Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2025 junio (examen de reserva) resuelto

Definimos los sucesos:

• $E$: «el coche está fabricado en Estados Unidos», $C$: «en China», $A$: «en Alemania».
• $D$: «el coche presenta algún defecto»; $\overline{D}$: «no presenta ningún defecto».
• $M_2$: «el coche es del modelo M2».

Datos: $P(E)=0{,}35$, $P(C)=0{,}45$, $P(A)=0{,}20$ (suman 1, así que $E$, $C$, $A$ forman un sistema completo de sucesos), y

Los porcentajes de modelos en Estados Unidos y China no intervienen en ninguna pregunta; solo se usa que en Alemania $P(M_2\mid A)=0{,}40$.

1.1 Probabilidad de que un coche tenga algún defecto

Por el teorema de la probabilidad total con el sistema completo $\{E, C, A\}$:

1.2 Probabilidad de que un coche sin defectos sea de Estados Unidos

Nos piden $P(E\mid \overline{D})$. Primero, por el suceso contrario,

Por el teorema de Bayes:

Comprobación. $P(\overline{D})$ también sale sumando las tres ramas sin defecto: $0{,}35\cdot0{,}97+0{,}45\cdot0{,}96+0{,}20\cdot0{,}99=0{,}3395+0{,}432+0{,}198=0{,}9695$.

1.3 Al menos 3 de 9 coches alemanes son del modelo M2

Sea $X$ = «número de coches del modelo M2 entre los 9 coches fabricados en Alemania». Cada coche es M2 o no lo es (dos resultados), con probabilidad constante $p=P(M_2\mid A)=0{,}40$, y suponemos los 9 coches independientes entre sí. Por tanto, $X$ sigue una distribución binomial

Nos piden $P(X\ge 3)$. Es más corto calcular el suceso contrario:

2.1.1) Discusión del sistema

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$:

Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera fila:

Por tanto $|A|=0 \iff \alpha=-1$. Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius (hay 3 incógnitas).

Caso $\alpha\neq -1$. $|A|\neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A)=3$. Como $A$ es una submatriz de $A^*$, $\operatorname{rg}(A^*)\ge 3$. Y como $A^*$ solo tiene 3 filas, $\operatorname{rg}(A^*)\le 3$. Luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$ y $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ n.º de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $\alpha=-1$. $|A|=0$, luego $\operatorname{rg}(A)\le 2$. El menor

así que $\operatorname{rg}(A)=2$. En $A^*$ orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

luego $\operatorname{rg}(A^*)=3\neq\operatorname{rg}(A)$: sistema incompatible.

2.1.2) Cantidades $x$, $y$, $z$ cuando el sistema es compatible

Por el apartado anterior, el sistema es compatible solo si $\alpha\neq -1$, y entonces tiene solución única. Como $|A|=11(\alpha+1)\neq 0$, aplicamos la regla de Cramer:

(El determinante de $z$ es el mismo que calculamos en el apartado anterior y no depende de $\alpha$.)

Comprobación en la segunda ecuación, para cualquier $\alpha\neq-1$ (ponemos las tres fracciones con denominador $11(\alpha+1)$):

Con $\alpha=1$ se obtiene $x=\tfrac{35}{11}$, $y=\tfrac{37}{11}$, $z=7$, y la primera ecuación también se cumple: $3\cdot\tfrac{35}{11}+4\cdot\tfrac{37}{11}+7=\tfrac{253}{11}+7=30$.

2.2.1) Producto $AB$ y su transpuesta

$A$ es $2\times 2$ y $B$ es $2\times 2$, así que el producto $AB$ existe y es $2\times 2$. Cada elemento es fila de $A$ por columna de $B$:

La transpuesta se obtiene cambiando filas por columnas:

2.2.2) Inversa de $A$ cuando existe

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero:

$|A|=0 \iff 2m-3=0 \iff m=\dfrac32$. Por tanto:

• Si $m=\dfrac32$, $|A|=0$ y $A$ no tiene inversa.
• Si $m\neq\dfrac32$, $|A|\neq 0$ y $A$ es invertible.

Para $m\neq\frac32$ usamos $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj}A)^t$. Los adjuntos son $A_{11}=m$, $A_{12}=-1$, $A_{21}=-3$, $A_{22}=2$, luego

Comprobación: $A\,A^{-1}=\dfrac{1}{2m-3}\begin{pmatrix} 2m-3 & -6+6\\ m-m & -3+2m \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2m-3}\begin{pmatrix} 2m-3 & 0\\ 0 & 2m-3 \end{pmatrix}=I$.

2.2.3) Ecuación matricial $BX+A^2=C$

Despejamos el término con $X$:

$B$ es invertible, ya que

y no depende de $m$. Multiplicando por $B^{-1}$ por la izquierda en los dos miembros:

La ecuación tiene, por tanto, solución única para todo $m\in\mathbb{R}$ (aquí no hace falta que $A$ sea invertible).

Inversa de $B$. Adjuntos: $B_{11}=5$, $B_{12}=-1$, $B_{21}=-2$, $B_{22}=-1$. Por tanto

Cálculo de $A^2$ y de $C-A^2$:

Observa que el término $m^2$ se cancela.

Cálculo de $X$:

Comprobación: $BX=\dfrac17\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 41-2m & 15m+29\\ -m-4 & -3m-10 \end{pmatrix}=\dfrac17\begin{pmatrix} -49 & -21m-49\\ 21-7m & -21 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & -3m-7\\ 3-m & -3 \end{pmatrix}=C-A^2$. ✓

3.1.1) Distancia del punto $(3,1,-2)$ al plano $\pi$ en función de $a$

La distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ a un plano $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ es

Para $\pi\equiv 2x+ay-z+3=0$ tenemos $\vec n_\pi=(2,a,-1)$, cuyo módulo es $|\vec n_\pi|=\sqrt{4+a^2+1}=\sqrt{5+a^2}$. Nunca se anula, así que la fórmula vale para todo $a\in\mathbb{R}$. Sustituyendo $P(3,1,-2)$:

Comprobación. La distancia se anula solo para $a=-11$: en ese caso $\pi\equiv 2x-11y-z+3=0$ y, en efecto, $6-11+2+3=0$, es decir, $P\in\pi$. Para $a=0$, $\pi\equiv 2x-z+3=0$ y la fórmula da $d=\dfrac{11}{\sqrt5}$ u, que coincide con la entrada de calculadora de arriba.

3.1.2) Ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$ para $a=4$

Para $a=4$, $\pi\equiv 2x+4y-z+3=0$ y $\vec n_\pi=(2,4,-1)$.

Vector director de $r$. La recta es la intersección de dos planos, de vectores normales $\vec n_1=(2,4,-1)$ y $\vec n_2=(-1,1,5)$, así que un vector director es su producto vectorial:

Podemos usar el proporcional $\vec v_r=(7,-3,2)$.

Ángulo recta-plano. El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano es el complementario del ángulo que forman $\vec v_r$ y $\vec n_\pi$:

Luego $\alpha=0^\circ$: la recta es paralela al plano o está contenida en él.

¿Paralela o contenida? Buscamos un punto de $r$. Con $z=0$: $2x+4y=0$ y $-x+y=3$, de donde $x=-2y$, $3y=3$, $y=1$, $x=-2$. Así $P_r=(-2,1,0)\in r$ (cumple $-4+4-0=0$ y $2+1+0=3$). Sustituyendo en $\pi$: $2\cdot(-2)+4\cdot1-0+3=3\neq0$, así que $P_r\notin\pi$ y la recta es paralela a $\pi$ (no está contenida). Su distancia al plano es $d(P_r,\pi)=\dfrac{3}{\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ u.

3.1.3) Simétrico del punto $\left(\frac{9}{2},5,-1\right)$ respecto de $\pi$ para $a=3$

Para $a=3$, $\pi\equiv 2x+3y-z+3=0$ y $\vec n_\pi=(2,3,-1)$. Sea $P=\left(\frac92,5,-1\right)$ y $P'$ su simétrico.

1. Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ (su vector director es $\vec n_\pi$):

2. Punto de corte $M=s\cap\pi$ (proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$):

Comprobación: $2\cdot\frac12+3\cdot(-1)-1+3=0$, luego $M\in\pi$.

3. $M$ es el punto medio de $PP'$, así que $P'=2M-P$:

Comprobación. El punto medio de $PP'$ es $\left(\frac{9/2-7/2}{2},\frac{5-7}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=\left(\frac12,-1,1\right)=M\in\pi$, y $\overrightarrow{PP'}=(-8,-12,4)=-4\,(2,3,-1)$ es proporcional a $\vec n_\pi$, es decir, perpendicular a $\pi$. Además, al sustituir en la ecuación de $\pi$, $P$ da $28$ y $P'$ da $-7-21-3+3=-28$: están a la misma distancia y a lados opuestos.

3.2.1) Valor de $\alpha$ para que $r$ y $s$ sean perpendiculares

Vector director de $r$. La recta viene en forma continua, $\dfrac{x-x_0}{v_1}=\dfrac{y-y_0}{v_2}=\dfrac{z-z_0}{v_3}$, así que se leen directamente un punto y un vector director:

(Si $\alpha=0$, el denominador nulo se interpreta con el convenio habitual: $z=0$ en todos los puntos de $r$ y $\vec v_r=(2,3,0)$. Así, $\vec v_r=(2,3,\alpha)$ vale para todo $\alpha$.)

Vector director de $s$. La recta $s$ es la intersección de dos planos, de vectores normales $\vec n_1=(-1,1,1)$ y $\vec n_2=(1,2,-1)$. Los normales $(-1,1,1)$ y $(1,2,-1)$ no son proporcionales, así que los planos se cortan en una recta. Su dirección es perpendicular a ambos normales, luego es paralela a su producto vectorial:

Como el producto vectorial no es nulo, se confirma que los planos no son paralelos. Tomamos un vector proporcional más sencillo: $\vec v_s=(1,0,1)$.

Condición de perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores son ortogonales, es decir, cuando su producto escalar es nulo:

El valor obtenido es distinto de cero; para $\alpha=0$ el producto escalar vale $2\neq 0$ y no habría perpendicularidad.

3.2.2) Recta paralela a $s$ por el punto de $r$ con $z=0$

Punto de $r$ con $z=0$. En paramétricas, con $\vec v_r=(2,3,\alpha)$:

Imponemos $z=0$: $\alpha t=0$. Como $\alpha\neq 0$, la única solución es $t=0$, que da el punto

(Si fuera $\alpha=0$, como se vio en 3.2.1, todos los puntos de $r$ tendrían $z=0$ y el punto no estaría determinado; por eso el enunciado excluye ese caso.)

Recta pedida. Una recta paralela a $s$ tiene el mismo vector director, $\vec v_s=(1,0,1)$. Pasando por $P(-1,2,0)$:

Comprobación. $P$ no está en $s$, porque no cumple la primera ecuación: $-(-1)+2+0=3\neq 1$. Por tanto la recta obtenida es paralela a $s$ y distinta de ella (no coincidente).

4.1.1) Área total en función de $x$ y $h$

La superficie del prisma está formada por:

• Dos bases, que son triángulos equiláteros de lado $x$. La altura de un triángulo equilátero de lado $x$ es, por el teorema de Pitágoras,

  $$\sqrt{x^2-\left(\tfrac{x}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}\,x,$$

  así que el área de cada base es

  $$A_{\text{base}}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{\sqrt3}{2}\,x=\frac{\sqrt3}{4}\,x^2 .$$

• Tres caras laterales, que son rectángulos de lados $x$ y $h$, de área $x\,h$ cada uno.

Sumando:

4.1.2) Valores de $x$ y $h$ que maximizan el volumen

Función a maximizar. El volumen de un prisma es el área de la base por la altura:

Condición (ligadura). El área total es $10$ cm²; despejamos $h$:

Dominio. Debe ser $x>0$ y $h>0$, es decir, $20-\sqrt3\,x^2>0\iff x^2<\dfrac{20}{\sqrt3}$. Por tanto

Volumen en función de $x$. Sustituimos $h$:

Puntos críticos. $V$ es un polinomio, derivable en todo el dominio:

Descartamos la solución negativa (una longitud no puede serlo). Queda

que está dentro del dominio, pues $1{,}9619<3{,}3981$.

Es un máximo. Estudiamos el signo de $V'$ (o la segunda derivada):