Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2026 julio (examen de solapamiento) resuelto

a) Producto $BB^t$

La traspuesta de $B$ se obtiene cambiando filas por columnas:

$B$ es $2\times 3$ y $B^t$ es $3\times 2$, así que el producto existe y es una matriz $2\times 2$. Multiplicamos fila por columna:

b) Valor de $\lambda$ para que $DD^t=I$

Como $D=\lambda B$, su traspuesta es $D^t=(\lambda B)^t=\lambda B^t$. Por tanto, usando el apartado a):

Igualamos a la identidad:

Comprobación: para $\lambda=\pm\frac13$, $DD^t=\frac19\cdot 9I=I$.

c) Potencia $(BB^t)^5$

Gracias al apartado a), $BB^t=9I$, así que no hace falta multiplicar matrices cinco veces. Los escalares conmutan con las matrices y salen fuera del producto, e $I^k=I$:

Sin calculadora: $9^2=81$, $9^3=729$, $9^4=6561$ y $9^5=59049$. Por tanto,

d) Ecuación matricial $5XA-BCB^t=I$

Inversa de $A$. $|A|=\begin{vmatrix}1&5\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0$, luego $A$ es invertible. Los adjuntos son $A_{11}=1$, $A_{12}=0$, $A_{21}=-5$, $A_{22}=1$, de modo que

Para una matriz $2\times 2$ hay un atajo: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los de la secundaria y se divide entre $|A|$. Aquí da lo mismo.

Comprobación: $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-5\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Despejamos $X$. Pasamos $BCB^t$ al otro miembro:

Como $A$ tiene inversa, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ en los dos miembros (el producto de matrices no es conmutativo, así que el lado importa):

Cálculo de $BCB^t$.

Detalle de las sumas: $\frac13+\frac43+4=\frac53+\frac{12}{3}=\frac{17}{3}$; $\frac23-\frac43+2=-\frac23+\frac63=\frac43$; $\frac43+\frac43+1=\frac83+\frac33=\frac{11}{3}$. Sale una matriz simétrica (los dos $\frac43$ coinciden), como debe ser, porque $(BCB^t)^t=BC^tB^t=BCB^t$ al ser $C$ diagonal: es un buen control de las cuentas.

Sumamos $I$ (solo cambia la diagonal: $\frac{17}{3}+1=\frac{20}{3}$ y $\frac{11}{3}+1=\frac{14}{3}$):

Cálculo de $X$.

porque $-\frac{100}{3}+\frac43=-\frac{96}{3}=-32$ y $-\frac{20}{3}+\frac{14}{3}=-\frac63=-2$. Dividimos entre 5:

Comprobación. $5X=\begin{pmatrix}\frac{20}{3}&-32\\[2pt]\frac43&-2\end{pmatrix}$ y

luego $5XA-BCB^t=I$.

Planteamiento

Llamamos

• $P$ = precio de un procesador (en €),
• $T$ = precio de una tarjeta gráfica (en €),
• $M$ = precio de un módulo de memoria (en €).

Traducimos cada dato del enunciado a una ecuación:

1. «La venta de 2 procesadores, 1 tarjeta gráfica y 4 módulos de memoria sumó 1020 €»: $\;2P + T + 4M = 1020$.
2. «Un lote de 3 procesadores y 2 tarjetas gráficas, con un descuento igual al precio de 1 módulo de memoria, se vendió por 1280 €»: el lote cuesta $3P + 2T$ y se le resta $M$, luego $\;3P + 2T - M = 1280$.
3. «El precio de una tarjeta gráfica es igual al de un procesador más el doble del de un módulo»: $\;T = P + 2M$.

Obtenemos el sistema

Su matriz de coeficientes tiene determinante

así que $\operatorname{rg}(A) = 3$. La matriz ampliada $A^*$ tiene tamaño $3\times 4$ y contiene a $A$, luego $3 \le \operatorname{rg}(A^*) \le 3$ y $\operatorname{rg}(A^*) = 3$. Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3$ es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado (teorema de Rouché-Frobenius): hay un único precio para cada componente.

Resolución

La tercera ecuación ya da $T$ despejada, así que sustituimos $T = P + 2M$ en las otras dos.

En la primera:

Observa que $P + 2M$ es justamente $T$, así que ya sabemos que $T = 340$.

En la segunda:

Queda el sistema $2\times 2$

De la primera, $P = 340 - 2M$; sustituyendo en la segunda:

Entonces $P = 340 - 2\cdot 60 = 220$ y $T = 220 + 2\cdot 60 = 340$.

Comprobación en las tres ecuaciones:

• $2\cdot 220 + 340 + 4\cdot 60 = 440 + 340 + 240 = 1020$ ✓
• $3\cdot 220 + 2\cdot 340 - 60 = 660 + 680 - 60 = 1280$ ✓
• $220 + 2\cdot 60 = 340 = T$ ✓

Los tres precios son positivos, así que la solución es coherente con el enunciado.

a) La función y su continuidad

Llamamos $f(x)$ a los euros que paga un conductor cuyo coche circula a $x$ km/h, con $x\ge 0$. Traducimos cada caso del enunciado:

• Si $0\le x<80$, paga $100$ euros, sea cual sea la velocidad.
• Si $80\le x\le 110$, no paga nada: $0$ euros.
• Si $x>110$, paga $50$ euros más la diferencia $x-110$: $50+(x-110)=x-60$ euros.

Continuidad dentro de cada trozo. En $[0,80[$ la función es constante ($f(x)=100$), en $]80,110[$ es constante ($f(x)=0$) y en $]110,+\infty[$ es un polinomio ($f(x)=x-60$). Las funciones constantes y polinómicas son continuas, así que $f$ es continua en $[0,80[\,\cup\,]80,110[\,\cup\,]110,+\infty[$ (en $x=0$, extremo del dominio, solo cuenta el lado derecho: como $f(x)=100$ en $[0,80[$, $\lim_{x\to 0^+}f(x)=100=f(0)$, y $f$ es continua por la derecha en $x=0$).

Solo quedan por estudiar los puntos donde cambia la expresión, $x=80$ y $x=110$.

En $x=80$:

Los límites laterales son distintos ($100\ne 0$), así que no existe $\lim_{x\to 80}f(x)$ y $f$ es discontinua en $x=80$ (discontinuidad de salto finito, de $100$ euros).

En $x=110$:

Los límites laterales son distintos ($0\ne 50$), así que no existe $\lim_{x\to 110}f(x)$ y $f$ es discontinua en $x=110$ (salto finito de $50$ euros).

b) Área entre $x=120$ y $x=125$

En el intervalo $[120,125]$ estamos en el tercer trozo, $f(x)=x-60$, y ahí $f(x)\ge 60>0$: la gráfica está por encima del eje $OX$. Por tanto el área es la integral definida, sin valores absolutos:

Una primitiva es $F(x)=\dfrac{x^2}{2}-60x$. Por la regla de Barrow:

Comprobación: la región es un trapecio de bases $f(120)=60$ y $f(125)=65$ y altura $5$, de área $\dfrac{60+65}{2}\cdot 5=312{,}5$.

c) Velocidades a las que se paga lo mismo en las dos carreteras

En la segunda carretera, si el coche circula a $x$ km/h, el conductor paga

Buscamos los $x\ge 0$ con $f(x)=g(x)$. Estudiamos cada intervalo, teniendo en cuenta los cortes de las dos funciones ($80$, $110$ y $120$):

• $0\le x<80$: $f(x)=100$ y $g(x)=0$. Distintos: no hay solución.
• $80\le x\le 110$: $f(x)=0$ y $g(x)=0$. Se paga lo mismo (nada) en todo el intervalo.
• $110<x\le 120$: $f(x)=x-60>50>0$ y $g(x)=0$. Distintos: no hay solución.
• $x>120$: $f(x)=50+(x-110)$ y $g(x)=3(x-120)$. Igualamos:

Como $150>120$, la solución es válida. Comprobación: $f(150)=50+40=90$ euros y $g(150)=3\cdot 30=90$ euros.

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador. Ahora bien,

que no tiene solución real ($1+x^2\ge 1>0$ para todo $x$). El denominador no se anula nunca, así que

Corte con el eje $Y$ ($x=0$):

Punto $(0,0)$.

Cortes con el eje $X$ ($f(x)=0$): la fracción se anula cuando se anula el numerador.

Puntos $(0,0)$ y $(1,0)$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntotas verticales. Solo podría haberlas en puntos donde se anule el denominador. Como $1+x^2>0$ para todo $x$, $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y no tiene límites infinitos en ningún punto: no hay asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, $2$; el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Hay asíntota horizontal $y=1$, en $+\infty$ y en $-\infty$.

Posición respecto de $y=1$ (útil para la gráfica):

Para $x<-1$ es positivo (en $-\infty$ la gráfica se acerca a $y=1$ por encima); para $x>-1$ es negativo (en $+\infty$ se acerca por debajo). La gráfica corta a la asíntota en $x=-1$: $f(-1)=\dfrac{1+1}{1+1}=1$, punto $(-1,1)$.

c) Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

Derivamos con la regla del cociente:

Desarrollamos el numerador:

así que

Puntos críticos. $f'(x)=0\iff x^2+2x-1=0$:

es decir, $x_1=-1-\sqrt2\approx-2{,}414$ y $x_2=-1+\sqrt2\approx0{,}414$.

Signo de $f'$. El denominador $(1+x^2)^2$ es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el de la parábola $x^2+2x-1$: positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas.

(Comprobación: $f'(-3)=\frac{9-6-1}{100}=\frac{1}{50}>0$, $f'(0)=\frac{-1}{1}=-1<0$ y $f'(1)=\frac{2}{4}=\frac12>0$.)

Extremos locales. Para calcular los valores conviene escribir $f(x)=1-\dfrac{x+1}{1+x^2}$ (apartado b).

• En $x_1=-1-\sqrt2$ la función pasa de creciente a decreciente: máximo local. Aquí $x_1+1=-\sqrt2$ y $x_1^2=(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2$, luego $1+x_1^2=4+2\sqrt2$ y

  $$f(x_1)=1+\frac{\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{4+3\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{(4+3\sqrt2)(4-2\sqrt2)}{16-8}=\frac{4+4\sqrt2}{8}=\frac{1+\sqrt2}{2}\approx1{,}2071.$$

• En $x_2=-1+\sqrt2$ pasa de decreciente a creciente: mínimo local. Aquí $x_2+1=\sqrt2$ y $x_2^2=(\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2$, luego $1+x_2^2=4-2\sqrt2$ y

  $$f(x_2)=1-\frac{\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{4-3\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{(4-3\sqrt2)(4+2\sqrt2)}{16-8}=\frac{4-4\sqrt2}{8}=\frac{1-\sqrt2}{2}\approx-0{,}2071.$$

d) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Función continua en todo $\mathbb{R}$, sin asíntotas verticales; asíntota horizontal $y=1$, que la gráfica corta en $(-1,1)$.
• Viene de $-\infty$ acercándose a $y=1$ por encima, crece hasta el máximo local $\left(-1-\sqrt2,\frac{1+\sqrt2}{2}\right)\approx(-2{,}41;\ 1{,}21)$.
• Decrece, cruza la asíntota en $(-1,1)$, corta a los ejes en el origen $(0,0)$ y llega al mínimo local $\left(-1+\sqrt2,\frac{1-\sqrt2}{2}\right)\approx(0{,}41;\ -0{,}21)$. Entre $x=0$ y $x=1$ es negativa.
• Crece de nuevo, corta al eje $X$ en $(1,0)$ y se acerca a $y=1$ por debajo en $+\infty$.

Definimos los sucesos de las semifinales:

• $E$ = «España gana a Alemania en la semifinal», con $P(E)=0{,}7$ y $P(\overline{E})=1-0{,}7=0{,}3$ (gana Alemania).
• $C$ = «Croacia gana a Francia en la semifinal». Como «Francia pierde contra Croacia» es lo mismo que «Croacia gana a Francia», $P(C)=0{,}4$ y $P(\overline{C})=1-0{,}4=0{,}6$ (gana Francia).

Entendemos, como es habitual en baloncesto, que no hay empates: en cada partido gana uno de los dos equipos, así que, por ejemplo, la probabilidad de que Croacia gane a España es $1-0{,}55=0{,}45$. Por el enunciado, los resultados de los distintos partidos son independientes.

El diagrama de árbol del campeonato, desde el punto de vista de España, es:

• $E$ $(0{,}7)$ → final España-Francia $\overline{C}$ $(0{,}6)$ → España campeona $(0{,}25)$ o Francia campeona $(0{,}75)$.
• $E$ $(0{,}7)$ → final España-Croacia $C$ $(0{,}4)$ → España campeona $(0{,}55)$ o Croacia campeona $(0{,}45)$.
• $\overline{E}$ $(0{,}3)$ → España eliminada: no puede ser campeona.

a) Probabilidad de que la final sea Alemania-Croacia

La final es Alemania-Croacia cuando Alemania gana a España y Croacia gana a Francia, es decir, cuando ocurre $\overline{E}\cap C$. Como los dos partidos son independientes,

b) Probabilidad de que España sea campeona

Sea $G$ = «España es campeona». Para serlo, España tiene que ganar la semifinal a Alemania, y entonces se dan dos situaciones incompatibles según quién sea su rival en la final:

• Final contra Francia: $E\cap\overline{C}$, con $P(E\cap\overline{C})=0{,}7\cdot0{,}6=0{,}42$, y España gana a Francia con probabilidad $0{,}25$.
• Final contra Croacia: $E\cap C$, con $P(E\cap C)=0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28$, y España gana a Croacia con probabilidad $0{,}55$.

Si Alemania gana la semifinal ($\overline{E}$), España no puede ser campeona: $P(G\mid\overline{E})=0$. Los sucesos $E\cap\overline{C}$, $E\cap C$ y $\overline{E}$ forman un sistema completo (sus probabilidades suman $0{,}42+0{,}28+0{,}3=1$), así que, por el teorema de la probabilidad total y la independencia de los partidos,

c) Si España ha sido campeona, probabilidad de que la final fuera contra Francia

Se pide la probabilidad condicionada $P(E\cap\overline{C}\mid G)$: sabemos que España ha sido campeona y queremos la probabilidad de que su rival en la final fuera Francia. Por la definición de probabilidad condicionada, usando $P(G)$ del apartado b),

Comprobación: la probabilidad de que, siendo campeona, haya jugado la final contra Croacia es $\frac{0{,}154}{0{,}259}=\frac{22}{37}\approx0{,}5946$, y las dos suman $1$, como debe ser (si España es campeona, jugó la final contra Francia o contra Croacia).

d) Probabilidad de que Croacia gane al menos 5 de los 7 partidos

Sea $X$ = «número de partidos, de los 7, que gana Croacia». Cada partido tiene dos resultados posibles (gana Croacia o gana España, sin empates), la probabilidad de que gane Croacia es la misma en todos, $p=1-0{,}55=0{,}45$, y los partidos son independientes. Por tanto $X$ sigue una distribución binomial

«Al menos cinco» significa $X\ge 5$, es decir, $X=5$, $X=6$ o $X=7$:

Sumando,