Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2024 junio resuelto

Fuente: Prueba de Acceso a la Universidad. Exámenes y criterios de corrección de cursos anteriores. Generalitat Valenciana, Conselleria de Educación / Universitats (Comissió Gestora de les Proves d'Accés a la Universitat).Página de la fuente.

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Instrucciones del examen

Se han de contestar tres problemas de entre los seis propuestos. Cada problema se valorará de 0 a 10 puntos y la nota final será la media aritmética de los tres. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen. Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la convocatoria ordinaria (junio) de 2024 en la Comunitat Valenciana, con el modelo anterior a la PAU de 2025. Se eligen tres de los seis problemas, cada uno valorado de 0 a 10 puntos, y la nota es la media de los tres; según los criterios oficiales, solo se corrigen los tres primeros problemas contestados. Los problemas tratan de un sistema de ecuaciones lineales planteado a partir de un enunciado (1), ecuaciones matriciales (2), estudio y representación de una función racional (3), continuidad, extremos locales y área bajo una función definida a trozos (4) y probabilidad: probabilidad condicionada (5) y probabilidad total, Bayes e independencia (6).

Ejercicios resueltos

5 de 6 ejercicios encajan tal cual con el modelo de examen de 2026; el resto lleva su etiqueta.

Problema 1

Sistemas de ecuaciones10 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de números y álgebra. Sistema de tres ecuaciones.

Enunciado

Una tienda de televisores ha obtenido 247 250 euros por la venta de 220 televisores de sus modelos ULED, QLED y LD. Un televisor del modelo ULED cuesta 1 250 euros y los otros dos modelos son un 10 % y un 20 % más baratos que el modelo ULED, respectivamente. Sabemos que la suma de la cantidad de televisores QLED y de televisores LD vendidos es igual al triple de los televisores ULED vendidos. Halla el número de televisores de cada modelo que se han vendido.

(Planteamiento correcto, 5 puntos - Resolución correcta 5 puntos)

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

Planteamiento del sistema

Definimos las incógnitas:

$x$ = número de televisores del modelo ULED vendidos,
$y$ = número de televisores del modelo QLED vendidos,
$z$ = número de televisores del modelo LD vendidos.

Primero calculamos los precios. El ULED cuesta $1250$ €; el QLED es un $10\,\%$ más barato y el LD un $20\,\%$ más barato:

\text{QLED: } 1250\cdot 0{,}90=1125\ \text{€},\qquad \text{LD: } 1250\cdot 0{,}80=1000\ \text{€}.

Traducimos cada dato del enunciado a una ecuación:

Se han vendido 220 televisores: $x+y+z=220$ .
Se han obtenido 247 250 €: $1250x+1125y+1000z=247\,250$ .
QLED más LD es el triple de ULED: $y+z=3x$ , es decir, $3x-y-z=0$ .

\begin{cases} x+y+z=220\\ 1250x+1125y+1000z=247\,250\\ 3x-y-z=0 \end{cases}

Como $1250$ , $1125$ , $1000$ y $247\,250$ son múltiplos de $125$ , dividimos la segunda ecuación entre $125$ para trabajar con números más pequeños: $10x+9y+8z=1978$ .

Respuesta

Con

x

y

z

el número de televisores ULED, QLED y LD vendidos:

\;x+y+z=220,\quad 1250x+1125y+1000z=247\,250,\quad 3x-y-z=0.

Resolución del sistema

Resolvemos por el método de Gauss. Ordenando las incógnitas $(x,y,z)$ , la matriz ampliada (con la segunda ecuación ya simplificada) es

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 220\\ 10 & 9 & 8 & 1978\\ 3 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right)\xrightarrow[F_3-3F_1]{F_2-10F_1}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 220\\ 0 & -1 & -2 & -222\\ 0 & -4 & -4 & -660 \end{array}\right)\xrightarrow{F_3-4F_2}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 220\\ 0 & -1 & -2 & -222\\ 0 & 0 & 4 & 228 \end{array}\right).

(La segunda fila es la segunda ecuación dividida entre $125$ .) La matriz es escalonada con tres pivotes no nulos. Siendo $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la ampliada, $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ número de incógnitas, así que el sistema es compatible determinado (solución única). Resolviendo de abajo arriba:

4z=228\ \Longrightarrow\ z=57;\qquad -y-2\cdot 57=-222\ \Longrightarrow\ y=108;\qquad x+108+57=220\ \Longrightarrow\ x=55.

La solución tiene sentido en el contexto: son números naturales (no negativos), como corresponde a cantidades de televisores.

Comprobación con los datos originales:

Televisores vendidos: $55+108+57=220$ . ✓
Recaudación: $1250\cdot 55+1125\cdot 108+1000\cdot 57=68\,750+121\,500+57\,000=247\,250$ €. ✓
Relación entre cantidades: $108+57=165=3\cdot 55$ . ✓

Otra forma de hacerlo: sustitución

De la tercera ecuación, $y+z=3x$ . Sustituyendo en la primera: $x+3x=220$ , luego $x=55$ e $y+z=165$ . Llevando $x=55$ a la segunda ecuación: $1125y+1000z=247\,250-68\,750=178\,500$ , es decir (dividiendo entre $125$ ), $9y+8z=1428$ . Como $z=165-y$ : $9y+8(165-y)=1428$ , de donde $y=108$ y $z=57$ . También puede aplicarse la regla de Cramer: el determinante de la matriz de coeficientes del sistema simplificado vale $\begin{vmatrix} 1&1&1\\10&9&8\\3&-1&-1\end{vmatrix}=-4\neq 0$ (el del sistema original, con la segunda fila multiplicada por $125$ , vale $-500$ ).

Respuesta

Se han vendido 55 televisores ULED, 108 QLED y 57 LD.

Compruébalo:Resuelve el sistema por Gauss Resuelve el sistema por Cramer

Criterios de corrección oficiales

Planteamiento, 5 puntos (3 ecuaciones correctas, 5; 2, 3; 1, 1): x + y + z = 220, 1250x + 1125y + 1000z = 247 250, 3x − y − z = 0. Resolución, 5 puntos (máximo 3 si la solución no es la del sistema planteado; 0 si es incoherente con el enunciado, salvo que se advierta). Solución: x = 55, y = 108, z = 57.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente · última revisión: 21 de octubre de 2026, 13:02

Problema 2

Matrices10 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de números y álgebra.

Enunciado

Consideremos las matrices:

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad\text{y}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

Se pide:

a) Hallar la matriz $X$ que satisface la ecuación $X^{-1}A + A = B$ . (4 puntos)

b) Hallar la matriz $Y$ que satisface la ecuación $(A-B)\,Y - A\,Y = I$ , donde $I$ representa a la matriz identidad de orden 3. (4 puntos)

c) Hallar la matriz $Z$ que satisface la ecuación $A\,Z\,A^{-1} = I$ . (2 puntos)

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

En los tres apartados se despeja primero la matriz incógnita sin operar, recordando que el producto de matrices no es conmutativo: hay que multiplicar por la izquierda o por la derecha según el lado en que esté cada factor. Solo al final se sustituyen $A$ y $B$ .

a) Matriz $X$ tal que $X^{-1}A + A = B$

Despejamos $X$ . Pasamos $A$ al otro miembro:

X^{-1}A = B - A.

Multiplicamos por la izquierda por $X$ (que es invertible, pues en la ecuación aparece $X^{-1}$ ):

A = X\,(B - A).

Si $B-A$ es invertible, multiplicamos por la derecha por $(B-A)^{-1}$ :

\boxed{X = A\,(B-A)^{-1}}

Calculamos $B-A$ y su inversa.

B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}

Desarrollamos por la primera columna, cuyo único elemento no nulo es $a_{31}=1$ (el signo del adjunto es $(-1)^{3+1}=+1$ ):

|B-A| = 1\cdot(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1\cdot 1 = 1 \neq 0,

así que $B-A$ es invertible. Llamando $C_{ij}$ a sus adjuntos:

\begin{array}{lll} C_{11}=0 &\quad C_{12}=1 &\quad C_{13}=0 \\ C_{21}=0 &\quad C_{22}=-1 &\quad C_{23}=1 \\ C_{31}=1 &\quad C_{32}=0 &\quad C_{33}=0 \end{array}

(por ejemplo, $C_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{vmatrix} = -(0\cdot 0 - 1\cdot 1) = 1$ ) y, con $(B-A)^{-1} = \dfrac{1}{|B-A|}\,\big(\operatorname{Adj}(B-A)\big)^{t}$ :

(B-A)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.

Calculamos $X$ .

X = A\,(B-A)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.

Comprobación. $|X| = 1 \neq 0$ , luego existe $X^{-1}$ (como exige el enunciado), y además:

X(B-A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = A,

es decir, $X^{-1}A + A = B$ .

Respuesta

X = A\,(B-A)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}

b) Matriz $Y$ tal que $(A-B)\,Y - A\,Y = I$

Despejamos $Y$ . Sacamos $Y$ factor común por la derecha (en los dos términos está multiplicando a la derecha):

(A - B - A)\,Y = I \;\Longrightarrow\; -B\,Y = I.

Si $B$ es invertible, multiplicamos por la izquierda por $-B^{-1}$ :

\boxed{Y = -B^{-1}}

Calculamos $B^{-1}$ . Desarrollando por la primera fila:

|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix} = 1\cdot(1-0) - 1\cdot(0-1) + 0 = 2 \neq 0,

luego $B$ es invertible. Sus adjuntos $C_{ij}$ son

\begin{array}{lll} C_{11}=1 &\quad C_{12}=1 &\quad C_{13}=-1 \\ C_{21}=-1 &\quad C_{22}=1 &\quad C_{23}=1 \\ C_{31}=1 &\quad C_{32}=-1 &\quad C_{33}=1 \end{array}

de modo que

B^{-1} = \frac{1}{|B|}\big(\operatorname{Adj}B\big)^{t} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}.

Calculamos $Y$ .

Y = -B^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\[2pt] -\tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\[2pt] \tfrac12 & -\tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}.

Comprobación.

B\,B^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} = I,

por lo que $-BY = I$ y, por tanto, $(A-B)Y - AY = I$ .

Respuesta

Y = -B^{-1} = -\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}

c) Matriz $Z$ tal que $A\,Z\,A^{-1} = I$

La matriz $A$ es invertible, pues es triangular superior y $|A| = 1\cdot1\cdot1 = 1 \neq 0$ .

Multiplicamos la ecuación por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $A$ :

A^{-1}\,(A\,Z\,A^{-1})\,A = A^{-1}\,I\,A \;\Longrightarrow\; Z = A^{-1}A = I.

No hace falta calcular $A^{-1}$ . Comprobación: $A\,I\,A^{-1} = AA^{-1} = I$ .

Respuesta

Z = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Compruébalo:Inversa de B − A por la adjunta Calcula X = A·(B − A)⁻¹ Inversa de B por la adjunta

Criterios de corrección oficiales

a) 4 puntos: 2 por expresar X en función de A y B y 2 por el resultado, X = (0 −1 1; 1 −1 0; 0 1 0). b) 4 puntos: 2 por expresar Y en función de A y B y 2 por el resultado, Y = (−1/2)·(1 −1 1; 1 1 −1; −1 1 1). c) 2 puntos: 1 por despejar Z en función de A y 1 por el resultado, Z = I.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente · última revisión: 21 de octubre de 2026, 13:01

Problema 3

Estudio de funciones Derivadas y aplicaciones10 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de análisis. Hoy se pediría con menos apartados y menos puntos.

Enunciado

Se considera la función $f(x)=\dfrac{x^2-3x}{x(x-3)+(x+1)}$ . Se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)

d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador. Lo desarrollamos:

x(x-3)+(x+1)=x^2-3x+x+1=x^2-2x+1=(x-1)^2.

Así que la función es, en realidad,

f(x)=\frac{x^2-3x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-3)}{(x-1)^2},

y el denominador solo se anula en $x=1$ :

(x-1)^2=0 \iff x=1 \qquad\Longrightarrow\qquad \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Corte con el eje $Y$ ( $x=0$ , que está en el dominio): $f(0)=\dfrac{0}{1}=0$ . Punto $(0,0)$ .

Cortes con el eje $X$ ( $f(x)=0$ ): una fracción se anula cuando se anula el numerador (y no el denominador). $x(x-3)=0\iff x=0$ o $x=3$ , ambos en el dominio. Puntos $(0,0)$ y $(3,0)$ .

Respuesta

\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{1\}

. Cortes con los ejes:

(0,0)

(con los dos ejes) y

(3,0)

(con el eje

X

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntota vertical. El único candidato es $x=1$ , el punto que no está en el dominio. Allí el numerador vale $1-3=-2\neq0$ y el denominador tiende a $0$ siendo siempre positivo (es un cuadrado):

\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty.

Por tanto $x=1$ es asíntota vertical, y la función baja a $-\infty$ por los dos lados.

Asíntota horizontal. Numerador, $x^2-3x$ , y denominador, $x^2-2x+1$ , tienen el mismo grado, $2$ ; el límite es el cociente de los coeficientes principales:

\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2-3x}{x^2-2x+1}=\frac{1}{1}=1.

Hay asíntota horizontal $y=1$ , tanto en $+\infty$ como en $-\infty$ .

Posición respecto de $y=1$ (útil para la gráfica):

f(x)-1=\frac{x^2-3x-(x^2-2x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-(x+1)}{(x-1)^2}.

Si $x<-1$ es positivo (la gráfica va por encima de la asíntota, y así se acerca en $-\infty$ ); si $x>-1$ , $x\neq1$ , es negativo (va por debajo, y así se acerca en $+\infty$ ). La gráfica corta a la asíntota en $x=-1$ : $f(-1)=\frac{1+3}{4}=1$ .

Respuesta

Asíntota vertical:

x=1

, con

\lim\limits_{x\to1^{\pm}}f(x)=-\infty

. Asíntota horizontal:

y=1

, en

+\infty

y en

-\infty

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Derivamos con la regla del cociente, usando $f(x)=\dfrac{x^2-3x}{(x-1)^2}$ :

f'(x)=\frac{(2x-3)(x-1)^2-(x^2-3x)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}.

Sacamos factor común $(x-1)$ en el numerador y simplificamos (es válido porque $x\neq1$ ):

f'(x)=\frac{(x-1)\left[(2x-3)(x-1)-2(x^2-3x)\right]}{(x-1)^4}=\frac{(2x-3)(x-1)-2(x^2-3x)}{(x-1)^3}=\frac{2x^2-5x+3-2x^2+6x}{(x-1)^3}=\frac{x+3}{(x-1)^3}.

$f'(x)=0 \iff x+3=0 \iff x=-3$ . El signo de $f'$ solo puede cambiar en $x=-3$ y en $x=1$ (fuera del dominio). El signo de $(x-1)^3$ es el de $x-1$ .

Intervalo	$]-\infty,-3[$	$]-3,1[$	$]1,+\infty[$
Signo de $x+3$	$-$	$+$	$+$
Signo de $(x-1)^3$	$-$	$-$	$+$
Signo de $f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

Comprobación con un valor de cada intervalo: $f'(-4)=\frac{-1}{-125}=\frac{1}{125}>0$ , $f'(0)=\frac{3}{-1}=-3<0$ y $f'(2)=\frac{5}{1}=5>0$ .

Respuesta

f

es creciente en

]-\infty,-3[\,\cup\,]1,+\infty[

y decreciente en

]-3,1[

d) Máximos y mínimos locales

Los extremos locales de $f$ (derivable en todo su dominio) solo pueden estar donde $f'(x)=0$ , es decir, en $x=-3$ . Según la tabla del apartado c), $f$ crece a la izquierda de $-3$ y decrece a su derecha, así que en $x=-3$ hay un máximo local, de valor

f(-3)=\frac{(-3)^2-3\cdot(-3)}{(-3-1)^2}=\frac{18}{16}=\frac98=1{,}125.

En $x=1$ la monotonía cambia de «decrece» a «crece», pero no hay mínimo: $1$ no está en el dominio y allí la función tiende a $-\infty$ (asíntota vertical). Por tanto no hay mínimos locales.

Respuesta

Máximo local en

x=-3

, punto

\left(-3,\frac98\right)

. No hay mínimos locales.

e) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

Dominio $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; cortes $(0,0)$ y $(3,0)$ .
Asíntota vertical $x=1$ , con $f\to-\infty$ a ambos lados; asíntota horizontal $y=1$ , por encima en $-\infty$ y por debajo en $+\infty$ (la gráfica la cruza en $(-1,1)$ ).
Crece en $]-\infty,-3[$ , decrece en $]-3,1[$ y crece en $]1,+\infty[$ .
Máximo local en $\left(-3,\frac98\right)$ .

Algunos valores para afinar el dibujo: $f(-5)=\frac{40}{36}=\frac{10}{9}\approx1{,}11$ , $f(0{,}5)=-5$ , $f(1{,}5)=-9$ , $f(5)=\frac{10}{16}=\frac58=0{,}625$ .

La gráfica tiene dos ramas. La de la izquierda, cuando $x\to-\infty$ , se acerca a $y=1$ por encima; sube hasta el máximo $\left(-3,\frac98\right)$ , baja cruzando la asíntota en $(-1,1)$ y el origen $(0,0)$ , y cae a $-\infty$ al acercarse a $x=1$ . La de la derecha sube desde $-\infty$ junto a $x=1$ , corta al eje $X$ en $(3,0)$ y se acerca a $y=1$ por debajo sin llegar a alcanzarla.

Cargando la gráfica…

Gráfica de f(x) = (x² − 3x)/(x − 1)² con la asíntota horizontal y = 1. Asíntota vertical en x = 1, donde la función baja a menos infinito por los dos lados. Cuando x tiende a menos infinito, la rama izquierda se acerca a y = 1 por encima; alcanza un máximo local en (−3, 9/8), cruza la asíntota en (−1, 1), pasa por el origen y cae a menos infinito junto a x = 1. La rama derecha sube desde menos infinito, corta al eje X en (3, 0) y se acerca a y = 1 por debajo. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

Dos ramas separadas por la asíntota vertical

x=1

(en la que

f\to-\infty

por ambos lados): la izquierda, con máximo en

\left(-3,\frac98\right)

, corte con

y=1

(-1,1)

y paso por el origen

(0,0)

; la derecha, creciente, cortando al eje

X

(3,0)

y acercándose a la asíntota horizontal

y=1

por debajo.

Compruébalo:Estudio completo de f(x)Deriva f(x)Límite en x = 1 Límite en +∞

Criterios de corrección oficiales

a) 2 puntos: 1 por el dominio, ℝ∖{1}, y 1 por los cortes con los ejes, (3, 0) y (0, 0). b) 2 puntos: 1 por la asíntota vertical x = 1 y 1 por la horizontal y = 1. c) 2 puntos: creciente en ]−∞, −3[ ∪ ]1, +∞[ y decreciente en ]−3, 1[. d) 2 puntos: máximo local en x = −3, f(−3) = 9/8; no hay mínimos. e) 2 puntos por la gráfica.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente · última revisión: 21 de octubre de 2026, 13:01

Problema 4

Límites y continuidad Derivadas y aplicaciones Integrales10 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de análisis. Función a trozos con continuidad, extremos y área.

Enunciado

Se considera la función:

f(x)=\begin{cases} x^3+ax^2+24x & \text{si } x\le -1,\\[4pt] (x-1)^2+3 & \text{si } x>-1.\end{cases}

siendo $a$ un número real.

a) Determina el valor de $a$ para que esta función sea continua. (2 puntos)

b) Supongamos que $a=9$ . Determina los máximos y mínimos locales que tiene esta función en el intervalo $\left]-9/2,\,-3/2\right[$ . (4 puntos)

c) Supongamos que $a=0$ . Calcula el área de la región delimitada por esta función, la recta de ecuación $x=2$ , la recta de ecuación $x=3$ y el eje $OX$ . (4 puntos)

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

a) Valor de $a$ para que $f$ sea continua

En cada trozo la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$ . Por tanto, $f$ es continua en todo $x<-1$ y en todo $x>-1$ , cualquiera que sea $a$ . El único punto dudoso es $x=-1$ , donde cambia la expresión.

$f$ es continua en $x=-1$ si existen los límites laterales, coinciden y son iguales a $f(-1)$ :

f(-1)=(-1)^3+a(-1)^2+24(-1)=-1+a-24=a-25,

\lim_{x\to -1^-}f(x)=\lim_{x\to -1^-}\left(x^3+ax^2+24x\right)=a-25,

\lim_{x\to -1^+}f(x)=\lim_{x\to -1^+}\left((x-1)^2+3\right)=(-2)^2+3=7.

Igualando:

a-25=7\iff a=32.

Respuesta

f

es continua en todo

\mathbb{R}

si y solo si

a=32

(para cualquier otro valor de

a

hay un salto finito en

x=-1

y no es continua).

b) Máximos y mínimos locales en $\left]-9/2,\,-3/2\right[$ para $a=9$

Como $-3/2<-1$ , todo el intervalo $\left]-9/2,\,-3/2\right[$ está dentro del primer trozo, así que ahí

f(x)=x^3+9x^2+24x,

que es un polinomio, continuo y derivable en el intervalo. Su derivada es

f'(x)=3x^2+18x+24=3\left(x^2+6x+8\right)=3(x+2)(x+4).

Puntos críticos:

f'(x)=0\iff x=-4\ \text{ o }\ x=-2,

y los dos están en el intervalo, pues $-9/2=-4{,}5<-4<-2<-1{,}5=-3/2$ .

Estudiamos el signo de $f'$ en el intervalo:

Intervalo	$\left]-\tfrac92,\,-4\right[$	$\left]-4,\,-2\right[$	$\left]-2,\,-\tfrac32\right[$
Valor de prueba	$f'\!\left(-\tfrac{17}{4}\right)=\tfrac{27}{16}>0$	$f'(-3)=-3<0$	$f'\!\left(-\tfrac74\right)=\tfrac{27}{16}>0$
$f(x)$	creciente	decreciente	creciente

Por tanto, en $x=-4$ la función pasa de crecer a decrecer (máximo local) y en $x=-2$ pasa de decrecer a crecer (mínimo local). Lo confirma la derivada segunda, $f''(x)=6x+18$ : $f''(-4)=-6<0$ (máximo) y $f''(-2)=6>0$ (mínimo).

Valores de la función:

f(-4)=-64+144-96=-16,\qquad f(-2)=-8+36-48=-20.

Cargando la gráfica…

Gráfica de f(x) = x^3 + 9x^2 + 24x en el intervalo entre -4,5 y -1,5: sube hasta el máximo local (-4, -16), baja hasta el mínimo local (-2, -20) y vuelve a subir. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

\left]-9/2,\,-3/2\right[

f

tiene un máximo local en

x=-4

, de valor

f(-4)=-16

(punto

(-4,\,-16)

), y un mínimo local en

x=-2

, de valor

f(-2)=-20

(punto

(-2,\,-20)

c) Área entre $f$ , $x=2$ , $x=3$ y el eje $OX$ para $a=0$

Entre $x=2$ y $x=3$ estamos en el segundo trozo ( $x>-1$ ), así que ahí $f(x)=(x-1)^2+3$ , sea cual sea $a$ . Además

f(x)=(x-1)^2+3\geq 3>0,

así que la gráfica no corta al eje $OX$ en $[2,\,3]$ y queda por encima de él. El área es directamente la integral definida:

A=\int_2^3\left((x-1)^2+3\right)dx=\int_2^3\left(x^2-2x+4\right)dx.

Una primitiva es $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+4x$ . Por la regla de Barrow:

F(3)=9-9+12=12,\qquad F(2)=\frac{8}{3}-4+8=\frac{20}{3},

A=F(3)-F(2)=12-\frac{20}{3}=\frac{16}{3}\approx 5{,}33.

Cargando la gráfica…

Parábola y = (x - 1)^2 + 3, siempre por encima del eje OX, con sombreada la región bajo ella entre x = 2 y x = 3. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

El área de la región es

A=\dfrac{16}{3}\approx 5{,}33\ \text{u}^2

Criterios de corrección oficiales

a) 2 puntos: 1 por probar que es continua en x = −1 solo si a = 32 y 1 por razonar que es continua en el resto de puntos. b) 4 puntos: 2 por el máximo local en x = −4, f(−4) = −16, y 2 por el mínimo local en x = −2, f(−2) = −20. c) 4 puntos: 2 por una primitiva de (x − 1)² + 3, por ejemplo x³/3 − x² + 4x, y 2 por la integral entre 2 y 3, 16/3 ≈ 5,3333.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente · última revisión: 21 de octubre de 2026, 13:02

Problema 5

Probabilidad10 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de probabilidad; en 2026 puede añadirse un apartado de binomial o normal.

Enunciado

Un 30 % de los directivos de una empresa sabe inglés y alemán. En dicha empresa, el 40 % de los directivos sabe inglés. Además, de los directivos que saben alemán, el 40 % sabe también inglés. Seleccionamos un directivo al azar.

a) ¿Qué probabilidad hay de que el directivo sepa alemán? (3 puntos)

b) ¿Qué probabilidad hay de que el directivo sepa alemán y no inglés? (3 puntos)

c) Si el directivo no sabe alemán, ¿cuál es la probabilidad de que sepa inglés? (4 puntos)

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

Definimos los sucesos, referidos al directivo elegido al azar:

$I$ = «el directivo sabe inglés»,
$A$ = «el directivo sabe alemán».

Traducimos los datos del enunciado:

«Un 30 % sabe inglés y alemán»: $P(I\cap A)=0{,}3$ .
«El 40 % sabe inglés»: $P(I)=0{,}4$ .
«De los que saben alemán, el 40 % sabe también inglés»: es una probabilidad condicionada al suceso $A$ , $P(I\mid A)=0{,}4$ .

a) Probabilidad de que sepa alemán

Por la definición de probabilidad condicionada,

P(I\mid A)=\frac{P(I\cap A)}{P(A)}\quad\Longrightarrow\quad P(A)=\frac{P(I\cap A)}{P(I\mid A)}=\frac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75.

Respuesta

P(A)=0{,}75

: el 75 % de los directivos sabe alemán.

b) Probabilidad de que sepa alemán y no inglés

El suceso pedido es $A\cap\overline{I}$ . Como $A$ es la unión disjunta de $A\cap I$ y $A\cap\overline{I}$ ,

P(A)=P(A\cap I)+P(A\cap\overline{I})\quad\Longrightarrow\quad P(A\cap\overline{I})=P(A)-P(A\cap I)=0{,}75-0{,}3=0{,}45.

Respuesta

P(A\cap\overline{I})=0{,}45

: el 45 % de los directivos sabe alemán y no sabe inglés.

c) Si no sabe alemán, probabilidad de que sepa inglés

Se pide $P(I\mid\overline{A})$ . Calculamos primero las dos probabilidades que intervienen. Por un lado,

P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}75=0{,}25.

Por otro, $I$ es la unión disjunta de $I\cap A$ y $I\cap\overline{A}$ , así que $P(I)=P(I\cap A)+P(I\cap\overline{A})$ y, despejando,

P(I\cap\overline{A})=P(I)-P(I\cap A)=0{,}4-0{,}3=0{,}1.

Entonces

P(I\mid\overline{A})=\frac{P(I\cap\overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{0{,}1}{0{,}25}=0{,}4.

Una tabla de contingencia (en tantos por uno) resume todo el problema y sirve de comprobación; las casillas en negrita son los datos o los resultados de a):

	$A$	$\overline{A}$	Total
$I$	$\mathbf{0{,}3}$	$0{,}1$	$\mathbf{0{,}4}$
$\overline{I}$	$0{,}45$	$0{,}15$	$0{,}6$
Total	$\mathbf{0{,}75}$	$0{,}25$	$1$

Las filas y las columnas suman bien, todas las casillas están entre $0$ y $1$ , y $\frac{0{,}1}{0{,}25}=0{,}4$ es la casilla $I\cap\overline{A}$ dividida entre el total de la columna $\overline{A}$ .

Respuesta

P(I\mid\overline{A})=0{,}4

: el 40 % de los directivos que no saben alemán sabe inglés.

Criterios de corrección oficiales

a) 3 puntos, resultado 0,75. b) 3 puntos, resultado 0,45. c) 4 puntos, resultado 0,4. En a) y b), hasta 2 puntos por el planteamiento o la fórmula y 1 por el resultado; en c), hasta 3 y 1. Una probabilidad imposible anula el apartado, salvo que se advierta el error.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente · última revisión: 21 de octubre de 2026, 13:01

Problema 6

Probabilidad10 puntos

Adaptable al modelo 2026Es un juego de dado y monedas resuelto por árbol; hoy la pregunta de probabilidad parte de un contexto real (tablas, probabilidad total, Bayes). Practica la técnica, no esperes este enunciado.

Enunciado

Lanzamos un dado de 6 caras bien equilibrado. Si al lanzar el dado obtenemos un número mayor que 2, entonces lanzamos dos veces una moneda bien construida; pero si al lanzar el dado obtenemos un número menor o igual que 2, entonces lanzamos dos veces una moneda defectuosa en la que la probabilidad de obtener cara es tres veces mayor que la de obtener cruz.

a) Si sabemos que en los dos lanzamientos de la moneda hemos obtenido dos caras, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos obtenido un número mayor que 2 al lanzar el dado? (3 puntos)

b) Calcula la probabilidad de la unión de los sucesos “obtener un número menor o igual que 2 al lanzar el dado” y “obtener al menos una cara en los dos lanzamientos de la moneda”. (4 puntos)

c) ¿Son independientes los sucesos “obtener un 6 al lanzar el dado” y “obtener dos cruces en los dos lanzamientos de la moneda”? (3 puntos)

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

Sucesos. Definimos:

$M$ : «obtener un número mayor que 2 en el dado» $=\{3,4,5,6\}$ , y su contrario $\overline{M}$ : «obtener un número menor o igual que 2» $=\{1,2\}$ ;
$C$ : «salir cara» y $X$ : «salir cruz» en un lanzamiento de la moneda; $CC$ (cara y cara) y $XX$ (cruz y cruz) indican el resultado de los dos lanzamientos;
$A=CC$ : «dos caras» y $D=XX$ : «dos cruces» (en total, en los dos lanzamientos).

Como el dado está equilibrado, por la regla de Laplace

P(M)=\frac46=\frac23,\qquad P(\overline{M})=\frac26=\frac13 .

Moneda buena (se usa si ocurre $M$ ): $P(C\mid M)=P(X\mid M)=\dfrac12$ .

Moneda defectuosa (se usa si ocurre $\overline{M}$ ): si $P(X\mid\overline{M})=p$ , entonces $P(C\mid\overline{M})=3p$ y $3p+p=1$ , luego

P(X\mid\overline{M})=\frac14,\qquad P(C\mid\overline{M})=\frac34 .

Una vez conocido el resultado del dado (es decir, condicionados a $M$ o a $\overline{M}$ ), los dos lanzamientos de la moneda son independientes entre sí, de modo que, por ejemplo, $P(CC\mid M)=\left(\frac12\right)^2=\frac14$ y $P(CC\mid \overline{M})=\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}$ .

Todo ello se resume en el diagrama de árbol (primera rama, el dado; segunda, el resultado de las dos monedas):

Primera rama	Segunda rama	Probabilidad del camino
$M$ $\left(\frac23\right)$	$CC$ $\left(\frac14\right)$	$\frac23\cdot\frac14=\frac16$
	una cara y una cruz $\left(2\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac12\right)$	$\frac23\cdot\frac12=\frac13$
	$XX$ $\left(\frac14\right)$	$\frac23\cdot\frac14=\frac16$
$\overline{M}$ $\left(\frac13\right)$	$CC$ $\left(\frac{9}{16}\right)$	$\frac13\cdot\frac{9}{16}=\frac{3}{16}$
	una cara y una cruz $\left(2\cdot\frac34\cdot\frac14=\frac{6}{16}\right)$	$\frac13\cdot\frac{6}{16}=\frac18$
	$XX$ $\left(\frac{1}{16}\right)$	$\frac13\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{48}$

(Comprobación: $\frac16+\frac13+\frac16+\frac{3}{16}+\frac18+\frac{1}{48}=\frac{8+16+8+9+6+1}{48}=1$ .)

a) Probabilidad de un número mayor que 2 sabiendo que salieron dos caras

Con $A=CC$ , por el teorema de la probabilidad total, con el sistema completo de sucesos $\{M,\overline{M}\}$ :

P(A)=P(M)\,P(A\mid M)+P(\overline{M})\,P(A\mid \overline{M})=\frac23\cdot\frac14+\frac13\cdot\frac{9}{16}=\frac16+\frac{3}{16}=\frac{8}{48}+\frac{9}{48}=\frac{17}{48}.

Nos piden $P(M\mid A)$ . Por el teorema de Bayes,

P(M\mid A)=\frac{P(M)\,P(A\mid M)}{P(A)}=\frac{\dfrac16}{\dfrac{17}{48}}=\frac{48}{6\cdot 17}=\frac{8}{17}\approx 0{,}4706 .

Respuesta

La probabilidad de haber obtenido un número mayor que 2, sabiendo que salieron dos caras, es

P(M\mid A)=\dfrac{8}{17}\approx 0{,}4706

b) Probabilidad de la unión

Sea $B$ : «obtener al menos una cara en los dos lanzamientos de la moneda». Su contrario es «ninguna cara», es decir, $\overline{B}=D=XX$ , así que

P(B\mid M)=1-\left(\frac12\right)^2=\frac34,\qquad P(B\mid \overline{M})=1-\left(\frac14\right)^2=\frac{15}{16}.

Por el teorema de la probabilidad total,

P(B)=\frac23\cdot\frac34+\frac13\cdot\frac{15}{16}=\frac12+\frac{5}{16}=\frac{13}{16},

y por la regla del producto,

P(\overline{M}\cap B)=P(\overline{M})\,P(B\mid\overline{M})=\frac13\cdot\frac{15}{16}=\frac{5}{16}.

Los sucesos $\overline{M}$ y $B$ no son incompatibles, de modo que

P(\overline{M}\cup B)=P(\overline{M})+P(B)-P(\overline{M}\cap B)=\frac13+\frac{13}{16}-\frac{5}{16}=\frac13+\frac12=\frac56\approx 0{,}8333 .

Respuesta

P(\overline{M}\cup B)=\dfrac56\approx 0{,}8333

c) ¿Son independientes «sacar un 6» y «dos cruces»?

Sean $S$ : «obtener un 6 al lanzar el dado» y $D$ : «dos cruces» (definido arriba). Dos sucesos son independientes si y solo si $P(S\cap D)=P(S)\,P(D)$ .

$P(S)=\dfrac16$ (dado equilibrado).
Por el teorema de la probabilidad total:
$P(D)=P(M)\,P(D\mid M)+P(\overline{M})\,P(D\mid\overline{M})=\frac23\cdot\frac14+\frac13\cdot\frac{1}{16}=\frac16+\frac{1}{48}=\frac{9}{48}=\frac{3}{16}.$
Si sale un 6 (que es mayor que 2) se usa la moneda buena: como $S\subset M$ y, sabido $M$ , el número concreto no influye en la moneda, $P(D\mid S)=P(D\mid M)=\frac14$ y
$P(S\cap D)=P(S)\,P(D\mid S)=\frac16\cdot\frac14=\frac{1}{24}.$

Por otro lado,

P(S)\,P(D)=\frac16\cdot\frac{3}{16}=\frac{3}{96}=\frac{1}{32}.

Como $\dfrac{1}{24}\neq\dfrac{1}{32}$ , los sucesos no son independientes. Equivalentemente, $P(D\mid S)=\frac14\neq P(D)=\frac{3}{16}$ : saber que salió un 6 cambia la probabilidad de obtener dos cruces, porque garantiza que se lanza la moneda buena.

Respuesta

No son independientes:

P(S\cap D)=\dfrac{1}{24}\neq P(S)\,P(D)=\dfrac16\cdot\dfrac{3}{16}=\dfrac{1}{32}

Criterios de corrección oficiales

a) 3 puntos, resultado 8/17 ≈ 0,4706. b) 4 puntos, resultado 5/6 ≈ 0,8333. c) 3 puntos por razonar que no son independientes (intersección 1/24 y producto de probabilidades 1/32). En a) y c), hasta 2 puntos por el planteamiento o la fórmula y 1 por el resultado; en b), hasta 3 y 1. Una probabilidad imposible anula el apartado, salvo que se advierta.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente · última revisión: 21 de octubre de 2026, 13:02

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Ejercicios resueltos

Problema 1

Planteamiento del sistema

Resolución del sistema

Problema 2

a) Matriz XXX tal que X−1A+A=BX^{-1}A + A = BX−1A+A=B

b) Matriz YYY tal que (A−B) Y−A Y=I(A-B)\,Y - A\,Y = I(A−B)Y−AY=I

c) Matriz ZZZ tal que A Z A−1=IA\,Z\,A^{-1} = IAZA−1=I

Problema 3

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

b) Asíntotas horizontales y verticales

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

d) Máximos y mínimos locales

e) Representación gráfica

Problema 4

a) Valor de aaa para que fff sea continua

b) Máximos y mínimos locales en ]−9/2, −3/2[\left]-9/2,\,-3/2\right[]−9/2,−3/2[ para a=9a=9a=9

c) Área entre fff, x=2x=2x=2, x=3x=3x=3 y el eje OXOXOX para a=0a=0a=0

Problema 5

a) Probabilidad de que sepa alemán

b) Probabilidad de que sepa alemán y no inglés

c) Si no sabe alemán, probabilidad de que sepa inglés

Problema 6

a) Probabilidad de un número mayor que 2 sabiendo que salieron dos caras

b) Probabilidad de la unión

c) ¿Son independientes «sacar un 6» y «dos cruces»?

Practica con las herramientas

Más ejercicios por tema

a) Matriz $X$ tal que $X^{-1}A + A = B$

b) Matriz $Y$ tal que $(A-B)\,Y - A\,Y = I$

c) Matriz $Z$ tal que $A\,Z\,A^{-1} = I$

a) Valor de $a$ para que $f$ sea continua

b) Máximos y mínimos locales en $\left]-9/2,\,-3/2\right[$ para $a=9$

c) Área entre $f$ , $x=2$ , $x=3$ y el eje $OX$ para $a=0$