Calculadora de derivadas paso a paso

Qué es la derivada y cuándo se usa

La derivada de una función $f$ en un punto $x$ mide cuánto cambia $f$ por cada unidad que cambia $x$. Se define como un límite,

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

y geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto.

En la práctica nadie calcula ese límite cada vez: se usa una pequeña tabla de derivadas y unas pocas reglas que permiten derivar casi cualquier función que aparezca en Bachillerato.

El método paso a paso

Derivadas básicas ($k$ y $a$ son constantes):

Función	Derivada
$k$	$0$
$x^n$	$n\,x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\operatorname{sen}x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\operatorname{sen}x$
$\operatorname{tg}x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\operatorname{tg}^2x$
$\operatorname{arctg}x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{arcsen}x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Reglas de derivación:

• Suma: $(u\pm v)'=u'\pm v'$. Una constante multiplicando sale fuera: $(k\,u)'=k\,u'$.
• Producto: $(u\cdot v)'=u'v+u\,v'$.
• Cociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-u\,v'}{v^2}$.
• Cadena: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$. Se deriva «de fuera adentro»: primero la función exterior, sin tocar lo de dentro, y luego se multiplica por la derivada de lo de dentro.

Para derivar una función:

1. Mira la última operación que se hace al evaluarla: ¿es una suma, un producto, un cociente o una composición?
2. Aplica la regla correspondiente, que te deja derivadas de piezas más sencillas.
3. Deriva cada pieza (con la tabla o con otra regla) y sustituye.
4. Simplifica: saca factor común y no dejes potencias sin agrupar.

Al leer los pasos de la calculadora, fíjate en la columna «regla»: te dice qué regla se ha aplicado en cada línea y a qué trozo.

Un ejemplo completo

Derivemos

$$f(x)=\frac{x\,e^{2x}}{x^2+1}.$$

La última operación es un cociente, con $u=x\,e^{2x}$ y $v=x^2+1$.

Para $u$ hace falta el producto y la cadena:

$$u'=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=e^{2x}(1+2x),\qquad v'=2x.$$

Aplicamos la regla del cociente:

$$f'(x)=\frac{e^{2x}(1+2x)(x^2+1)-x\,e^{2x}\cdot 2x}{(x^2+1)^2}.$$

Sacamos $e^{2x}$ como factor común y desarrollamos lo que queda en el numerador: $(1+2x)(x^2+1)-2x^2=2x^3-x^2+2x+1$. Por tanto

$$f'(x)=\frac{e^{2x}\left(2x^3-x^2+2x+1\right)}{(x^2+1)^2}.$$

Errores típicos

• Olvidar la regla de la cadena. La derivada de $e^{2x}$ es $2e^{2x}$, no $e^{2x}$; la de $\operatorname{sen}(3x)$ es $3\cos(3x)$.
• Derivar un producto como producto de derivadas. $(uv)'$ no es $u'v'$.
• Cambiar el orden en el cociente. En el numerador va $u'v-uv'$, en ese orden; al revés cambia el signo.
• Confundir $x^n$ con $a^x$. Si la variable está en la base se baja el exponente; si está en el exponente aparece $\ln a$.
• No simplificar al final, lo que complica después resolver $f'(x)=0$.

Practica: calcula la recta tangente a una función en un punto.