Calculadora de límites paso a paso

Qué es un límite

El límite $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$ dice a qué valor se acerca $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$, sin importar lo que ocurra exactamente en $x=a$. El punto $a$ puede ser un número o $\pm\infty$, y el resultado puede ser un número o $\pm\infty$.

El método paso a paso

1. Sustituye directamente. Si sale un número, ese es el límite. Si sale $\frac{k}{0}$ con $k\neq0$, el límite es infinito (estudia los límites laterales para saber el signo).
2. Si sale una indeterminación, transforma la expresión según su tipo:

Indeterminación	Cómo se resuelve
$\dfrac00$	factorizar y simplificar; multiplicar por el conjugado si hay raíces; L’Hôpital
$\dfrac{\infty}{\infty}$	dividir entre la mayor potencia de $x$ (comparar grados); L’Hôpital
$\infty-\infty$	operar (común denominador) o multiplicar por el conjugado
$0\cdot\infty$	pasar a cociente: $0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}$ o $\dfrac{\infty}{1/0}$
$1^{\infty}$	número $e$: $\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}$
$0^0,\ \infty^0$	tomar logaritmos: $\ln L=\lim g\ln f$

3. Regla de L’Hôpital. Si $\frac00$ o $\frac\infty\infty$ y las funciones son derivables, $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ (si este último existe). Se puede repetir.
4. Límites laterales. $\lim_{x\to a^-}$ y $\lim_{x\to a^+}$. El límite existe si ambos coinciden.

Un ejemplo completo

$\frac00$ con factorización:

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6.$$

$\frac00$ con raíces (conjugado):

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac14.$$

$\frac\infty\infty$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+x}{2x^2-5}=\frac32.$$

Los grados son iguales, y el límite es el cociente de los coeficientes principales.

$\infty-\infty$:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac12.$$

$1^\infty$:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{2x}=e^{\lim 2x\left(\frac{x+3}{x+1}-1\right)}=e^{\lim\frac{4x}{x+1}}=e^{4}.$$

L’Hôpital:

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\overset{0/0}{=}\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}\overset{0/0}{=}\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.$$

$0\cdot\infty$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.$

Laterales: $\displaystyle\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty$ y $\displaystyle\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty$. Como no coinciden, $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}$ no existe.

Errores típicos

• Escribir «$\frac00=0$» o «$\frac00=1$». Es una indeterminación, no un número.
• Aplicar L’Hôpital sin que sea $\frac00$ o $\frac\infty\infty$, o derivar el cociente con la regla del cociente en lugar de derivar numerador y denominador por separado.
• Resolver $1^\infty$ sin pasar por $e$, o olvidar restar $1$ a la base.
• Olvidar el signo en los límites en $-\infty$. Por ejemplo, $x^3\to-\infty$ cuando $x\to-\infty$.
• Simplificar sin haber factorizado, cancelando sumandos en vez de factores.

Practica: calcula la derivada de una función paso a paso.