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El bit perdido
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Resolver ecuaciones matriciales paso a paso (AX = B, XA + B = C…)

Calculadora de ecuaciones matriciales paso a paso: agrupa la X, saca factor común por el lado correcto, despeja con la matriz inversa y comprueba la solución. Admite traspuestas, potencias, escalares, X⁻¹ y matrices sin inversa.

Escribe AX para A·X, B^t o B' para la traspuesta, A^2, X^(-1) para la inversa e I para la identidad. La incógnita es la letra que no defines (X, Y o Z).

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

AX = BᵗX − C

X=(223−2−1)X = \left(\begin{array}{cc} 2 & \dfrac{2}{3} \\ -2 & -1 \end{array}\right)

  1. 1Los datos

    Resolvemos la ecuación en XX.

    AX=BtX−CA=(1234),B=(1011),C=(2101)\begin{gathered} AX = B^{t}X - C \\ A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right),\quad B = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\quad C = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{gathered}

  2. 2Agrupamos XX

    Pasamos a un lado los términos con XX y sacamos factor común por la izquierda, que es el lado en que está multiplicada. Los términos que se cancelan desaparecen.

    (A−Bt) X=−C\left(A - B^{t}\right)\,X = -C

  3. 3Calculamos A−BtA - B^{t}

    Hacemos las operaciones.

    A−Bt=(0133)A - B^{t} = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 3 & 3 \end{array}\right)

  4. 4Calculamos −C-C

    Hacemos las operaciones del otro lado.

    −C=(−2−10−1)-C = \left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 0 & -1 \end{array}\right)

  5. 5Despejamos con la inversa

    ∣A−Bt∣=−3≠0|A - B^{t}| = -3 \neq 0, así que tiene inversa. Multiplicamos por ella por la izquierda en los dos lados: el orden importa, porque el producto de matrices no es conmutativo.

    X=(A−Bt)−1 (−C)X = \left(A - B^{t}\right)^{-1}\,\left(-C\right)

  6. 6La inversa de A−BtA - B^{t}

    Se calcula por adjuntos o por Gauss-Jordan (puedes ver los pasos en la calculadora de la matriz inversa).

    (A−Bt)−1=(−11310)\left(A - B^{t}\right)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} -1 & \dfrac{1}{3} \\ 1 & 0 \end{array}\right)

  7. 7Calculamos XX

    Multiplicamos en el orden en que hemos despejado.

    X=(−11310)(−2−10−1)=(223−2−1)X = \left(\begin{array}{cc} -1 & \dfrac{1}{3} \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 0 & -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2 & \dfrac{2}{3} \\ -2 & -1 \end{array}\right)

  8. 8Comprobación

    Sustituimos XX en la ecuación original y hacemos las operaciones de cada lado: coinciden.

    AX=(−2−43−2−2)BtX−C=(−2−43−2−2)\begin{aligned} AX &= \left(\begin{array}{cc} -2 & -\dfrac{4}{3} \\ -2 & -2 \end{array}\right) \\ B^{t}X - C &= \left(\begin{array}{cc} -2 & -\dfrac{4}{3} \\ -2 & -2 \end{array}\right) \end{aligned}

El método

Una ecuación matricial se resuelve como una ecuación de primer grado, con dos diferencias: no se divide entre matrices (se multiplica por la inversa) y el orden importa (ABAB no es, en general, BABA).

  1. Pasa a un lado todos los términos con XX y al otro los demás.
  2. Saca factor común la XX por el lado en que está multiplicada: AX+2X=(A+2I)XAX + 2X = (A + 2I)X, o XA−XB=X(A−B)XA - XB = X(A - B).
  3. Comprueba que la matriz que acompaña a XX tiene inversa (determinante distinto de cero).
  4. Multiplica por esa inversa por el mismo lado: si es MX=NMX = N, entonces X=M−1NX = M^{-1}N; si es XM=NXM = N, entonces X=NM−1X = NM^{-1}.

Un ejemplo completo

Resolvamos AX=BtX−CAX = B^tX - C con

A=(1234),B=(1011),C=(2101).A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}.

Pasamos los términos con XX a la izquierda: AX−BtX=−CAX - B^tX = -C, y sacamos factor común por la izquierda: (A−Bt)X=−C(A - B^t)X = -C. Como

A−Bt=(0133),∣A−Bt∣=−3≠0,A - B^t=\begin{pmatrix}0&1\\3&3\end{pmatrix},\qquad |A - B^t| = -3 \neq 0,

tiene inversa, y X=(A−Bt)−1(−C)X = (A - B^t)^{-1}(-C):

X=(−11310)(−2−10−1)=(223−2−1).X=\begin{pmatrix}-1&\frac13\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&\frac23\\-2&-1\end{pmatrix}.

Errores típicos

  • Multiplicar por la inversa por el lado equivocado: de XA=BXA = B no sale X=A−1BX = A^{-1}B.
  • Sacar factor común sin la identidad: AX−X=(A−I)XAX - X = (A - I)X, no (A−1)X(A - 1)X.
  • «Dividir» entre una matriz.
  • No comprobar que la inversa existe antes de usarla.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se despeja X en AX = B?

Si A tiene inversa, se multiplica por A⁻¹ por la izquierda en los dos lados: A⁻¹AX = A⁻¹B, es decir, X = A⁻¹B. No vale B·A⁻¹: el producto de matrices no es conmutativo.

¿Y en XA = B?

Ahora A multiplica a X por la derecha, así que se multiplica por A⁻¹ por la derecha: X = BA⁻¹.

¿Cómo se saca factor común la X?

Por el lado en que está multiplicada: AX − 2X = (A − 2I)X. Ojo: hay que escribir 2I, no 2, porque A − 2 no tiene sentido (no se puede restar un número a una matriz). La calculadora tampoco lo admite: si escribes B + 2, te pide que pongas 2I.

¿Qué pasa si la matriz que hay que invertir no tiene inversa?

No se puede despejar con la inversa. La ecuación es entonces un sistema de ecuaciones lineales para cada columna de X, que puede no tener solución o tener infinitas. La calculadora lo resuelve y te dice qué caso es.

¿Qué ecuaciones no resuelve la calculadora?

Las que no son lineales en X (X², XAX), las que llevan la traspuesta de la incógnita (Xᵗ) o la incógnita dentro de un paréntesis invertido, como (A⁻¹X)⁻¹, y las que tienen X multiplicada por la izquierda en unos términos y por la derecha en otros. Las matrices se escriben con los números separados por espacios y las filas por «;» (A = 1 2; 3 4), sin paréntesis, con los decimales con punto (1.5) o como fracción (3/2), y las potencias con ^ (A^2, no A2).

¿Cómo compruebo que la X está bien?

Sustituyéndola en la ecuación original y haciendo las operaciones: los dos lados tienen que dar la misma matriz. La calculadora lo hace siempre al final.

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