$ y $(3,0)$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntota vertical. El único candidato es $x=1$, el punto que no está en el dominio. Allí el numerador vale $1-3=-2\neq0$ y el denominador tiende a $0$ siendo siempre positivo (es un cuadrado):

Por tanto $x=1$ es asíntota vertical, y la función baja a $-\infty$ por los dos lados.

Asíntota horizontal. Numerador, $x^2-3x$, y denominador, $x^2-2x+1$, tienen el mismo grado, $2$; el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Hay asíntota horizontal $y=1$, tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Posición respecto de $y=1$ (útil para la gráfica):

Si $x<-1$ es positivo (la gráfica va por encima de la asíntota, y así se acerca en $-\infty$); si $x>-1$, $x\neq1$, es negativo (va por debajo, y así se acerca en $+\infty$). La gráfica corta a la asíntota en $x=-1$: $f(-1)=\frac{1+3}{4}=1$.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Derivamos con la regla del cociente, usando $f(x)=\dfrac{x^2-3x}{(x-1)^2}$:

Sacamos factor común $(x-1)$ en el numerador y simplificamos (es válido porque $x\neq1$):

$f'(x)=0 \iff x+3=0 \iff x=-3$. El signo de $f'$ solo puede cambiar en $x=-3$ y en $x=1$ (fuera del dominio). El signo de $(x-1)^3$ es el de $x-1$.

Comprobación con un valor de cada intervalo: $f'(-4)=\frac{-1}{-125}=\frac{1}{125}>0$, $f'(0)=\frac{3}{-1}=-3<0$ y $f'(2)=\frac{5}{1}=5>0$.

d) Máximos y mínimos locales

Los extremos locales de $f$ (derivable en todo su dominio) solo pueden estar donde $f'(x)=0$, es decir, en $x=-3$. Según la tabla del apartado c), $f$ crece a la izquierda de $-3$ y decrece a su derecha, así que en $x=-3$ hay un máximo local, de valor

En $x=1$ la monotonía cambia de «decrece» a «crece», pero no hay mínimo: $1$ no está en el dominio y allí la función tiende a $-\infty$ (asíntota vertical). Por tanto no hay mínimos locales.

e) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Dominio $\mathbb{R}\setminus\{1\}$; cortes $(0,0)$ y $(3,0)$.
• Asíntota vertical $x=1$, con $f\to-\infty$ a ambos lados; asíntota horizontal $y=1$, por encima en $-\infty$ y por debajo en $+\infty$ (la gráfica la cruza en $(-1,1)$).
• Crece en $]-\infty,-3[$, decrece en $]-3,1[$ y crece en $]1,+\infty[$.
• Máximo local en $\left(-3,\frac98\right)$.

Algunos valores para afinar el dibujo: $f(-5)=\frac{40}{36}=\frac{10}{9}\approx1{,}11$, $f(0{,}5)=-5$, $f(1{,}5)=-9$, $f(5)=\frac{10}{16}=\frac58=0{,}625$.

La gráfica tiene dos ramas. La de la izquierda, cuando $x\to-\infty$, se acerca a $y=1$ por encima; sube hasta el máximo $\left(-3,\frac98\right)$, baja cruzando la asíntota en $(-1,1)$ y el origen $(0,0)$, y cae a $-\infty$ al acercarse a $x=1$. La de la derecha sube desde $-\infty$ junto a $x=1$, corta al eje $X$ en $(3,0)$ y se acerca a $y=1$ por debajo sin llegar a alcanzarla.

a) Valor de $a$ para que $f$ sea continua

En cada trozo la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$. Por tanto, $f$ es continua en todo $x<-1$ y en todo $x>-1$, cualquiera que sea $a$. El único punto dudoso es $x=-1$, donde cambia la expresión.

$f$ es continua en $x=-1$ si existen los límites laterales, coinciden y son iguales a $f(-1)$:

Igualando:

b) Máximos y mínimos locales en $\left]-9/2,\,-3/2\right[$ para $a=9$

Como $-3/2<-1$, todo el intervalo $\left]-9/2,\,-3/2\right[$ está dentro del primer trozo, así que ahí

que es un polinomio, continuo y derivable en el intervalo. Su derivada es

Puntos críticos:

y los dos están en el intervalo, pues $-9/2=-4{,}5<-4<-2<-1{,}5=-3/2$.

Estudiamos el signo de $f'$ en el intervalo:

Por tanto, en $x=-4$ la función pasa de crecer a decrecer (máximo local) y en $x=-2$ pasa de decrecer a crecer (mínimo local). Lo confirma la derivada segunda, $f''(x)=6x+18$: $f''(-4)=-6<0$ (máximo) y $f''(-2)=6>0$ (mínimo).

Valores de la función:

c) Área entre $f$, $x=2$, $x=3$ y el eje $OX$ para $a=0$

Entre $x=2$ y $x=3$ estamos en el segundo trozo ($x>-1$), así que ahí $f(x)=(x-1)^2+3$, sea cual sea $a$. Además

así que la gráfica no corta al eje $OX$ en $[2,\,3]$ y queda por encima de él. El área es directamente la integral definida:

Una primitiva es $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+4x$. Por la regla de Barrow:

Definimos los sucesos, referidos al directivo elegido al azar:

• $I$ = «el directivo sabe inglés»,
• $A$ = «el directivo sabe alemán».

Traducimos los datos del enunciado:

• «Un 30 % sabe inglés y alemán»: $P(I\cap A)=0{,}3$.
• «El 40 % sabe inglés»: $P(I)=0{,}4$.
• «De los que saben alemán, el 40 % sabe también inglés»: es una probabilidad condicionada al suceso $A$, $P(I\mid A)=0{,}4$.

a) Probabilidad de que sepa alemán

Por la definición de probabilidad condicionada,

b) Probabilidad de que sepa alemán y no inglés

El suceso pedido es $A\cap\overline{I}$. Como $A$ es la unión disjunta de $A\cap I$ y $A\cap\overline{I}$,

c) Si no sabe alemán, probabilidad de que sepa inglés

Se pide $P(I\mid\overline{A})$. Calculamos primero las dos probabilidades que intervienen. Por un lado,

Por otro, $I$ es la unión disjunta de $I\cap A$ y $I\cap\overline{A}$, así que $P(I)=P(I\cap A)+P(I\cap\overline{A})$ y, despejando,

Entonces

Una tabla de contingencia (en tantos por uno) resume todo el problema y sirve de comprobación; las casillas en negrita son los datos o los resultados de a):

Las filas y las columnas suman bien, todas las casillas están entre $0$ y $1$, y $\frac{0{,}1}{0{,}25}=0{,}4$ es la casilla $I\cap\overline{A}$ dividida entre el total de la columna $\overline{A}$.

Sucesos. Definimos:

• $M$: «obtener un número mayor que 2 en el dado» $=\{3,4,5,6\}$, y su contrario $\overline{M}$: «obtener un número menor o igual que 2» $=\{1,2\}$;
• $C$: «salir cara» y $X$: «salir cruz» en un lanzamiento de la moneda; $CC$ (cara y cara) y $XX$ (cruz y cruz) indican el resultado de los dos lanzamientos;
• $A=CC$: «dos caras» y $D=XX$: «dos cruces» (en total, en los dos lanzamientos).

Como el dado está equilibrado, por la regla de Laplace

Moneda buena (se usa si ocurre $M$): $P(C\mid M)=P(X\mid M)=\dfrac12$.

Moneda defectuosa (se usa si ocurre $\overline{M}$): si $P(X\mid\overline{M})=p$, entonces $P(C\mid\overline{M})=3p$ y $3p+p=1$, luego

Una vez conocido el resultado del dado (es decir, condicionados a $M$ o a $\overline{M}$), los dos lanzamientos de la moneda son independientes entre sí, de modo que, por ejemplo, $P(CC\mid M)=\left(\frac12\right)^2=\frac14$ y $P(CC\mid \overline{M})=\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}$.

Todo ello se resume en el diagrama de árbol (primera rama, el dado; segunda, el resultado de las dos monedas):

(Comprobación: $\frac16+\frac13+\frac16+\frac{3}{16}+\frac18+\frac{1}{48}=\frac{8+16+8+9+6+1}{48}=1$.)

a) Probabilidad de un número mayor que 2 sabiendo que salieron dos caras

Con $A=CC$, por el teorema de la probabilidad total, con el sistema completo de sucesos $\{M,\overline{M}\}$:

Nos piden $P(M\mid A)$. Por el teorema de Bayes,

b) Probabilidad de la unión

Sea $B$: «obtener al menos una cara en los dos lanzamientos de la moneda». Su contrario es «ninguna cara», es decir, $\overline{B}=D=XX$, así que

Por el teorema de la probabilidad total,

y por la regla del producto,

Los sucesos $\overline{M}$ y $B$ no son incompatibles, de modo que

c) ¿Son independientes «sacar un 6» y «dos cruces»?

Sean $S$: «obtener un 6 al lanzar el dado» y $D$: «dos cruces» (definido arriba). Dos sucesos son independientes si y solo si $P(S\cap D)=P(S)\,P(D)$.