Ejemplo resuelto paso a paso

Polinomio en x e y

\begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2} - 3 y \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} y - 3 x + 2\end{gathered}

1Derivada parcial respecto de x
Derivamos respecto de $x$ y tratamos $y$ como una constante: se deriva como si fuera un número.
$f(x, y) = x^{3} y^{2} - 3 x y + 2 y$
2Derivada de un polinomio
Derivamos término a término con la regla de la potencia, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ . Los términos sin $x$ son constantes y su derivada es $0$ .
$\frac{\partial f}{\partial x} = \htmlClass{az}{\frac{\partial}{\partial x}(x^{3} y^{2})} + \htmlClass{ro}{\frac{\partial}{\partial x}(-3 x y)} + \htmlClass{ve}{\frac{\partial}{\partial x}(2 y)} = \htmlClass{az}{y^{2} \cdot 3 x^{2}} - \htmlClass{ro}{3 y} + \htmlClass{ve}{0} = 3 x^{2} y^{2} - 3 y$
3Derivada parcial respecto de y
Derivamos respecto de $y$ y tratamos $x$ como una constante: se deriva como si fuera un número.
$f(x, y) = x^{3} y^{2} - 3 x y + 2 y$
4Derivada de un polinomio
Derivamos término a término con la regla de la potencia, $(y^n)' = n\,y^{n-1}$ .
$\frac{\partial f}{\partial y} = \htmlClass{az}{\frac{\partial}{\partial y}(x^{3} y^{2})} + \htmlClass{ro}{\frac{\partial}{\partial y}(-3 x y)} + \htmlClass{ve}{\frac{\partial}{\partial y}(2 y)} = \htmlClass{az}{x^{3} \cdot 2 y} - \htmlClass{ro}{3 x} + \htmlClass{ve}{2} = 2 x^{3} y - 3 x + 2$
5Derivadas parciales de segundo orden
Derivando otra vez cada derivada parcial se obtienen las de segundo orden. Las cruzadas coinciden (teorema de Schwarz): da igual derivar primero respecto de una variable o de la otra.
$\begin{gathered}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6 x y^{2} \\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = 6 x^{2} y - 3 \\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 x^{3}\end{gathered}$
6Vector gradiente
El gradiente reúne las derivadas parciales de primer orden; apunta hacia donde la función crece más deprisa.
$\nabla f = \left(3 x^{2} y^{2} - 3 y,\ 2 x^{3} y - 3 x + 2\right)$

Qué son las derivadas parciales

Cuando una función depende de varias variables, como $f(x,y)$ , no basta una sola derivada: hay que decir respecto a qué variable se deriva. La derivada parcial respecto a $x$ , que se escribe $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ o $f_x$ , mide cómo cambia $f$ cuando se mueve solo $x$ y $y$ se mantiene fija. Lo mismo ocurre con $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ o $f_y$ .

Se usan para estudiar superficies, planos tangentes, optimización de funciones de varias variables y en física y economía.

El método paso a paso

Para calcular $f_x$ , trata $y$ como una constante (como si fuera un número) y deriva respecto a $x$ con las reglas de siempre.
Para calcular $f_y$ , haz lo contrario: $x$ es la constante y derivas respecto a $y$ .
El gradiente es el vector de las derivadas parciales:
$\nabla f(x,y)=\left(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\right).$
Si te piden un valor en un punto $(a,b)$ , primero deriva y después sustituye.
Las derivadas parciales de segundo orden se obtienen derivando de nuevo: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ (derivar primero respecto a $x$ y luego respecto a $y$ ), etc.

Un ejemplo completo

Sea $f(x,y)=x^2y^3+e^{xy}$ .

Respecto a $x$ , con $y$ constante: $x^2y^3$ se deriva como $x^2$ por la constante $y^3$ , y $e^{xy}$ por la regla de la cadena, con derivada interior $y$ :

f_x=2xy^3+y\,e^{xy}.

Respecto a $y$ , con $x$ constante:

f_y=3x^2y^2+x\,e^{xy}.

En el punto $(1,1)$ el gradiente vale

\nabla f(1,1)=\left(2+e,\;3+e\right).

Derivada cruzada: derivando $f_x$ respecto a $y$ ,

f_{xy}=6xy^2+e^{xy}+xy\,e^{xy},

y se obtiene el mismo resultado derivando $f_y$ respecto a $x$ .

Errores típicos

Derivar la otra variable como si fuera la variable. Si derivas respecto a $x$ , la $y$ no desaparece: se queda multiplicando como una constante.
Olvidar la cadena. En $e^{xy}$ , la derivada respecto a $x$ es $y\,e^{xy}$ , no $e^{xy}$ .
Sustituir el punto antes de derivar. Si sustituyes $y=1$ antes de calcular $f_y$ , la función ya no depende de $y$ y la derivada sale mal.
Perder el término que no depende de la variable. Un sumando que solo tiene $y$ se anula al derivar respecto a $x$ .
Confundir $\partial$ con $d$ . El símbolo $\partial$ avisa de que hay más variables.

Practica: calcula la derivada de una función de una variable paso a paso.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una derivada parcial?

Es la derivada de una función de varias variables respecto a una de ellas, considerando las demás como constantes. Indica cómo cambia la función al moverse solo en la dirección de esa variable.

¿Cómo se calcula la derivada parcial respecto a x?

Se deriva la función como si solo existiera la variable x y la y fuera un número cualquiera. Se aplican las reglas habituales de derivación.

¿Qué es el gradiente?

Es el vector formado por todas las derivadas parciales de la función. En cada punto apunta en la dirección en la que la función crece más deprisa.

¿Importa el orden en las derivadas parciales de segundo orden?

En las funciones habituales de Bachillerato y primeros cursos, no: la derivada parcial respecto a x y luego a y coincide con la de y y luego x. Es el llamado teorema de Schwarz, que exige que las derivadas segundas sean continuas.

¿Cuál es la diferencia entre derivada y derivada parcial?

La derivada se aplica a funciones de una variable. La derivada parcial es su versión para funciones de dos o más variables, derivando respecto a una cada vez.

Calculadora de derivadas parciales paso a paso

Ejemplo resuelto paso a paso

1Derivada parcial respecto de x

2Derivada de un polinomio

3Derivada parcial respecto de y

4Derivada de un polinomio

5Derivadas parciales de segundo orden

6Vector gradiente

Qué son las derivadas parciales

El método paso a paso

Un ejemplo completo

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