PAU MACS II Comunitat Valenciana 2026 julio (examen de solapamiento)

Ejercicio 1.1 · Problema 1.A

Enunciado

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Consideramos las matrices:

A=\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&-2&1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1/3&0&0\\0&1/3&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

a) Determina $BB^t$ , siendo $B^t$ la traspuesta de la matriz $B$ . (0,5 puntos)

b) Consideramos la matriz $D=\lambda B$ , siendo $\lambda$ un número real. Determina $\lambda$ para que $DD^t=I$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0,5 puntos)

c) Halla $(B\,B^t)^5$ . (0,5 puntos)

d) Determina la matriz $X$ que es solución de la ecuación $5XA-BCB^t=I$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (2 puntos)

Solución

a) Producto $BB^t$

La traspuesta de $B$ se obtiene cambiando filas por columnas:

B^t=\begin{pmatrix}1&2\\2&-2\\2&1\end{pmatrix}.

$B$ es $2\times 3$ y $B^t$ es $3\times 2$ , así que el producto existe y es una matriz $2\times 2$ . Multiplicamos fila por columna:

BB^t=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&-2\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+4+4&2-4+2\\2-4+2&4+4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}=9I.

Respuesta

BB^t=\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}=9I

.

b) Valor de $\lambda$ para que $DD^t=I$

Como $D=\lambda B$ , su traspuesta es $D^t=(\lambda B)^t=\lambda B^t$ . Por tanto, usando el apartado a):

DD^t=(\lambda B)(\lambda B^t)=\lambda^2\,BB^t=\lambda^2\cdot 9I=\begin{pmatrix}9\lambda^2&0\\0&9\lambda^2\end{pmatrix}.

Igualamos a la identidad:

\begin{pmatrix}9\lambda^2&0\\0&9\lambda^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\iff 9\lambda^2=1\iff \lambda^2=\frac19\iff \lambda=\pm\frac13.

Comprobación: para $\lambda=\pm\frac13$ , $DD^t=\frac19\cdot 9I=I$ .

Respuesta

\lambda=\dfrac13

o

\lambda=-\dfrac13

.

c) Potencia $(BB^t)^5$

Gracias al apartado a), $BB^t=9I$ , así que no hace falta multiplicar matrices cinco veces. Los escalares conmutan con las matrices y salen fuera del producto, e $I^k=I$ :

(BB^t)^5=(9I)^5=9I\cdot 9I\cdot 9I\cdot 9I\cdot 9I=9^5\,I^5=9^5\,I.

Sin calculadora: $9^2=81$ , $9^3=729$ , $9^4=6561$ y $9^5=59049$ . Por tanto,

(BB^t)^5=59049\,I=\begin{pmatrix}59049&0\\0&59049\end{pmatrix}.

Respuesta

(BB^t)^5=9^5I=\begin{pmatrix}59049&0\\0&59049\end{pmatrix}

.

d) Ecuación matricial $5XA-BCB^t=I$

Inversa de $A$ . $|A|=\begin{vmatrix}1&5\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0$ , luego $A$ es invertible. Los adjuntos son $A_{11}=1$ , $A_{12}=0$ , $A_{21}=-5$ , $A_{22}=1$ , de modo que

A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}A\right)^t=\begin{pmatrix}1&-5\\0&1\end{pmatrix}.

Para una matriz $2\times 2$ hay un atajo: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los de la secundaria y se divide entre $|A|$ . Aquí da lo mismo.

Comprobación: $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-5\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ .

Despejamos $X$ . Pasamos $BCB^t$ al otro miembro:

5XA=I+BCB^t\quad\Longrightarrow\quad XA=\frac15\left(I+BCB^t\right).

Como $A$ tiene inversa, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ en los dos miembros (el producto de matrices no es conmutativo, así que el lado importa):

X=\frac15\left(I+BCB^t\right)A^{-1}.

Cálculo de $BCB^t$ .

BC=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac13&0&0\\0&\frac13&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13&\frac23&2\\[2pt]\frac23&-\frac23&1\end{pmatrix},

BCB^t=\begin{pmatrix}\frac13&\frac23&2\\[2pt]\frac23&-\frac23&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&-2\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13+\frac43+4&\frac23-\frac43+2\\[2pt]\frac23-\frac43+2&\frac43+\frac43+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{17}{3}&\frac43\\[2pt]\frac43&\frac{11}{3}\end{pmatrix}.

Detalle de las sumas: $\frac13+\frac43+4=\frac53+\frac{12}{3}=\frac{17}{3}$ ; $\frac23-\frac43+2=-\frac23+\frac63=\frac43$ ; $\frac43+\frac43+1=\frac83+\frac33=\frac{11}{3}$ . Sale una matriz simétrica (los dos $\frac43$ coinciden), como debe ser, porque $(BCB^t)^t=BC^tB^t=BCB^t$ al ser $C$ diagonal: es un buen control de las cuentas.

Sumamos $I$ (solo cambia la diagonal: $\frac{17}{3}+1=\frac{20}{3}$ y $\frac{11}{3}+1=\frac{14}{3}$ ):

I+BCB^t=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&\frac43\\[2pt]\frac43&\frac{14}{3}\end{pmatrix}.

Cálculo de $X$ .

\left(I+BCB^t\right)A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&\frac43\\[2pt]\frac43&\frac{14}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-5\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&-\frac{100}{3}+\frac43\\[2pt]\frac43&-\frac{20}{3}+\frac{14}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&-32\\[2pt]\frac43&-2\end{pmatrix},

porque $-\frac{100}{3}+\frac43=-\frac{96}{3}=-32$ y $-\frac{20}{3}+\frac{14}{3}=-\frac63=-2$ . Dividimos entre 5:

X=\frac15\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&-32\\[2pt]\frac43&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac43&-\frac{32}{5}\\[2pt]\frac{4}{15}&-\frac25\end{pmatrix}.

Comprobación. $5X=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&-32\\[2pt]\frac43&-2\end{pmatrix}$ y

5XA=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&-32\\[2pt]\frac43&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&\frac43\\[2pt]\frac43&\frac{14}{3}\end{pmatrix}=I+BCB^t,

luego $5XA-BCB^t=I$ .

Respuesta

X=\dfrac15\left(I+BCB^t\right)A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac43&-\dfrac{32}{5}\\[4pt]\dfrac{4}{15}&-\dfrac25\end{pmatrix}

.

Ejercicio 1.2 · Problema 1.B

Enunciado

Problema 1. B. Una empresa de suministros tecnológicos vende tres tipos de componentes: procesadores, tarjetas gráficas y módulos de memoria. El departamento de contabilidad ha perdido la información sobre el precio individual de cada componente. No obstante, sabe que la venta de 2 procesadores, 1 tarjeta gráfica y 4 módulos de memoria sumó un total de 1020 € y que un lote de 3 procesadores y 2 tarjetas gráficas al que se aplicó un descuento equivalente al precio de 1 módulo de memoria se vendió al precio de 1280 €. Si el precio de una tarjeta gráfica es igual a la suma del precio de un procesador más el doble del precio de un módulo de memoria, determina el precio de cada componente.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Solución

Planteamiento

Llamamos

$P$ = precio de un procesador (en €),
$T$ = precio de una tarjeta gráfica (en €),
$M$ = precio de un módulo de memoria (en €).

Traducimos cada dato del enunciado a una ecuación:

«La venta de 2 procesadores, 1 tarjeta gráfica y 4 módulos de memoria sumó 1020 €»: $\;2P + T + 4M = 1020$ .
«Un lote de 3 procesadores y 2 tarjetas gráficas, con un descuento igual al precio de 1 módulo de memoria, se vendió por 1280 €»: el lote cuesta $3P + 2T$ y se le resta $M$ , luego $\;3P + 2T - M = 1280$ .
«El precio de una tarjeta gráfica es igual al de un procesador más el doble del de un módulo»: $\;T = P + 2M$ .

Obtenemos el sistema

\left\{ \begin{aligned} 2P + T + 4M &= 1020\\ 3P + 2T - M &= 1280\\ -P + T - 2M &= 0 \end{aligned} \right.

Su matriz de coeficientes tiene determinante

|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4\\ 3 & 2 & -1\\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 21 \neq 0,

así que $\operatorname{rg}(A) = 3$ . La matriz ampliada $A^*$ tiene tamaño $3\times 4$ y contiene a $A$ , luego $3 \le \operatorname{rg}(A^*) \le 3$ y $\operatorname{rg}(A^*) = 3$ . Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3$ es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado (teorema de Rouché-Frobenius): hay un único precio para cada componente.

Respuesta

\left\{\begin{aligned} 2P + T + 4M &= 1020\\ 3P + 2T - M &= 1280\\ T &= P + 2M \end{aligned}\right.

, con

P

,

T

y

M

los precios (en €) de un procesador, una tarjeta gráfica y un módulo de memoria.

Resolución

La tercera ecuación ya da $T$ despejada, así que sustituimos $T = P + 2M$ en las otras dos.

En la primera:

2P + (P + 2M) + 4M = 1020 \;\Longrightarrow\; 3P + 6M = 1020 \;\Longrightarrow\; P + 2M = 340.

Observa que $P + 2M$ es justamente $T$ , así que ya sabemos que $T = 340$ .

En la segunda:

3P + 2(P + 2M) - M = 1280 \;\Longrightarrow\; 5P + 3M = 1280.

Queda el sistema $2\times 2$

\left\{ \begin{aligned} P + 2M &= 340\\ 5P + 3M &= 1280 \end{aligned} \right.

De la primera, $P = 340 - 2M$ ; sustituyendo en la segunda:

5(340 - 2M) + 3M = 1280 \;\Longrightarrow\; 1700 - 7M = 1280 \;\Longrightarrow\; 7M = 420 \;\Longrightarrow\; M = 60.

Entonces $P = 340 - 2\cdot 60 = 220$ y $T = 220 + 2\cdot 60 = 340$ .

Comprobación en las tres ecuaciones:

$2\cdot 220 + 340 + 4\cdot 60 = 440 + 340 + 240 = 1020$ ✓
$3\cdot 220 + 2\cdot 340 - 60 = 660 + 680 - 60 = 1280$ ✓
$220 + 2\cdot 60 = 340 = T$ ✓

Los tres precios son positivos, así que la solución es coherente con el enunciado.

Nota

Otra forma de hacerlo: regla de Cramer. Con $|A| = 21$ (calculado arriba) y el orden de incógnitas $(P, T, M)$ :

P = \frac{\begin{vmatrix} 1020 & 1 & 4\\ 1280 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}}{21} = \frac{4620}{21} = 220,\qquad T = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1020 & 4\\ 3 & 1280 & -1\\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix}}{21} = \frac{7140}{21} = 340,\qquad M = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1020\\ 3 & 2 & 1280\\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{21} = \frac{1260}{21} = 60.

Error frecuente: escribir la segunda ecuación como $3P + 2T + M = 1280$ . El descuento equivale al precio de un módulo, así que ese precio se resta del lote.

Respuesta

Un procesador cuesta

220

€, una tarjeta gráfica

340

€ y un módulo de memoria

60

€.

Ejercicio 2.1 · Problema 2.A

Enunciado

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. En una carretera se sanciona a los vehículos con velocidad superior a 110 km/h o inferior a 80 km/h. Si el radar detecta un vehículo con velocidad inferior a 80 km/h, el conductor debe pagar 100 euros, sea cual sea su velocidad; si la velocidad detectada es superior a 110 km/h, el conductor debe pagar 50 euros más la diferencia entre la velocidad detectada por el radar y 110 km/h, en euros; si la velocidad detectada está entre 80 y 110 km/h, ambos incluidos, no debe pagar nada.

a) Obtén la función que indique los euros que debe pagar un conductor si el radar detecta que su coche circula a $x$ km/h, para cualquier $x\ge 0$ , y analiza en qué puntos esta función es continua y en qué puntos es discontinua. (1,25 puntos)

b) Calcula el área de la región delimitada por esta función, el eje $OX$ , la recta de ecuación $x=120$ y la recta de ecuación $x=125$ . (1 punto)

c) En otra carretera solo se sanciona a los vehículos con velocidad superior a 120 km/h. Si la velocidad detectada por el radar no es superior a 120 km/h, el conductor no debe pagar nada; en caso contrario, debe pagar el triple de la diferencia entre la velocidad detectada por el radar y 120 km/h, en euros. ¿A qué velocidades un conductor tendrá que pagar lo mismo en esta carretera que en la anterior? (1,25 puntos)

Solución

a) La función y su continuidad

Llamamos $f(x)$ a los euros que paga un conductor cuyo coche circula a $x$ km/h, con $x\ge 0$ . Traducimos cada caso del enunciado:

Si $0\le x<80$ , paga $100$ euros, sea cual sea la velocidad.
Si $80\le x\le 110$ , no paga nada: $0$ euros.
Si $x>110$ , paga $50$ euros más la diferencia $x-110$ : $50+(x-110)=x-60$ euros.

f(x)=\begin{cases} 100 & \text{si } 0\le x<80\\[2pt] 0 & \text{si } 80\le x\le 110\\[2pt] 50+(x-110)=x-60 & \text{si } x>110\end{cases}

Continuidad dentro de cada trozo. En $[0,80[$ la función es constante ( $f(x)=100$ ), en $]80,110[$ es constante ( $f(x)=0$ ) y en $]110,+\infty[$ es un polinomio ( $f(x)=x-60$ ). Las funciones constantes y polinómicas son continuas, así que $f$ es continua en $[0,80[\,\cup\,]80,110[\,\cup\,]110,+\infty[$ (en $x=0$ , extremo del dominio, solo cuenta el lado derecho: como $f(x)=100$ en $[0,80[$ , $\lim_{x\to 0^+}f(x)=100=f(0)$ , y $f$ es continua por la derecha en $x=0$ ).

Solo quedan por estudiar los puntos donde cambia la expresión, $x=80$ y $x=110$ .

En $x=80$ :

\lim_{x\to 80^-}f(x)=\lim_{x\to 80^-}100=100,\qquad \lim_{x\to 80^+}f(x)=\lim_{x\to 80^+}0=0,\qquad f(80)=0.

Los límites laterales son distintos ( $100\ne 0$ ), así que no existe $\lim_{x\to 80}f(x)$ y $f$ es discontinua en $x=80$ (discontinuidad de salto finito, de $100$ euros).

En $x=110$ :

\lim_{x\to 110^-}f(x)=\lim_{x\to 110^-}0=0,\qquad \lim_{x\to 110^+}f(x)=\lim_{x\to 110^+}(x-60)=50,\qquad f(110)=0.

Los límites laterales son distintos ( $0\ne 50$ ), así que no existe $\lim_{x\to 110}f(x)$ y $f$ es discontinua en $x=110$ (salto finito de $50$ euros).

Cargando la gráfica…

Gráfica de la multa f(x) para x entre 0 y 160 km/h: vale 100 euros hasta x = 80 (sin incluirlo), salta a 0 en x = 80 y sigue en 0 hasta x = 110; a la derecha de 110 es la recta y = x − 60, que parte de valores cercanos a 50 euros (sin alcanzarlo, pues f(110) = 0) y crece. Se ven dos saltos, en x = 80 y en x = 110. En x = 80 el valor 100 no se alcanza: f(80) = 0. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

$f(x)=\begin{cases} 100 & \text{si } 0\le x<80\\ 0 & \text{si } 80\le x\le 110\\ x-60 & \text{si } x>110\end{cases}$

$f$ es continua en $[0,80[\,\cup\,]80,110[\,\cup\,]110,+\infty[$ y discontinua (salto finito) en $x=80$ y en $x=110$ .

b) Área entre $x=120$ y $x=125$

En el intervalo $[120,125]$ estamos en el tercer trozo, $f(x)=x-60$ , y ahí $f(x)\ge 60>0$ : la gráfica está por encima del eje $OX$ . Por tanto el área es la integral definida, sin valores absolutos:

A=\int_{120}^{125}(x-60)\,dx.

Una primitiva es $F(x)=\dfrac{x^2}{2}-60x$ . Por la regla de Barrow:

A=\left[\frac{x^2}{2}-60x\right]_{120}^{125}=\left(\frac{125^2}{2}-60\cdot 125\right)-\left(\frac{120^2}{2}-60\cdot 120\right)=(7\,812{,}5-7\,500)-(7\,200-7\,200)=312{,}5.

Comprobación: la región es un trapecio de bases $f(120)=60$ y $f(125)=65$ y altura $5$ , de área $\dfrac{60+65}{2}\cdot 5=312{,}5$ .

Cargando la gráfica…

Recta y = x − 60 a la derecha de x = 110, con sombreada la región bajo ella entre x = 120 y x = 125: un trapecio de alturas 60 y 65 y anchura 5. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

A=\displaystyle\int_{120}^{125}(x-60)\,dx=312{,}5

unidades de área.

c) Velocidades a las que se paga lo mismo en las dos carreteras

En la segunda carretera, si el coche circula a $x$ km/h, el conductor paga

g(x)=\begin{cases} 0 & \text{si } 0\le x\le 120\\[2pt] 3(x-120) & \text{si } x>120\end{cases}

Buscamos los $x\ge 0$ con $f(x)=g(x)$ . Estudiamos cada intervalo, teniendo en cuenta los cortes de las dos funciones ( $80$ , $110$ y $120$ ):

$0\le x<80$ : $f(x)=100$ y $g(x)=0$ . Distintos: no hay solución.
$80\le x\le 110$ : $f(x)=0$ y $g(x)=0$ . Se paga lo mismo (nada) en todo el intervalo.
$110<x\le 120$ : $f(x)=x-60>50>0$ y $g(x)=0$ . Distintos: no hay solución.
$x>120$ : $f(x)=50+(x-110)$ y $g(x)=3(x-120)$ . Igualamos:

3(x-120)=50+(x-110)\iff 3x-360=x-60\iff 2x=300\iff x=150.

Como $150>120$ , la solución es válida. Comprobación: $f(150)=50+40=90$ euros y $g(150)=3\cdot 30=90$ euros.

Cargando la gráfica…

Las dos multas en función de la velocidad. La primera, f, vale 100 hasta 80 km/h, 0 entre 80 y 110 y luego es la recta x − 60. La segunda, g, vale 0 hasta 120 km/h y luego es la recta 3(x − 120), más empinada. Coinciden en todo el tramo entre 80 y 110 km/h, donde ambas valen 0, y en el punto (150, 90). Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

Se paga lo mismo en las dos carreteras a cualquier velocidad entre

80

y

110

km/h, ambas incluidas (no se paga nada en ninguna), y a

150

km/h (se pagan

90

euros en cada una).

Ejercicio 2.2 · Problema 2.B

Enunciado

Problema 2. B. Se considera la función:

f(x)=\frac{x^2-x}{1+x^2}

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (0,5 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen, y el valor de estos. (2 puntos)

d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)

Solución

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador. Ahora bien,

1+x^2=0 \iff x^2=-1,

que no tiene solución real ( $1+x^2\ge 1>0$ para todo $x$ ). El denominador no se anula nunca, así que

\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}.

Corte con el eje $Y$ ( $x=0$ ):

f(0)=\frac{0-0}{1+0}=0.

Punto $(0,0)$ .

Cortes con el eje $X$ ( $f(x)=0$ ): la fracción se anula cuando se anula el numerador.

x^2-x=0 \iff x(x-1)=0 \iff x=0 \ \text{ o } \ x=1.

Puntos $(0,0)$ y $(1,0)$ .

Respuesta

\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}

. Los puntos de corte con los ejes son

(0,0)

(con los dos ejes) y

(1,0)

(con el eje

X

).

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntotas verticales. Solo podría haberlas en puntos donde se anule el denominador. Como $1+x^2>0$ para todo $x$ , $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y no tiene límites infinitos en ningún punto: no hay asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, $2$ ; el límite es el cociente de los coeficientes principales:

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-x}{x^2+1}=\frac{1}{1}=1.

Hay asíntota horizontal $y=1$ , en $+\infty$ y en $-\infty$ .

Posición respecto de $y=1$ (útil para la gráfica):

f(x)-1=\frac{x^2-x-(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{-(x+1)}{1+x^2}.

Para $x<-1$ es positivo (en $-\infty$ la gráfica se acerca a $y=1$ por encima); para $x>-1$ es negativo (en $+\infty$ se acerca por debajo). La gráfica corta a la asíntota en $x=-1$ : $f(-1)=\dfrac{1+1}{1+1}=1$ , punto $(-1,1)$ .

Respuesta

No hay asíntotas verticales (

1+x^2

no se anula). Asíntota horizontal:

y=1

, en

+\infty

y en

-\infty

.

c) Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

Derivamos con la regla del cociente:

f'(x)=\frac{(2x-1)(1+x^2)-(x^2-x)\cdot 2x}{(1+x^2)^2}.

Desarrollamos el numerador:

(2x^3-x^2+2x-1)-(2x^3-2x^2)=x^2+2x-1,

así que

f'(x)=\frac{x^2+2x-1}{(1+x^2)^2}.

Puntos críticos. $f'(x)=0\iff x^2+2x-1=0$ :

x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt2}{2}=-1\pm\sqrt2,

es decir, $x_1=-1-\sqrt2\approx-2{,}414$ y $x_2=-1+\sqrt2\approx0{,}414$ .

Signo de $f'$ . El denominador $(1+x^2)^2$ es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el de la parábola $x^2+2x-1$ : positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas.

Intervalo	$]-\infty,\,-1-\sqrt2[$	$]-1-\sqrt2,\,-1+\sqrt2[$	$]-1+\sqrt2,+\infty[$
Valor de prueba	$x=-3$	$x=0$	$x=1$
Signo de $f'$	$+$	$-$	$+$
$f$	creciente	decreciente	creciente

(Comprobación: $f'(-3)=\frac{9-6-1}{100}=\frac{1}{50}>0$ , $f'(0)=\frac{-1}{1}=-1<0$ y $f'(1)=\frac{2}{4}=\frac12>0$ .)

Extremos locales. Para calcular los valores conviene escribir $f(x)=1-\dfrac{x+1}{1+x^2}$ (apartado b).

En $x_1=-1-\sqrt2$ la función pasa de creciente a decreciente: máximo local. Aquí $x_1+1=-\sqrt2$ y $x_1^2=(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2$ , luego $1+x_1^2=4+2\sqrt2$ y
$f(x_1)=1+\frac{\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{4+3\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{(4+3\sqrt2)(4-2\sqrt2)}{16-8}=\frac{4+4\sqrt2}{8}=\frac{1+\sqrt2}{2}\approx1{,}2071.$
En $x_2=-1+\sqrt2$ pasa de decreciente a creciente: mínimo local. Aquí $x_2+1=\sqrt2$ y $x_2^2=(\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2$ , luego $1+x_2^2=4-2\sqrt2$ y
$f(x_2)=1-\frac{\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{4-3\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{(4-3\sqrt2)(4+2\sqrt2)}{16-8}=\frac{4-4\sqrt2}{8}=\frac{1-\sqrt2}{2}\approx-0{,}2071.$

Respuesta

f

es creciente en

]-\infty,\,-1-\sqrt2[\,\cup\,]-1+\sqrt2,+\infty[

y decreciente en

]-1-\sqrt2,\,-1+\sqrt2[

. Máximo local en

\left(-1-\sqrt2,\frac{1+\sqrt2}{2}\right)\approx(-2{,}414;\ 1{,}2071)

; mínimo local en

\left(-1+\sqrt2,\frac{1-\sqrt2}{2}\right)\approx(0{,}414;\ -0{,}2071)

.

d) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

Función continua en todo $\mathbb{R}$ , sin asíntotas verticales; asíntota horizontal $y=1$ , que la gráfica corta en $(-1,1)$ .
Viene de $-\infty$ acercándose a $y=1$ por encima, crece hasta el máximo local $\left(-1-\sqrt2,\frac{1+\sqrt2}{2}\right)\approx(-2{,}41;\ 1{,}21)$ .
Decrece, cruza la asíntota en $(-1,1)$ , corta a los ejes en el origen $(0,0)$ y llega al mínimo local $\left(-1+\sqrt2,\frac{1-\sqrt2}{2}\right)\approx(0{,}41;\ -0{,}21)$ . Entre $x=0$ y $x=1$ es negativa.
Crece de nuevo, corta al eje $X$ en $(1,0)$ y se acerca a $y=1$ por debajo en $+\infty$ .

Cargando la gráfica…

Gráfica de f(x) = (x² − x)/(1 + x²), continua en todos los reales, con la asíntota horizontal y = 1. Llega desde la izquierda por encima de y = 1, sube hasta un máximo local en (−1 − √2, (1 + √2)/2), aproximadamente (−2,41; 1,21), baja cruzando la asíntota en (−1, 1), pasa por el origen y llega a un mínimo local en (−1 + √2, (1 − √2)/2), aproximadamente (0,41; −0,21). Después sube, corta al eje X en (1, 0) y se acerca a y = 1 por debajo. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

Curva continua en todo

\mathbb{R}

con asíntota horizontal

y=1

(por encima en

-\infty

, por debajo en

+\infty

, cortándola en

(-1,1)

): crece hasta el máximo local

\left(-1-\sqrt2,\frac{1+\sqrt2}{2}\right)

, decrece pasando por

(0,0)

hasta el mínimo local

\left(-1+\sqrt2,\frac{1-\sqrt2}{2}\right)

y vuelve a crecer pasando por

(1,0)

.

Ejercicio 3 · Problema 3

Enunciado

Apartado 3. Responda el único problema de este apartado.

Problema 3. En la fase final del campeonato de Europa de baloncesto juegan Alemania, Francia, Croacia y España. Las semifinales son: España-Alemania y Francia-Croacia. La probabilidad de que España gane a Alemania es 0,7, la de que gane a Francia es 0,25 y la de que gane a Croacia es 0,55. La probabilidad de que Francia pierda contra Croacia es 0,4. Se supone independencia entre los resultados de unos partidos y otros.

a) Calcula la probabilidad de que la final sea Alemania-Croacia. (0,5 puntos)

b) Calcula la probabilidad de que España sea campeona. (1 punto)

c) Si España ha sido campeona, ¿cuál es la probabilidad de que en la final haya jugado contra Francia? (0,5 puntos)

d) El mes siguiente al campeonato, España y Croacia jugarán siete partidos. ¿Cuál es la probabilidad de que Croacia gane al menos cinco de esos partidos? (1 punto)

Solución

Definimos los sucesos de las semifinales:

$E$ = «España gana a Alemania en la semifinal», con $P(E)=0{,}7$ y $P(\overline{E})=1-0{,}7=0{,}3$ (gana Alemania).
$C$ = «Croacia gana a Francia en la semifinal». Como «Francia pierde contra Croacia» es lo mismo que «Croacia gana a Francia», $P(C)=0{,}4$ y $P(\overline{C})=1-0{,}4=0{,}6$ (gana Francia).

Entendemos, como es habitual en baloncesto, que no hay empates: en cada partido gana uno de los dos equipos, así que, por ejemplo, la probabilidad de que Croacia gane a España es $1-0{,}55=0{,}45$ . Por el enunciado, los resultados de los distintos partidos son independientes.

El diagrama de árbol del campeonato, desde el punto de vista de España, es:

$E$ $(0{,}7)$ → final España-Francia $\overline{C}$ $(0{,}6)$ → España campeona $(0{,}25)$ o Francia campeona $(0{,}75)$ .
$E$ $(0{,}7)$ → final España-Croacia $C$ $(0{,}4)$ → España campeona $(0{,}55)$ o Croacia campeona $(0{,}45)$ .
$\overline{E}$ $(0{,}3)$ → España eliminada: no puede ser campeona.

a) Probabilidad de que la final sea Alemania-Croacia

La final es Alemania-Croacia cuando Alemania gana a España y Croacia gana a Francia, es decir, cuando ocurre $\overline{E}\cap C$ . Como los dos partidos son independientes,

P(\overline{E}\cap C)=P(\overline{E})\cdot P(C)=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12.

Respuesta

La probabilidad de que la final sea Alemania-Croacia es

0{,}12

(un 12 %).

b) Probabilidad de que España sea campeona

Sea $G$ = «España es campeona». Para serlo, España tiene que ganar la semifinal a Alemania, y entonces se dan dos situaciones incompatibles según quién sea su rival en la final:

Final contra Francia: $E\cap\overline{C}$ , con $P(E\cap\overline{C})=0{,}7\cdot0{,}6=0{,}42$ , y España gana a Francia con probabilidad $0{,}25$ .
Final contra Croacia: $E\cap C$ , con $P(E\cap C)=0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28$ , y España gana a Croacia con probabilidad $0{,}55$ .

Si Alemania gana la semifinal ( $\overline{E}$ ), España no puede ser campeona: $P(G\mid\overline{E})=0$ . Los sucesos $E\cap\overline{C}$ , $E\cap C$ y $\overline{E}$ forman un sistema completo (sus probabilidades suman $0{,}42+0{,}28+0{,}3=1$ ), así que, por el teorema de la probabilidad total y la independencia de los partidos,

P(G)=0{,}7\cdot0{,}6\cdot0{,}25+0{,}7\cdot0{,}4\cdot0{,}55+0{,}3\cdot 0=0{,}105+0{,}154=0{,}259.

Respuesta

La probabilidad de que España sea campeona es

P(G)=0{,}259

(un 25,9 %).

c) Si España ha sido campeona, probabilidad de que la final fuera contra Francia

Se pide la probabilidad condicionada $P(E\cap\overline{C}\mid G)$ : sabemos que España ha sido campeona y queremos la probabilidad de que su rival en la final fuera Francia. Por la definición de probabilidad condicionada, usando $P(G)$ del apartado b),

P(E\cap\overline{C}\mid G)=\frac{P\big((E\cap\overline{C})\cap G\big)}{P(G)}=\frac{P(E\cap\overline{C})\cdot P(G\mid E\cap\overline{C})}{P(G)}=\frac{0{,}42\cdot0{,}25}{0{,}259}=\frac{0{,}105}{0{,}259}=\frac{15}{37}\approx 0{,}4054.

Comprobación: la probabilidad de que, siendo campeona, haya jugado la final contra Croacia es $\frac{0{,}154}{0{,}259}=\frac{22}{37}\approx0{,}5946$ , y las dos suman $1$ , como debe ser (si España es campeona, jugó la final contra Francia o contra Croacia).

Respuesta

Si España ha sido campeona, la probabilidad de que jugara la final contra Francia es

\dfrac{0{,}105}{0{,}259}\approx 0{,}4054

(un 40,5 %).

d) Probabilidad de que Croacia gane al menos 5 de los 7 partidos

Sea $X$ = «número de partidos, de los 7, que gana Croacia». Cada partido tiene dos resultados posibles (gana Croacia o gana España, sin empates), la probabilidad de que gane Croacia es la misma en todos, $p=1-0{,}55=0{,}45$ , y los partidos son independientes. Por tanto $X$ sigue una distribución binomial

X\sim B(7;\;0{,}45),\qquad P(X=k)=\binom{7}{k}\,0{,}45^{k}\,0{,}55^{7-k},\quad k=0,1,\dots,7.

«Al menos cinco» significa $X\ge 5$ , es decir, $X=5$ , $X=6$ o $X=7$ :

P(X=5)=\binom{7}{5}\,0{,}45^{5}\,0{,}55^{2}=21\cdot0{,}45^{5}\cdot0{,}55^{2}\approx 0{,}1172,

P(X=6)=\binom{7}{6}\,0{,}45^{6}\,0{,}55=7\cdot0{,}45^{6}\cdot0{,}55\approx 0{,}0320,

P(X=7)=\binom{7}{7}\,0{,}45^{7}=0{,}45^{7}\approx 0{,}0037.

Sumando,

P(X\ge5)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)\approx 0{,}1172+0{,}0320+0{,}0037=0{,}1529.

Respuesta

Con

X\sim B(7;\,0{,}45)

el número de victorias de Croacia,

P(X\ge5)\approx0{,}1529

(un 15,3 %).

Ejercicio 1.1 · Problema 1.A

a) Producto BBtBB^tBBt

b) Valor de λ\lambdaλ para que DDt=IDD^t=IDDt=I

c) Potencia (BBt)5(BB^t)^5(BBt)5

d) Ecuación matricial 5XA−BCBt=I5XA-BCB^t=I5XA−BCBt=I

Ejercicio 1.2 · Problema 1.B

Planteamiento

Resolución

Ejercicio 2.1 · Problema 2.A

a) La función y su continuidad

b) Área entre x=120x=120x=120 y x=125x=125x=125

c) Velocidades a las que se paga lo mismo en las dos carreteras

Ejercicio 2.2 · Problema 2.B

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

b) Asíntotas horizontales y verticales

c) Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

d) Representación gráfica

Ejercicio 3 · Problema 3

a) Probabilidad de que la final sea Alemania-Croacia

b) Probabilidad de que España sea campeona

c) Si España ha sido campeona, probabilidad de que la final fuera contra Francia

d) Probabilidad de que Croacia gane al menos 5 de los 7 partidos

a) Producto $BB^t$

b) Valor de $\lambda$ para que $DD^t=I$

c) Potencia $(BB^t)^5$

d) Ecuación matricial $5XA-BCB^t=I$

b) Área entre $x=120$ y $x=125$