PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2025 junio (examen de reserva)

Ejercicio 1 · Pregunta 1

Enunciado

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)

Una firma automovilística fabrica tres modelos de coches: M1, M2 y M3, y produce un 35 % de vehículos en Estados Unidos, un 45 % en China y un 20 % en Alemania.

En la planta de Estados Unidos se fabrican un 38 % de vehículos del modelo M1, un 42 % del M2 y un 20 % del M3; en la de China un 42 % del M1, un 40 % del M2 y un 18 % del M3; y en la de Alemania un 24 % del M1, un 40 % del M2 y un 36 % del M3.

El control de calidad ha detectado que en Estados Unidos un 3 % de los coches presenta algún tipo de defecto, en China un 4 % y en Alemania un 1 %.

1.1 (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche seleccionado al azar presente algún tipo de defecto?

1.2 (0,75 puntos) Si un coche no presenta ningún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que esté fabricado en Estados Unidos?

1.3 (1 punto) Dados 9 coches fabricados en Alemania, calcular la probabilidad que al menos 3 sean del modelo M2.

Solución

Definimos los sucesos:

$E$ : «el coche está fabricado en Estados Unidos», $C$ : «en China», $A$ : «en Alemania».
$D$ : «el coche presenta algún defecto»; $\overline{D}$ : «no presenta ningún defecto».
$M_2$ : «el coche es del modelo M2».

Datos: $P(E)=0{,}35$ , $P(C)=0{,}45$ , $P(A)=0{,}20$ (suman 1, así que $E$ , $C$ , $A$ forman un sistema completo de sucesos), y

P(D\mid E)=0{,}03,\qquad P(D\mid C)=0{,}04,\qquad P(D\mid A)=0{,}01.

Los porcentajes de modelos en Estados Unidos y China no intervienen en ninguna pregunta; solo se usa que en Alemania $P(M_2\mid A)=0{,}40$ .

1.1 Probabilidad de que un coche tenga algún defecto

Por el teorema de la probabilidad total con el sistema completo $\{E, C, A\}$ :

\begin{aligned} P(D)&=P(E)\,P(D\mid E)+P(C)\,P(D\mid C)+P(A)\,P(D\mid A)\\ &=0{,}35\cdot 0{,}03+0{,}45\cdot 0{,}04+0{,}20\cdot 0{,}01\\ &=0{,}0105+0{,}018+0{,}002=0{,}0305. \end{aligned}

Respuesta

P(D)=0{,}0305

: el 3,05 % de los coches presenta algún defecto.

1.2 Probabilidad de que un coche sin defectos sea de Estados Unidos

Nos piden $P(E\mid \overline{D})$ . Primero, por el suceso contrario,

P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}0305=0{,}9695,\qquad P(\overline{D}\mid E)=1-0{,}03=0{,}97.

Por el teorema de Bayes:

P(E\mid \overline{D})=\frac{P(E\cap\overline{D})}{P(\overline{D})}=\frac{P(E)\,P(\overline{D}\mid E)}{P(\overline{D})}=\frac{0{,}35\cdot 0{,}97}{0{,}9695}=\frac{0{,}3395}{0{,}9695}\approx 0{,}3502.

Comprobación. $P(\overline{D})$ también sale sumando las tres ramas sin defecto: $0{,}35\cdot0{,}97+0{,}45\cdot0{,}96+0{,}20\cdot0{,}99=0{,}3395+0{,}432+0{,}198=0{,}9695$ .

Respuesta

P(E\mid\overline{D})=\dfrac{0{,}3395}{0{,}9695}\approx 0{,}3502

: la probabilidad de que un coche sin defectos se haya fabricado en Estados Unidos es, aproximadamente, del 35,02 %.

1.3 Al menos 3 de 9 coches alemanes son del modelo M2

Sea $X$ = «número de coches del modelo M2 entre los 9 coches fabricados en Alemania». Cada coche es M2 o no lo es (dos resultados), con probabilidad constante $p=P(M_2\mid A)=0{,}40$ , y suponemos los 9 coches independientes entre sí. Por tanto, $X$ sigue una distribución binomial

X\sim B(n=9,\;p=0{,}4),\qquad P(X=k)=\binom{9}{k}\,0{,}4^{k}\,0{,}6^{\,9-k},\quad k=0,1,\dots,9.

Nos piden $P(X\ge 3)$ . Es más corto calcular el suceso contrario:

P(X\ge 3)=1-\big[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big].

\begin{aligned} P(X=0)&=\binom{9}{0}\,0{,}4^{0}\,0{,}6^{9}=0{,}6^{9}\approx 0{,}010078,\\ P(X=1)&=\binom{9}{1}\,0{,}4\cdot 0{,}6^{8}=9\cdot0{,}4\cdot 0{,}6^{8}\approx 0{,}060466,\\ P(X=2)&=\binom{9}{2}\,0{,}4^{2}\,0{,}6^{7}=36\cdot0{,}16\cdot0{,}6^{7}\approx 0{,}161243. \end{aligned}

P(X\le 2)\approx 0{,}010078+0{,}060466+0{,}161243=0{,}231787,

P(X\ge 3)\approx 1-0{,}231787=0{,}768213\approx 0{,}7682.

Respuesta

Con

X\sim B(9;\,0{,}4)

,

P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)\approx 0{,}7682

: la probabilidad de que al menos 3 de los 9 coches alemanes sean del modelo M2 es aproximadamente 0,7682, es decir, un 76,8 %.

Ejercicio 2.1 · Pregunta 2.1

Enunciado

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Una empresa de producción agrícola desarrolla fertilizantes que combinan tres nutrientes esenciales: nitrógeno (N), fósforo (P) y potasio (K). Se representan por $x, y, z$ las cantidades en kilogramos a usar por lote de N, P, K, respectivamente. Estas cantidades deben cumplir las siguientes restricciones:

\begin{cases} 3x+4y+\alpha z=30\\ -2x+y+z=4\\ 2x-y+\alpha z=10 \end{cases},

donde $\alpha$ es un parámetro real.

2.1.1 (1,25 puntos) Discutir, en función del parámetro $\alpha$ , el sistema de ecuaciones anterior.

2.1.2 (1,25 puntos) Obtener las cantidades $x, y, z$ en el caso de que el sistema sea compatible.

Solución

2.1.1) Discusión del sistema

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ :

A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & \alpha\\ -2 & 1 & 1\\ 2 & -1 & \alpha\end{pmatrix},\qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & \alpha & 30\\ -2 & 1 & 1 & 4\\ 2 & -1 & \alpha & 10\end{array}\right).

Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera fila:

|A| = 3\begin{vmatrix} 1 & 1\\ -1 & \alpha\end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 2 & \alpha\end{vmatrix} + \alpha\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix} = 3(\alpha+1) - 4(-2\alpha-2) + \alpha\cdot 0 = 11\alpha+11 = 11(\alpha+1).

Por tanto $|A|=0 \iff \alpha=-1$ . Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius (hay 3 incógnitas).

Caso $\alpha\neq -1$ . $|A|\neq 0$ , así que $\operatorname{rg}(A)=3$ . Como $A$ es una submatriz de $A^*$ , $\operatorname{rg}(A^*)\ge 3$ . Y como $A^*$ solo tiene 3 filas, $\operatorname{rg}(A^*)\le 3$ . Luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$ y $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ n.º de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $\alpha=-1$ . $|A|=0$ , luego $\operatorname{rg}(A)\le 2$ . El menor

\begin{vmatrix} 3 & 4\\ -2 & 1\end{vmatrix} = 3+8 = 11\neq 0,

así que $\operatorname{rg}(A)=2$ . En $A^*$ orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 3 & 4 & 30\\ -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & 10\end{vmatrix} = 3(10+4) - 4(-20-8) + 30(2-2) = 42+112 = 154\neq 0,

luego $\operatorname{rg}(A^*)=3\neq\operatorname{rg}(A)$ : sistema incompatible.

Respuesta

Si

\alpha\neq -1

,

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3

y el sistema es compatible determinado. Si

\alpha=-1

,

\operatorname{rg}(A)=2\neq\operatorname{rg}(A^*)=3

y el sistema es incompatible.

2.1.2) Cantidades $x$ , $y$ , $z$ cuando el sistema es compatible

Por el apartado anterior, el sistema es compatible solo si $\alpha\neq -1$ , y entonces tiene solución única. Como $|A|=11(\alpha+1)\neq 0$ , aplicamos la regla de Cramer:

x=\frac{\begin{vmatrix} 30 & 4 & \alpha\\ 4 & 1 & 1\\ 10 & -1 & \alpha\end{vmatrix}}{|A|}=\frac{30(\alpha+1)-4(4\alpha-10)+\alpha(-4-10)}{11(\alpha+1)}=\frac{70}{11(\alpha+1)},

y=\frac{\begin{vmatrix} 3 & 30 & \alpha\\ -2 & 4 & 1\\ 2 & 10 & \alpha\end{vmatrix}}{|A|}=\frac{3(4\alpha-10)-30(-2\alpha-2)+\alpha(-20-8)}{11(\alpha+1)}=\frac{44\alpha+30}{11(\alpha+1)},

z=\frac{\begin{vmatrix} 3 & 4 & 30\\ -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & 10\end{vmatrix}}{|A|}=\frac{154}{11(\alpha+1)}=\frac{14}{\alpha+1}.

(El determinante de $z$ es el mismo que calculamos en el apartado anterior y no depende de $\alpha$ .)

Comprobación en la segunda ecuación, para cualquier $\alpha\neq-1$ (ponemos las tres fracciones con denominador $11(\alpha+1)$ ):

-2x+y+z=\frac{-140+(44\alpha+30)+154}{11(\alpha+1)}=\frac{44\alpha+44}{11(\alpha+1)}=4. \checkmark

Con $\alpha=1$ se obtiene $x=\tfrac{35}{11}$ , $y=\tfrac{37}{11}$ , $z=7$ , y la primera ecuación también se cumple: $3\cdot\tfrac{35}{11}+4\cdot\tfrac{37}{11}+7=\tfrac{253}{11}+7=30$ .

Respuesta

Para

\alpha\neq -1

(único caso compatible):

x=\dfrac{70}{11(\alpha+1)}

,

y=\dfrac{44\alpha+30}{11(\alpha+1)}

,

z=\dfrac{14}{\alpha+1}

. Como cantidades (en kg), solo tienen sentido físico si son positivas, es decir, si

\alpha>-\tfrac{15}{22}

.

Ejercicio 2.2 · Pregunta 2.2

Enunciado

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & m \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\ \text{y}\ C=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 5 & m^2 \end{pmatrix},

donde $m$ es un parámetro real, se pide:

2.2.1 (0,5 puntos) Calcular el producto $AB$ y la matriz transpuesta de $AB$ .

2.2.2 (0,75 puntos) En los casos en los que $A$ es invertible, calcular la inversa de $A$ .

2.2.3 (1,25 puntos) Resolver la ecuación matricial $BX+A^2=C$ .

Solución

2.2.1) Producto $AB$ y su transpuesta

$A$ es $2\times 2$ y $B$ es $2\times 2$ , así que el producto $AB$ existe y es $2\times 2$ . Cada elemento es fila de $A$ por columna de $B$ :

AB=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2(-1)+3\cdot 1 & 2\cdot 2+3\cdot 5\\ 1\cdot(-1)+m\cdot 1 & 1\cdot 2+5m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 19\\ m-1 & 5m+2 \end{pmatrix}.

La transpuesta se obtiene cambiando filas por columnas:

(AB)^t=\begin{pmatrix} 1 & m-1\\ 19 & 5m+2 \end{pmatrix}.

Respuesta

AB=\begin{pmatrix} 1 & 19\\ m-1 & 5m+2 \end{pmatrix}

y

(AB)^t=\begin{pmatrix} 1 & m-1\\ 19 & 5m+2 \end{pmatrix}

, para todo

m\in\mathbb{R}

.

2.2.2) Inversa de $A$ cuando existe

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero:

|A|=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & m \end{vmatrix}=2m-3 .

$|A|=0 \iff 2m-3=0 \iff m=\dfrac32$ . Por tanto:

Si $m=\dfrac32$ , $|A|=0$ y $A$ no tiene inversa.
Si $m\neq\dfrac32$ , $|A|\neq 0$ y $A$ es invertible.

Para $m\neq\frac32$ usamos $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj}A)^t$ . Los adjuntos son $A_{11}=m$ , $A_{12}=-1$ , $A_{21}=-3$ , $A_{22}=2$ , luego

\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix} m & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix},\qquad (\operatorname{Adj}A)^t=\begin{pmatrix} m & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix},

A^{-1}=\frac{1}{2m-3}\begin{pmatrix} m & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Comprobación: $A\,A^{-1}=\dfrac{1}{2m-3}\begin{pmatrix} 2m-3 & -6+6\\ m-m & -3+2m \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2m-3}\begin{pmatrix} 2m-3 & 0\\ 0 & 2m-3 \end{pmatrix}=I$ .

Respuesta

A

es invertible si y solo si

m\neq\dfrac32

, y entonces

A^{-1}=\dfrac{1}{2m-3}\begin{pmatrix} m & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}

. Para

m=\dfrac32

,

A

no tiene inversa.

2.2.3) Ecuación matricial $BX+A^2=C$

Despejamos el término con $X$ :

BX=C-A^2 .

$B$ es invertible, ya que

|B|=\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1 & 5 \end{vmatrix}=-5-2=-7\neq 0 ,

y no depende de $m$ . Multiplicando por $B^{-1}$ por la izquierda en los dos miembros:

X=B^{-1}\,(C-A^2).

La ecuación tiene, por tanto, solución única para todo $m\in\mathbb{R}$ (aquí no hace falta que $A$ sea invertible).

Inversa de $B$ . Adjuntos: $B_{11}=5$ , $B_{12}=-1$ , $B_{21}=-2$ , $B_{22}=-1$ . Por tanto

\operatorname{Adj}B=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ -2 & -1 \end{pmatrix},\qquad (\operatorname{Adj}B)^t=\begin{pmatrix} 5 & -2\\ -1 & -1 \end{pmatrix},

B^{-1}=\frac{1}{|B|}\,(\operatorname{Adj}B)^t=\frac{1}{-7}\begin{pmatrix} 5 & -2\\ -1 & -1 \end{pmatrix}=\frac17\begin{pmatrix} -5 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Cálculo de $A^2$ y de $C-A^2$ :

A^2=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4+3 & 6+3m\\ 2+m & 3+m^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 3m+6\\ m+2 & m^2+3 \end{pmatrix},

C-A^2=\begin{pmatrix} 0-7 & -1-(3m+6)\\ 5-(m+2) & m^2-(m^2+3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & -3m-7\\ 3-m & -3 \end{pmatrix}.

Observa que el término $m^2$ se cancela.

Cálculo de $X$ :

X=\frac17\begin{pmatrix} -5 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -7 & -3m-7\\ 3-m & -3 \end{pmatrix}=\frac17\begin{pmatrix} 35+6-2m & 15m+35-6\\ -7+3-m & -3m-7-3 \end{pmatrix}=\frac17\begin{pmatrix} 41-2m & 15m+29\\ -m-4 & -3m-10 \end{pmatrix}.

Comprobación: $BX=\dfrac17\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 41-2m & 15m+29\\ -m-4 & -3m-10 \end{pmatrix}=\dfrac17\begin{pmatrix} -49 & -21m-49\\ 21-7m & -21 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & -3m-7\\ 3-m & -3 \end{pmatrix}=C-A^2$ . ✓

Respuesta

Para todo

m\in\mathbb{R}

la ecuación tiene solución única:

X=B^{-1}(C-A^2)=\dfrac17\begin{pmatrix} 41-2m & 15m+29\\ -(m+4) & -(3m+10) \end{pmatrix}

.

Ejercicio 3.1 · Pregunta 3.1

Enunciado

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dados el plano $\pi \equiv 2x+ay-z+3=0$ y la recta $r\equiv\begin{cases} 2x+4y-z=0\\ -x+y+5z=3 \end{cases}$ .

3.1.1 (0,75 puntos) Calcular la distancia entre el punto $(3,1,-2)$ y el plano $\pi$ , en función del parámetro real $a$ .

3.1.2 (0,75 puntos) Para $a=4$ , calcular el ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi$ .

3.1.3 (1 punto) Para $a=3$ , calcular el punto simétrico del punto $\left(\dfrac{9}{2},5,-1\right)$ respecto del plano $\pi$ .

Solución

3.1.1) Distancia del punto $(3,1,-2)$ al plano $\pi$ en función de $a$

La distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ a un plano $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ es

d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Para $\pi\equiv 2x+ay-z+3=0$ tenemos $\vec n_\pi=(2,a,-1)$ , cuyo módulo es $|\vec n_\pi|=\sqrt{4+a^2+1}=\sqrt{5+a^2}$ . Nunca se anula, así que la fórmula vale para todo $a\in\mathbb{R}$ . Sustituyendo $P(3,1,-2)$ :

2\cdot 3+a\cdot 1-(-2)+3=6+a+2+3=a+11,

d(P,\pi)=\frac{|a+11|}{\sqrt{5+a^2}}\ \text{u}.

Comprobación. La distancia se anula solo para $a=-11$ : en ese caso $\pi\equiv 2x-11y-z+3=0$ y, en efecto, $6-11+2+3=0$ , es decir, $P\in\pi$ . Para $a=0$ , $\pi\equiv 2x-z+3=0$ y la fórmula da $d=\dfrac{11}{\sqrt5}$ u, que coincide con la entrada de calculadora de arriba.

Respuesta

d\big((3,1,-2),\pi\big)=\dfrac{|a+11|}{\sqrt{5+a^2}}

u, para todo

a\in\mathbb{R}

.

3.1.2) Ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$ para $a=4$

Para $a=4$ , $\pi\equiv 2x+4y-z+3=0$ y $\vec n_\pi=(2,4,-1)$ .

Vector director de $r$ . La recta es la intersección de dos planos, de vectores normales $\vec n_1=(2,4,-1)$ y $\vec n_2=(-1,1,5)$ , así que un vector director es su producto vectorial:

\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 2&4&-1\\ -1&1&5\end{vmatrix}=(20+1)\,\vec i-(10-1)\,\vec j+(2+4)\,\vec k=(21,-9,6).

Podemos usar el proporcional $\vec v_r=(7,-3,2)$ .

Ángulo recta-plano. El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano es el complementario del ángulo que forman $\vec v_r$ y $\vec n_\pi$ :

\operatorname{sen}\alpha=\frac{|\vec v_r\cdot\vec n_\pi|}{|\vec v_r|\,|\vec n_\pi|}=\frac{|7\cdot2+(-3)\cdot4+2\cdot(-1)|}{\sqrt{62}\,\sqrt{21}}=\frac{|14-12-2|}{\sqrt{1302}}=0.

Luego $\alpha=0^\circ$ : la recta es paralela al plano o está contenida en él.

¿Paralela o contenida? Buscamos un punto de $r$ . Con $z=0$ : $2x+4y=0$ y $-x+y=3$ , de donde $x=-2y$ , $3y=3$ , $y=1$ , $x=-2$ . Así $P_r=(-2,1,0)\in r$ (cumple $-4+4-0=0$ y $2+1+0=3$ ). Sustituyendo en $\pi$ : $2\cdot(-2)+4\cdot1-0+3=3\neq0$ , así que $P_r\notin\pi$ y la recta es paralela a $\pi$ (no está contenida). Su distancia al plano es $d(P_r,\pi)=\dfrac{3}{\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ u.

Respuesta

Para

a=4

, el ángulo entre

r

y

\pi

es

0^\circ

: la recta

r

es paralela al plano

\pi

(y no está contenida en él).

3.1.3) Simétrico del punto $\left(\frac{9}{2},5,-1\right)$ respecto de $\pi$ para $a=3$

Para $a=3$ , $\pi\equiv 2x+3y-z+3=0$ y $\vec n_\pi=(2,3,-1)$ . Sea $P=\left(\frac92,5,-1\right)$ y $P'$ su simétrico.

1. Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ (su vector director es $\vec n_\pi$ ):

s\equiv(x,y,z)=\left(\tfrac92+2\lambda,\;5+3\lambda,\;-1-\lambda\right),\quad \lambda\in\mathbb{R}.

2. Punto de corte $M=s\cap\pi$ (proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$ ):

2\left(\tfrac92+2\lambda\right)+3(5+3\lambda)-(-1-\lambda)+3=0\ \Longrightarrow\ 28+14\lambda=0\ \Longrightarrow\ \lambda=-2,

M=\left(\tfrac92-4,\;5-6,\;-1+2\right)=\left(\tfrac12,-1,1\right).

Comprobación: $2\cdot\frac12+3\cdot(-1)-1+3=0$ , luego $M\in\pi$ .

3. $M$ es el punto medio de $PP'$ , así que $P'=2M-P$ :

P'=\left(2\cdot\tfrac12-\tfrac92,\;2\cdot(-1)-5,\;2\cdot1-(-1)\right)=\left(-\tfrac72,-7,3\right).

Comprobación. El punto medio de $PP'$ es $\left(\frac{9/2-7/2}{2},\frac{5-7}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=\left(\frac12,-1,1\right)=M\in\pi$ , y $\overrightarrow{PP'}=(-8,-12,4)=-4\,(2,3,-1)$ es proporcional a $\vec n_\pi$ , es decir, perpendicular a $\pi$ . Además, al sustituir en la ecuación de $\pi$ , $P$ da $28$ y $P'$ da $-7-21-3+3=-28$ : están a la misma distancia y a lados opuestos.

Respuesta

Para

a=3

, el simétrico de

\left(\frac92,5,-1\right)

respecto de

\pi

es

P'=\left(-\dfrac72,-7,3\right)

.

Ejercicio 3.2 · Pregunta 3.2

Enunciado

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Dada la recta $r:\ \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{\alpha}$ , que depende del parámetro real $\alpha$ , y la recta $s:\ \begin{cases} -x+y+z=1\\ x+2y-z=2 \end{cases}$ .

3.2.1 (1,25 puntos) Calcular el valor del parámetro $\alpha$ para el que $r$ y $s$ son perpendiculares.

3.2.2 (1,25 puntos) Suponiendo que $\alpha\neq 0$ , obtener la recta paralela a $s$ que pase por el punto de $r$ cuya coordenada $z$ vale $0$ .

Solución

3.2.1) Valor de $\alpha$ para que $r$ y $s$ sean perpendiculares

Vector director de $r$ . La recta viene en forma continua, $\dfrac{x-x_0}{v_1}=\dfrac{y-y_0}{v_2}=\dfrac{z-z_0}{v_3}$ , así que se leen directamente un punto y un vector director:

P_r(-1,2,0),\qquad \vec v_r=(2,3,\alpha).

(Si $\alpha=0$ , el denominador nulo se interpreta con el convenio habitual: $z=0$ en todos los puntos de $r$ y $\vec v_r=(2,3,0)$ . Así, $\vec v_r=(2,3,\alpha)$ vale para todo $\alpha$ .)

Vector director de $s$ . La recta $s$ es la intersección de dos planos, de vectores normales $\vec n_1=(-1,1,1)$ y $\vec n_2=(1,2,-1)$ . Los normales $(-1,1,1)$ y $(1,2,-1)$ no son proporcionales, así que los planos se cortan en una recta. Su dirección es perpendicular a ambos normales, luego es paralela a su producto vectorial:

\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ -1&1&1\\ 1&2&-1\end{vmatrix}=(1\cdot(-1)-1\cdot 2)\,\vec i-((-1)(-1)-1\cdot 1)\,\vec j+((-1)\cdot 2-1\cdot 1)\,\vec k=(-3,0,-3).

Como el producto vectorial no es nulo, se confirma que los planos no son paralelos. Tomamos un vector proporcional más sencillo: $\vec v_s=(1,0,1)$ .

Condición de perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores son ortogonales, es decir, cuando su producto escalar es nulo:

\vec v_r\cdot\vec v_s=(2,3,\alpha)\cdot(1,0,1)=2+0+\alpha=0\;\Longrightarrow\;\alpha=-2.

El valor obtenido es distinto de cero; para $\alpha=0$ el producto escalar vale $2\neq 0$ y no habría perpendicularidad.

Respuesta

r

y

s

son perpendiculares si y solo si

\alpha=-2

.

3.2.2) Recta paralela a $s$ por el punto de $r$ con $z=0$

Punto de $r$ con $z=0$ . En paramétricas, con $\vec v_r=(2,3,\alpha)$ :

r\equiv\begin{cases}x=-1+2t\\ y=2+3t\\ z=\alpha t\end{cases}\quad(t\in\mathbb R).

Imponemos $z=0$ : $\alpha t=0$ . Como $\alpha\neq 0$ , la única solución es $t=0$ , que da el punto

P(-1,2,0).

(Si fuera $\alpha=0$ , como se vio en 3.2.1, todos los puntos de $r$ tendrían $z=0$ y el punto no estaría determinado; por eso el enunciado excluye ese caso.)

Recta pedida. Una recta paralela a $s$ tiene el mismo vector director, $\vec v_s=(1,0,1)$ . Pasando por $P(-1,2,0)$ :

r'\equiv (x,y,z)=(-1,2,0)+\lambda\,(1,0,1)\;\Longleftrightarrow\;\begin{cases}x=-1+\lambda\\ y=2\\ z=\lambda\end{cases}\quad(\lambda\in\mathbb R).

Comprobación. $P$ no está en $s$ , porque no cumple la primera ecuación: $-(-1)+2+0=3\neq 1$ . Por tanto la recta obtenida es paralela a $s$ y distinta de ella (no coincidente).

Respuesta

La recta pedida es

\begin{cases}x=-1+\lambda\\ y=2\\ z=\lambda\end{cases}\;(\lambda\in\mathbb R)

, que pasa por

P(-1,2,0)

con vector director

(1,0,1)

; en implícitas,

\begin{cases}x-z+1=0\\ y=2\end{cases}

.

Ejercicio 4.1 · Pregunta 4.1

Enunciado

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Se considera un prisma triangular de altura $h$ cm, cuya base es un triángulo equilátero de lado $x$ cm. El prisma tiene área total (área que incluye el área de las caras laterales y de las bases superior e inferior) igual a $10\ \text{cm}^2$ . Se pide:

4.1.1 (0,5 puntos) Expresar el área total del prisma en función de $x$ y $h$ .

4.1.2 (1,5 puntos) Obtener los valores de $x$ y $h$ que maximizan el volumen.

4.1.3 (0,5 puntos) Hallar dicho volumen.

Solución

4.1.1) Área total en función de $x$ y $h$

La superficie del prisma está formada por:

Dos bases, que son triángulos equiláteros de lado $x$ . La altura de un triángulo equilátero de lado $x$ es, por el teorema de Pitágoras,
$\sqrt{x^2-\left(\tfrac{x}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}\,x,$
así que el área de cada base es
$A_{\text{base}}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{\sqrt3}{2}\,x=\frac{\sqrt3}{4}\,x^2 .$
Tres caras laterales, que son rectángulos de lados $x$ y $h$ , de área $x\,h$ cada uno.

Sumando:

A(x,h)=2\cdot\frac{\sqrt3}{4}\,x^2+3\,x\,h=\frac{\sqrt3}{2}\,x^2+3xh .

Respuesta

A(x,h)=\dfrac{\sqrt3}{2}\,x^2+3xh

cm², con

x>0

y

h>0

. En este prisma,

\dfrac{\sqrt3}{2}\,x^2+3xh=10

.

4.1.2) Valores de $x$ y $h$ que maximizan el volumen

Función a maximizar. El volumen de un prisma es el área de la base por la altura:

V=\frac{\sqrt3}{4}\,x^2\,h .

Condición (ligadura). El área total es $10$ cm²; despejamos $h$ :

\frac{\sqrt3}{2}\,x^2+3xh=10\ \Longrightarrow\ h=\frac{10-\frac{\sqrt3}{2}x^2}{3x}=\frac{20-\sqrt3\,x^2}{6x}.

Dominio. Debe ser $x>0$ y $h>0$ , es decir, $20-\sqrt3\,x^2>0\iff x^2<\dfrac{20}{\sqrt3}$ . Por tanto

x\in\left(0,\ \sqrt{\tfrac{20}{\sqrt3}}\right)\approx(0;\ 3{,}3981).

Volumen en función de $x$ . Sustituimos $h$ :

V(x)=\frac{\sqrt3}{4}\,x^2\cdot\frac{20-\sqrt3\,x^2}{6x}=\frac{\sqrt3\,x\,(20-\sqrt3\,x^2)}{24}=\frac{20\sqrt3\,x-3x^3}{24}=\frac{5\sqrt3}{6}\,x-\frac{x^3}{8}.

Puntos críticos. $V$ es un polinomio, derivable en todo el dominio:

V'(x)=\frac{5\sqrt3}{6}-\frac{3x^2}{8}=0\iff x^2=\frac{8}{3}\cdot\frac{5\sqrt3}{6}=\frac{20\sqrt3}{9}\iff x=\pm\frac{2}{3}\sqrt{5\sqrt3}.

Descartamos la solución negativa (una longitud no puede serlo). Queda

x_0=\frac{2}{3}\sqrt{5\sqrt3}\approx 1{,}9619\ \text{cm},

que está dentro del dominio, pues $1{,}9619<3{,}3981$ .

Es un máximo. Estudiamos el signo de $V'$ (o la segunda derivada):

Intervalo	$\left(0,\ x_0\right)$	$\left(x_0,\ \sqrt{20/\sqrt3}\right)$
Signo de $V'(x)$	$V'(1)=\frac{5\sqrt3}{6}-\frac38\approx1{,}07>0$	$V'(3)=\frac{5\sqrt3}{6}-\frac{27}{8}\approx-1{,}93<0$
$V(x)$	creciente	decreciente

$V'$ es continua y solo se anula en $x_0$ dentro del dominio, así que conserva el signo en cada intervalo; por eso basta evaluarla en un punto de cada uno.

Además, $V''(x)=-\dfrac{3x}{4}$ , y $V''(x_0)<0$ . Como $V$ crece en todo $(0,x_0)$ y decrece en todo el resto del dominio, en $x_0$ hay un máximo absoluto.

Altura correspondiente. Con $x_0^2=\dfrac{20\sqrt3}{9}$ , el área de las dos bases es $\dfrac{\sqrt3}{2}x_0^2=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{20\sqrt3}{9}=\dfrac{10}{3}$ , así que

h_0=\frac{10-\frac{10}{3}}{3x_0}=\frac{20}{9x_0}\approx 1{,}1327\ \text{cm}.

Se puede simplificar: como $x_0^2=\dfrac{20\sqrt3}{9}$ , se tiene $\dfrac{20}{9x_0}=x_0\cdot\dfrac{20}{9x_0^2}=x_0\cdot\dfrac{20}{20\sqrt3}=\dfrac{x_0}{\sqrt3}$ . Sustituyendo $x_0$ :

h_0=\frac{x_0}{\sqrt3}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{5\sqrt3}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{5}{\sqrt3}}.

Comprobación. $\dfrac{\sqrt3}{2}(1{,}9619)^2+3\cdot1{,}9619\cdot1{,}1327\approx3{,}333+6{,}667=10$ cm². ✓

Cargando la gráfica…

Volumen V(x) = 5√3x/6 − x³/8 para x entre 0 y 3,398. La curva sale de 0, sube hasta el máximo en x ≈ 1,96, donde V ≈ 1,89, y vuelve a 0 en x ≈ 3,40. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

El volumen es máximo para

x=\dfrac{2}{3}\sqrt{5\sqrt3}\approx 1{,}9619

cm y

h=\dfrac{x}{\sqrt3}=\dfrac{20}{9x}\approx 1{,}1327

cm.

4.1.3) Volumen máximo

Sustituimos en $V=\dfrac{\sqrt3}{4}x^2h$ con $\dfrac{\sqrt3}{4}x_0^2=\dfrac{5}{3}$ (la mitad de $\dfrac{10}{3}$ ) y $h_0=\dfrac{20}{9x_0}$ :

V_{\max}=\frac{5}{3}\cdot\frac{20}{9x_0}=\frac{100}{27\,x_0}.

Como $x_0=\dfrac{2}{3}\sqrt5\cdot3^{1/4}$ , racionalizamos:

V_{\max}=\frac{100}{27}\cdot\frac{3}{2\sqrt5\cdot3^{1/4}}=\frac{50}{9\sqrt5\cdot3^{1/4}}=\frac{10\sqrt5}{9\cdot3^{1/4}}=\frac{10\sqrt5\cdot3^{3/4}}{27}\approx 1{,}8878\ \text{cm}^3 .

También con la función del apartado anterior: $V(1{,}9619)=\dfrac{5\sqrt3}{6}\cdot1{,}9619-\dfrac{1{,}9619^3}{8}\approx 2{,}83176-0{,}94393\approx 1{,}8878$ .

Respuesta

El volumen máximo es

V_{\max}=\dfrac{10\sqrt5\cdot3^{3/4}}{27}\approx 1{,}8878

cm³.

Ejercicio 4.2 · Pregunta 4.2

Enunciado

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Dada la función real de variable real $f(x)=\dfrac{4}{(x-1)^2}+x$ , se pide:

4.2.1 (0,5 puntos) Calcular el dominio de definición y las asíntotas de $f$ .

4.2.2 (0,75 puntos) Indicar, si existen, los extremos, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$ .

4.2.3 (0,5 puntos) Representar gráficamente la función $y=f(x)$ .

4.2.4 (0,75 puntos) Calcular la integral indefinida $\displaystyle\int f(x)\,dx$ .

Solución

4.2.1 Dominio y asíntotas

Dominio. $f$ es la suma de un polinomio y de una función racional; solo deja de estar definida donde se anula el denominador:

(x-1)^2=0 \iff x=1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

En su dominio $f$ es continua y derivable.

Asíntotas verticales. El único candidato es $x=1$ . Como $(x-1)^2>0$ para $x\neq 1$ , cuando $x\to 1$ el denominador tiende a $0$ con valores positivos, así que $\dfrac{4}{(x-1)^2}\to+\infty$ , mientras que el sumando $x$ tiende a $1$ . Por tanto,

\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-}\left(\frac{4}{(x-1)^2}+x\right)=+\infty.

Análogamente, por la derecha también $\lim_{x\to 1^+} f(x)=+\infty$ . Luego $x=1$ es asíntota vertical (la función tiende a $+\infty$ por los dos lados).

Asíntotas horizontales. Cuando $x\to\pm\infty$ , el término $\dfrac{4}{(x-1)^2}$ tiende a $0$ y el término $x$ tiende a $\pm\infty$ . Luego $f(x)\to\pm\infty$ y no hay asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas $y=mx+n$ :

m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{4}{x(x-1)^2}+1\right)=1,\qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4}{(x-1)^2}=0 .

La recta $y=x$ es asíntota oblicua tanto en $-\infty$ como en $+\infty$ . Además $f(x)-x=\dfrac{4}{(x-1)^2}>0$ , así que la gráfica queda siempre por encima de la asíntota.

Respuesta

\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{1\}

. Asíntota vertical

x=1

(con

f\to+\infty

por ambos lados), ninguna horizontal y asíntota oblicua

y=x

en

\pm\infty

(la curva queda por encima).

4.2.2 Extremos y monotonía

Derivamos en $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , escribiendo $\dfrac{4}{(x-1)^2}=4(x-1)^{-2}$ :

f'(x)=-8(x-1)^{-3}+1=1-\frac{8}{(x-1)^3}=\frac{(x-1)^3-8}{(x-1)^3}.

Puntos críticos. $f'(x)=0 \iff (x-1)^3=8 \iff x-1=2 \iff x=3$ (la raíz cúbica real es única). También hay que tener en cuenta $x=1$ , que no está en el dominio, para dividir la recta en intervalos.

Signo de $f'$ . El numerador $(x-1)^3-8$ tiene el signo de $x-3$ (pues $t\mapsto t^3$ es creciente) y el denominador $(x-1)^3$ tiene el signo de $x-1$ :

	$(-\infty,1)$	$(1,3)$	$(3,+\infty)$
$(x-1)^3-8$	$-$	$-$	$+$
$(x-1)^3$	$-$	$+$	$+$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	creciente	decreciente	creciente

Por ejemplo, $f'(0)=1-\frac{8}{-1}=9>0$ , $f'(2)=1-8=-7<0$ y $f'(5)=1-\frac{8}{64}=\frac78>0$ .

Extremos. En $x=3$ la derivada pasa de negativa a positiva y $f$ es continua, así que hay un mínimo relativo, con $f(3)=\dfrac{4}{4}+3=4$ . Se confirma con la derivada segunda: $f''(x)=\dfrac{24}{(x-1)^4}$ , y $f''(3)=\dfrac{24}{16}=\dfrac32>0$ .

En $x=1$ la monotonía también cambia (de creciente a decreciente), pero no es un extremo: $x=1$ no pertenece al dominio (allí está la asíntota vertical). No hay máximo relativo.

Respuesta

f

es creciente en

(-\infty,1)

y en

(3,+\infty)

y decreciente en

(1,3)

. Tiene un mínimo relativo en

(3,4)

y ningún máximo.

4.2.3 Representación gráfica

Reunimos lo obtenido y añadimos algunos datos más:

Cortes con los ejes. Con el eje $Y$ : $f(0)=4+0=4$ , el punto $(0,4)$ . Con el eje $X$ :
$\frac{4}{(x-1)^2}+x=0 \iff 4+x(x-1)^2=0 \iff x^3-2x^2+x+4=0 \iff (x+1)(x^2-3x+4)=0 .$
El factor $x^2-3x+4$ no tiene raíces reales (discriminante $9-16=-7<0$ ), así que el único corte es $(-1,0)$ .
Signo. $f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2-3x+4)}{(x-1)^2}$ con $x^2-3x+4>0$ y $(x-1)^2>0$ : $f<0$ en $(-\infty,-1)$ y $f>0$ en $(-1,1)\cup(1,+\infty)$ .
Curvatura. $f''(x)=\dfrac{24}{(x-1)^4}>0$ en todo el dominio: $f$ es convexa (cóncava hacia arriba) en $(-\infty,1)$ y en $(1,+\infty)$ , sin puntos de inflexión.
Asíntotas: $x=1$ (con $f\to+\infty$ a ambos lados) e $y=x$ , con la curva por encima.
Algunos valores: $f(-2)=-\frac{14}{9}\approx-1{,}56$ , $f(2)=6$ , $f(3)=4$ (mínimo), $f(5)=\frac{21}{4}=5{,}25$ .

Rama izquierda: viene de $-\infty$ pegada por encima a la recta $y=x$ , corta al eje $X$ en $(-1,0)$ , al eje $Y$ en $(0,4)$ y sube hacia $+\infty$ al acercarse a $x=1$ . Rama derecha: baja desde $+\infty$ junto a $x=1$ hasta el mínimo $(3,4)$ y después crece acercándose por encima a $y=x$ .

Cargando la gráfica…

Gráfica de f(x) = 4/(x−1)² + x con su asíntota oblicua y = x. Hay una asíntota vertical en x = 1, donde la función tiende a más infinito por ambos lados. La rama izquierda corta los ejes en (−1,0) y (0,4); la rama derecha tiene un mínimo relativo en (3,4). La curva queda siempre por encima de la recta y = x. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

La gráfica tiene dos ramas separadas por la asíntota vertical

x=1

, las dos convexas y por encima de la asíntota oblicua

y=x

. La rama izquierda es creciente y pasa por

(-1,0)

y

(0,4)

. La rama derecha decrece hasta el mínimo

(3,4)

y luego crece.

4.2.4 Integral indefinida

Integramos término a término. El primer sumando es una potencia de $(x-1)$ (integral inmediata, con $(x-1)'=1$ ):

\int \frac{4}{(x-1)^2}\,dx=4\int (x-1)^{-2}\,dx=4\cdot\frac{(x-1)^{-1}}{-1}=-\frac{4}{x-1},\qquad \int x\,dx=\frac{x^2}{2}.

Por tanto

\int f(x)\,dx=\frac{x^2}{2}-\frac{4}{x-1}+C,\qquad C\in\mathbb{R}.

Comprobación. $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{4}{x-1}\right)=x+\dfrac{4}{(x-1)^2}=f(x)$ .

Respuesta

\displaystyle\int\left(\frac{4}{(x-1)^2}+x\right)dx=\frac{x^2}{2}-\frac{4}{x-1}+C

.

Ejercicio 1 · Pregunta 1

1.1 Probabilidad de que un coche tenga algún defecto

1.2 Probabilidad de que un coche sin defectos sea de Estados Unidos

1.3 Al menos 3 de 9 coches alemanes son del modelo M2

Ejercicio 2.1 · Pregunta 2.1

2.1.1) Discusión del sistema

2.1.2) Cantidades xxx, yyy, zzz cuando el sistema es compatible

Ejercicio 2.2 · Pregunta 2.2

2.2.1) Producto ABABAB y su transpuesta

2.2.2) Inversa de AAA cuando existe

2.2.3) Ecuación matricial BX+A2=CBX+A^2=CBX+A2=C

Ejercicio 3.1 · Pregunta 3.1

3.1.1) Distancia del punto (3,1,−2)(3,1,-2)(3,1,−2) al plano π\piπ en función de aaa

3.1.2) Ángulo entre la recta rrr y el plano π\piπ para a=4a=4a=4

3.1.3) Simétrico del punto (92,5,−1)\left(\frac{9}{2},5,-1\right)(29​,5,−1) respecto de π\piπ para a=3a=3a=3

Ejercicio 3.2 · Pregunta 3.2

3.2.1) Valor de α\alphaα para que rrr y sss sean perpendiculares

3.2.2) Recta paralela a sss por el punto de rrr con z=0z=0z=0

Ejercicio 4.1 · Pregunta 4.1

4.1.1) Área total en función de xxx y hhh

4.1.2) Valores de xxx y hhh que maximizan el volumen

4.1.3) Volumen máximo

Ejercicio 4.2 · Pregunta 4.2

4.2.1 Dominio y asíntotas

4.2.2 Extremos y monotonía

4.2.3 Representación gráfica

4.2.4 Integral indefinida

2.1.2) Cantidades $x$ , $y$ , $z$ cuando el sistema es compatible

2.2.1) Producto $AB$ y su transpuesta

2.2.2) Inversa de $A$ cuando existe

2.2.3) Ecuación matricial $BX+A^2=C$

3.1.1) Distancia del punto $(3,1,-2)$ al plano $\pi$ en función de $a$

3.1.2) Ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$ para $a=4$

3.1.3) Simétrico del punto $\left(\frac{9}{2},5,-1\right)$ respecto de $\pi$ para $a=3$

3.2.1) Valor de $\alpha$ para que $r$ y $s$ sean perpendiculares

3.2.2) Recta paralela a $s$ por el punto de $r$ con $z=0$

4.1.1) Área total en función de $x$ y $h$

4.1.2) Valores de $x$ y $h$ que maximizan el volumen