El problema de Monty Hall: la puerta que enfadó a mil doctores

Imagina que estás en un concurso. Delante tienes tres puertas cerradas: detrás de una hay un coche y detrás de las otras dos, cabras. Eliges la puerta 1. El presentador, que sabe lo que esconde cada una, abre la puerta 3 y aparece una cabra. Entonces te pregunta: «¿Quieres cambiar a la puerta 2?».

La mayoría de la gente responde que da igual: quedan dos puertas, un coche, así que 50 % y 50 %. La respuesta correcta es que conviene cambiar, y con eso duplicas tus posibilidades. Cuando esta pregunta llegó a una revista de gran tirada, en septiembre de 1990, miles de lectores escribieron para decir que la respuesta era un disparate. Algunos firmaban con un doctorado.

Una pregunta de revista y una montaña de cartas

La pregunta apareció en la sección «Ask Marilyn» de la revista Parade, en septiembre de 1990. La respondía Marilyn vos Savant, y su respuesta fue que había que cambiar de puerta. Según ella, recibió unas 10 000 cartas, la inmensa mayoría en contra. John Tierney, en un reportaje del New York Times de julio de 1991, cuenta que cerca de 1000 llevaban firmas con título de doctor, muchas en papel con membrete de departamentos de matemáticas y ciencias.

Tierney cita a algunos. Robert Sachs, de la Universidad George Mason, empezaba con un «¡Ha metido la pata!» y le explicaba que, abierta una puerta, a cada una de las restantes le tocaba la mitad. E. Ray Bobo, de Georgetown, le escribía que estaba «completamente equivocada». No todos los matemáticos se equivocaron, y Sachs acabó retractándose.

Mucho más viejo que Marilyn

Vos Savant no inventó el problema, sino que lo popularizó. Un antepasado temprano es la paradoja de las cajas de Joseph Bertrand, que en su Calcul des probabilités (1889) planteó tres cajas: una con dos monedas de oro, otra con dos de plata y otra con una de cada. Eliges una caja al azar, sacas una moneda sin mirar la otra y es de oro. ¿Qué probabilidad hay de que la otra también lo sea? La tentación es decir $\frac12$, porque solo quedan dos cajas posibles. Bertrand explica que ese razonamiento no puede ser correcto, porque los dos casos que quedan no son igual de probables. La respuesta, de hecho, es $\frac23$.

En 1959, Martin Gardner planteó en su columna de Scientific American el problema de los tres prisioneros, equivalente en esencia. La abrió recordando una observación de Charles S. Peirce: en ninguna otra rama de las matemáticas es tan fácil que los expertos metan la pata como en la teoría de la probabilidad. Al problema lo llamó «un problemilla maravillosamente confuso».

El nombre actual llegó en 1975. El estadístico Steve Selvin, de la Universidad de California en Berkeley, publicó ese año dos cartas en The American Statistician. En la de agosto, titulada «On the Monty Hall Problem», aparece, según las fuentes sobre Selvin, por primera vez impreso el nombre de Monty Hall, presentador del concurso Let’s Make a Deal. En la correspondencia de Selvin con Hall el juego se planteaba con cajas en lugar de puertas. (El reportaje de Tierney da por error 1976.)

Por qué no son 50 y 50

Veamos el razonamiento con calma. Al principio eliges la puerta 1. La probabilidad de que el coche esté ahí es $\frac13$, y de que esté en alguna de las otras dos, $\frac23$. Hasta aquí nadie discute.

Ahora el presentador abre una puerta con cabra. Lo decisivo es que siempre puede hacerlo: de las dos puertas que no elegiste, al menos una tiene cabra. Si, cuando puede elegir entre dos cabras, lo hace al azar, la puerta concreta que abre tampoco te dice nada sobre la tuya, que sigue valiendo $\frac13$. Las dos puertas que dejaste valían juntas $\frac23$, y una ya está abierta y descartada. Toda esa probabilidad se concentra en la que queda.

Con números, un árbol. Suponemos que el coche está en cada puerta con probabilidad $\frac13$ y que, si has acertado, el presentador elige al azar entre las dos cabras. Hay cuatro caminos:

Supón que el presentador abre la puerta 3. Con el teorema de Bayes, la probabilidad de que el coche esté en tu puerta, sabiendo que ha abierto la 3, es

$$P(\text{coche en 1} \mid \text{abre 3}) = \frac{\frac13 \cdot \frac12}{\frac13 \cdot \frac12 + \frac13 \cdot 1 + \frac13 \cdot 0} = \frac{\frac16}{\frac12} = \frac13 .$$

El denominador es $P(\text{abre 3}) = \frac12$. Como solo quedan dos puertas, el coche está en la 2 con probabilidad $1-\frac13=\frac23$: cambiar gana el doble de veces que quedarse.

Si todavía te cuesta, imagina un millón de puertas: eliges una y el presentador abre 999 998 con cabra. ¿Te quedas con la tuya, de probabilidad una entre un millón, o te pasas a la única superviviente?

Las hipótesis lo son todo

Aquí viene la parte que se suele olvidar. El enunciado de Parade no decía explícitamente que el presentador siempre abre una puerta con cabra y siempre ofrece cambiar. Gardner señaló que, sin eso, el problema «no está bien formulado»: si el presentador fuera malévolo y solo ofreciera cambiar cuando has acertado, la probabilidad de ganar cambiando podría ser cero. El estadístico Persi Diaconis fue más tajante: sin conocer la motivación del presentador no se puede responder.

Esa dependencia no es un capricho. En 1991, Morgan, Chaganty, Dahiya y Doviak mostraron en The American Statistician que, condicionando a la puerta que el presentador abre, la probabilidad de ganar cambiando puede valer cualquier cosa entre $\frac12$ y $1$, según cómo elija el presentador entre dos cabras. Solo cuando elige al azar sale justo $\frac23$. Las hipótesis estándar, las que dan el famoso resultado, son estas: el presentador sabe dónde está el coche, siempre abre una puerta que no elegiste y que tiene cabra, y siempre te ofrece cambiar.

Y el programa real no funcionaba así. Según la reproducción de su carta a Selvin, fechada el 12 de mayo de 1975, una vez abierta la caja vacía el concursante no podía cambiar su elección, y las probabilidades siempre habían sido «de dos a uno en contra». En 1991 le contó a Tierney que él controlaba el juego: podía abrir directamente la puerta elegida o ofrecer dinero para tentar al concursante. Su consejo: si el presentador está obligado a ofrecer el cambio, cambia; si puede elegir, cuidado, caveat emptor.

Las puertas de cartón de Monty

Hall, que presentó unos 4500 programas de Let’s Make a Deal entre 1963 y 1990, repitió el experimento en su casa con puertas de cartón: la llave de un coche hacía de premio y pasas y caramelos, de cabras. En diez rondas sin cambiar salieron 4 coches y 6 cabras; en diez rondas cambiando, 8 coches y 2 cabras. Hall dio la razón a vos Savant.

Nuestra intuición, en el banquillo

¿Qué hace tan resistente al error? Mueser y Granberg estudiaron en 1999 a 328 universitarios. En la versión estándar con intención neutra del presentador (54 estudiantes), solo el 19 % cambiaba, y en torno al 80 % daba la mitad de probabilidad a cada puerta. En una versión ambigua y sin incentivo económico, el cambio dependía de las intenciones que se atribuyeran al presentador: cambiaba el 30 % cuando se le suponía bien intencionado y el 11 % cuando no. No conviene generalizar esos porcentajes: dependen del estudio y del enunciado.

En 2010, Herbranson y Schroeder pusieron a prueba a seis palomas. En cuestión de un mes aprendieron a cambiar casi siempre. Doce estudiantes, repartidos en dos grupos, jugaron 200 veces; en el grupo donde cambiar era lo mejor, cambiaban solo el 66 % de las veces en el último bloque, lejos de la estrategia óptima (cambiar siempre) y del 96 % de las palomas. Los autores sugieren que las palomas aprenden de la frecuencia con que gana cada estrategia, mientras que las personas intentan razonar con la probabilidad clásica y se enredan. Según un ensayo de 2024 en arXiv, Rafael C. Alvarado añade una causa pedagógica: en la enseñanza, la dependencia entre sucesos queda en segundo plano.

Una última historia, que es una anécdota y no un hecho comprobado: la contó el propio Andrew Vazsonyi y la recogen otros autores. Según ella, cuando le planteó el problema a Paul Erdős, este respondió que era imposible y que cambiar no podía suponer ninguna diferencia, y solo se rindió a regañadientes al ver una simulación de Monte Carlo. Sea exacta o no, la moraleja vale: si intuición y cálculo discrepan, conviene simular. Coge tres cartas, una de ellas el as de espadas, y juega cincuenta o cien veces con un amigo que haga de presentador. Verás que cambiando ganas cerca de dos de cada tres partidas, no la mitad.

Practica: calcula casos favorables sobre casos posibles con la calculadora de combinatoria.

Fuentes

• John Tierney, «Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer?», The New York Times, 21 de julio de 1991 (copia en la Universidad de Notre Dame).
• Alex Homer, «Monty Hall origins», Tom Rocks Maths, 2021.
• Nick Brown y Eric-Jan Wagenmakers, «Literal and Liberal Translations of Bertrand’s Box Paradox», Bayesian Spectacles, 2021.
• «Steve Selvin», Wikipedia.
• J. P. Morgan, N. R. Chaganty, R. C. Dahiya y M. J. Doviak, «Let’s Make a Deal: The Player’s Dilemma», The American Statistician 45(4), 284-287, 1991.
• «The Monty Hall Problem (curated by Slater Bradley)», Slater Bradley.
• «Monty Hall problem», Wikipedia.
• Davide Castelvecchi, «Let’s make a deal: Revisiting the Monty Hall problem», Scientific American, blog Observations, 2011.
• Peter R. Mueser y Donald Granberg, «The Monty Hall Dilemma Revisited», working paper, Universidad de Missouri, 1999.
• Walter T. Herbranson y Julia Schroeder, «Are Birds Smarter Than Mathematicians? Pigeons (Columba livia) Perform Optimally on a Version of the Monty Hall Dilemma», Journal of Comparative Psychology 124(1), 1-13, 2010.
• Irvin Snider, «Monty Hall, Paul Erdös, and Monte Carlo», MWSUG 2010.
• Rafael C. Alvarado, «What’s So Hard about the Monty Hall Problem?», arXiv:2405.00884, 2024.