Ejemplo resuelto paso a paso

Racional con asíntota oblicua

\begin{aligned}\operatorname{Dom} f &: \mathbb{R}\setminus\left\{1\right\} \\ \text{Simetría} &: \text{ninguna} \\ \text{Asíntotas} &: x = 1,\ y = x + 1 \\ \text{Extremos} &: \text{máx } \left(0,\ 0\right),\ \text{mín } \left(2,\ 4\right) \\ \text{Inflexión} &: \text{no tiene}\end{aligned}

1Dominio
Buscamos los valores de $x$ para los que se puede calcular $f(x)$ . Un denominador no puede valer cero: $x - 1$ se anula en $x = 1$ , así que ese valor queda fuera.
$\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}$
2Simetría
Calculamos $f(-x)$ cambiando $x$ por $-x$ y lo comparamos con $f(x)$ y con $-f(x)$ . No coincide ni con $f(x)$ ni con $-f(x)$ (por ejemplo, $f(2) = 4$ y $f(-2) = - \frac{4}{3}$ ), así que no tiene simetría par ni impar.
$f(-x) = \frac{x^{2}}{- x - 1} \ne f(x),\quad f(-x) \ne -f(x)$
3Cortes con los ejes
**Eje $Y$ ** ( $x = 0$ ): como $0$ está en el dominio, $f(0) = 0$ . Corta al eje $Y$ en $\left(0,\ 0\right)$ . **Eje $X$ ** ( $f(x) = 0$ ): resolvemos $x^{2} = 0$ y nos quedamos con las soluciones del dominio: $x = 0$ .
$\begin{aligned}&f(0) = 0 \;\Rightarrow\; \left(0,\ 0\right) \\ &\frac{x^{2}}{x - 1} = 0 \;\Rightarrow\; x = 0\end{aligned}$
4Asíntotas verticales
Solo puede haber asíntotas verticales en los puntos que no son del dominio o en sus bordes. En $x = 1$ (fuera del dominio) algún límite lateral es infinito: hay asíntota vertical $x = 1$ .
$\begin{aligned}&\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty\end{aligned}$
5Asíntotas horizontales y oblicuas
Estudiamos $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$ por separado. Si es un número $L$ , hay asíntota horizontal $y = L$ ; si es infinito, buscamos una oblicua $y = mx + n$ con $m = \lim f(x)/x$ y $n = \lim (f(x) - mx)$ . Cuando $x \to \pm\infty$ el límite es infinito (no hay horizontal), pero $f(x)/x$ tiende a un número no nulo, $m = 1$ , y $f(x) - mx$ tiende a $n = 1$ : asíntota oblicua $y = x + 1$ . La curva queda por encima de ella en $+\infty$ y por debajo en $-\infty$ .
$\begin{aligned}&\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \\ &m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 \\ &n = \lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - x\right) = 1 \;\Rightarrow\; y = x + 1 \\ &\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \\ &m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 \\ &n = \lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - x\right) = 1 \;\Rightarrow\; y = x + 1\end{aligned}$
6Derivada
Para saber dónde crece y dónde decrece, derivamos con la regla del cociente, $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , y simplificamos lo posible: el signo de $f'$ dice si la función sube ( $f'>0$ ) o baja ( $f'<0$ ).
$f'(x) = \frac{2 x\cdot \left(x - 1\right) - x^{2}\cdot 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$
7Puntos críticos y tabla de signos
Los puntos críticos son los $x$ del dominio con $f'(x) = 0$ : $x = 0$ , $x = 2$ . Partimos la recta por esos puntos (y por los que no son del dominio) y miramos el signo de $f'$ en un valor de cada trozo:
$\begin{gathered}f'(x) = 0 \iff x = 0,\ x = 2\\[6pt]\begin{array}{c|ccccccc} x & \left(-\infty,\ 0\right) & 0 & \left(0,\ 1\right) & 1 & \left(1,\ 2\right) & 2 & \left(2,\ +\infty\right) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}\end{gathered}$
8Monotonía y extremos
Crece en $\left(-\infty,\ 0\right)$ $\cup$ $\left(2,\ +\infty\right)$ . Decrece en $\left(0,\ 1\right)$ $\cup$ $\left(1,\ 2\right)$ . En $x = 0$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en $\left(0,\ 0\right)$ . En $x = 2$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $\left(2,\ 4\right)$ .
$\begin{aligned}&\text{Crece en } \left(-\infty,\ 0\right) \cup \left(2,\ +\infty\right) \\ &\text{Decrece en } \left(0,\ 1\right) \cup \left(1,\ 2\right) \\ &\text{Máximo relativo: } \left(0,\ 0\right) \\ &\text{Mínimo relativo: } \left(2,\ 4\right)\end{aligned}$
9Segunda derivada
Derivamos otra vez: el signo de $f''$ da la curvatura. Si $f''>0$ la función es cóncava hacia arriba ( $\cup$ ); si $f''<0$ es cóncava hacia abajo ( $\cap$ ). Ojo con los nombres: unos libros llaman «convexa» a la forma $\cup$ y «cóncava» a la forma $\cap$ , y otros justo al revés; por eso aquí decimos «hacia arriba» o «hacia abajo». $f''(x)$ no se anula en el dominio.
$\begin{gathered}f''(x) = \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\\[6pt]\begin{array}{c|ccc} x & \left(-\infty,\ 1\right) & 1 & \left(1,\ +\infty\right) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ f(x) & \cap & \nexists & \cup \end{array}\end{gathered}$
10Curvatura y puntos de inflexión
Cóncava hacia arriba ( $\cup$ ) en $\left(1,\ +\infty\right)$ . Cóncava hacia abajo ( $\cap$ ) en $\left(-\infty,\ 1\right)$ . No tiene puntos de inflexión. (La curvatura puede cambiar en un punto que no es del dominio, pero eso no es un punto de inflexión.)
$\begin{aligned}&\cup \text{ en } \left(1,\ +\infty\right) \\ &\cap \text{ en } \left(-\infty,\ 1\right)\end{aligned}$
11Gráfica
Juntamos todo: dominio, cortes, asíntotas (en naranja, discontinuas), extremos (en rojo) y puntos de inflexión (en naranja). Asíntotas: vertical x = 1; oblicua y = x + 1. Extremos relativos: máximo en (0, 0); mínimo en (2, 4). Corta al eje X en x = 0.

Qué es el estudio de una función

Estudiar una función es reunir toda la información que permite dibujar su gráfica con precisión: dónde existe, dónde corta a los ejes, cómo se comporta en los extremos y en las discontinuidades, dónde crece o decrece y cómo se curva.

El método paso a paso

Dominio. Excluye lo que anula denominadores, hace negativo un radicando de índice par o da un argumento $\le 0$ en un logaritmo.
Simetría. Si $f(-x)=f(x)$ , es par (simétrica respecto al eje $Y$ ). Si $f(-x)=-f(x)$ , es impar (simétrica respecto al origen).
Cortes con los ejes. Con el eje $Y$ : $f(0)$ . Con el eje $X$ : $f(x)=0$ .
Asíntotas.
- Verticales $x=a$ : $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ (candidatos: puntos fuera del dominio).
- Horizontales $y=L$ : $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ .
- Oblicuas $y=mx+n$ (si no hay horizontal): $m=\lim\dfrac{f(x)}{x}$ y $n=\lim\big(f(x)-mx\big)$ .
Monotonía y extremos. Resuelve $f'(x)=0$ ; estudia el signo de $f'$ en los intervalos: $f'>0$ crece, $f'<0$ decrece. Máximo si pasa de $+$ a $-$ ; mínimo si pasa de $-$ a $+$ .
Curvatura e inflexión. Resuelve $f''(x)=0$ ; si $f''>0$ la gráfica se curva hacia arriba ( $\cup$ ) y si $f''<0$ se curva hacia abajo ( $\cap$ ). (Los libros no usan los mismos nombres «cóncava» y «convexa» para cada caso; aquí usamos «hacia arriba» y «hacia abajo» para evitar confusiones.) Hay inflexión donde $f''$ cambia de signo (la gráfica pasa de curvarse hacia un lado a curvarse hacia el otro).
Gráfica. Dibuja asíntotas, puntos notables y une todo respetando monotonía y curvatura.

Un ejemplo completo

Estudiemos

f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}.

Dominio: $x^2-1=0$ para $x=\pm1$ , luego $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ .

Simetría: $f(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2-1}=-f(x)$ , así que es impar.

Cortes: $f(0)=0$ y $x^3=0$ solo en $x=0$ . Único punto de corte: $(0,0)$ .

Asíntotas verticales: $x=1$ y $x=-1$ . Por ejemplo, $\lim_{x\to1^+}f=+\infty$ y $\lim_{x\to1^-}f=-\infty$ . Los límites en $-1$ son $\lim_{x\to-1^+}f=+\infty$ y $\lim_{x\to-1^-}f=-\infty$ .

Asíntotas horizontales: no hay, porque $\lim_{x\to\pm\infty}f=\pm\infty$ .

Asíntota oblicua: $m=\lim\dfrac{f(x)}{x}=\lim\dfrac{x^2}{x^2-1}=1$ y $n=\lim\left(\dfrac{x^3}{x^2-1}-x\right)=\lim\dfrac{x}{x^2-1}=0$ . La asíntota oblicua es $y=x$ .

Monotonía:

f'(x)=\frac{3x^2(x^2-1)-2x\cdot x^3}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2\,(x^2-3)}{(x^2-1)^2}.

Se anula en $x=0$ y $x=\pm\sqrt3$ . El denominador y $x^2$ son positivos, así que el signo de $f'$ es el de $x^2-3$ :

Intervalo	$(-\infty,-\sqrt3)$	$(-\sqrt3,-1)$	$(-1,1)$	$(1,\sqrt3)$	$(\sqrt3,\infty)$
$f'$	$+$	$-$	$-$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	decrece	decrece	crece

Hay un máximo local en $x=-\sqrt3$ , con valor $f(-\sqrt3)=-\dfrac{3\sqrt3}{2}\approx-2{,}60$ , y un mínimo local en $x=\sqrt3$ , con $f(\sqrt3)=\dfrac{3\sqrt3}{2}\approx2{,}60$ . En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, así que no es extremo.

Curvatura:

f''(x)=\frac{2x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.

Se anula solo en $x=0$ . El signo de $f''$ es el de $x/(x^2-1)^3$ : negativo en $(-\infty,-1)$ , positivo en $(-1,0)$ , negativo en $(0,1)$ y positivo en $(1,\infty)$ . Por tanto la gráfica se curva hacia abajo en $(-\infty,-1)$ y $(0,1)$ , y hacia arriba en $(-1,0)$ y $(1,\infty)$ . En $(0,0)$ hay un punto de inflexión.

Gráfica: dibuja las asíntotas $x=\pm1$ y $y=x$ , el origen (inflexión con tangente horizontal) y el máximo y el mínimo; al ser impar, basta dibujar $x>0$ y reflejar respecto al origen.

Errores típicos

Olvidar comprobar el dominio antes de hablar de cortes o extremos.
Dar como extremo un punto con $f'=0$ sin estudiar el signo: puede ser un punto de inflexión.
Confundir cóncava y convexa. Según el libro significan lo contrario; indica siempre el signo de $f''$ o di «hacia arriba» o «hacia abajo».
Buscar asíntota oblicua cuando ya hay horizontal por ese lado.
Olvidar los límites laterales en las asíntotas verticales.
Sustituir los puntos críticos en $f'$ en lugar de en $f$ para obtener la ordenada del extremo.

Practica: resuelve una ecuación para hallar los cortes o los puntos críticos.

Preguntas frecuentes

¿Qué hay que estudiar para representar una función?

Dominio, simetrías, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento y extremos con la primera derivada, y curvatura e inflexión con la segunda derivada. Con todo ello se dibuja la gráfica.

¿Cómo se calcula el dominio de una función?

Se excluyen los valores que anulan un denominador, hacen negativo el radicando de una raíz de índice par o dan un argumento no positivo en un logaritmo.

¿Cómo se hallan los máximos y mínimos?

Se resuelve f'(x) = 0 y se estudia el signo de f' a ambos lados de cada solución. Si pasa de positivo a negativo hay un máximo, y si pasa de negativo a positivo, un mínimo.

¿Cómo se calculan las asíntotas?

Las verticales están en los puntos donde el límite es infinito. La horizontal es y = L si el límite en infinito vale L. La oblicua es y = mx + n con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x) - mx).

¿Qué es un punto de inflexión?

Es un punto de la gráfica donde cambia la curvatura, de cóncava a convexa o al revés. Se busca resolviendo f''(x) = 0 y comprobando que f'' cambia de signo.

Estudio completo de una función paso a paso

Ejemplo resuelto paso a paso

1Dominio

2Simetría

3Cortes con los ejes

4Asíntotas verticales

5Asíntotas horizontales y oblicuas

6Derivada

7Puntos críticos y tabla de signos

8Monotonía y extremos

9Segunda derivada

10Curvatura y puntos de inflexión

11Gráfica

Qué es el estudio de una función

El método paso a paso

Un ejemplo completo

Errores típicos

Preguntas frecuentes

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