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El bit perdido
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El último teorema de Fermat: de una nota al margen a Wiles

Nivel bachillerato7 min de lecturaPor Fernando Hernando

Del margen de un libro de Diofanto a la demostración de Andrew Wiles: Euler, Sophie Germain, Kummer, un error en 1993 y el premio Abel de 2016.

cada dato lleva su fuente al final

Hay una ecuación que cabe en una servilleta y tardó más de trescientos cincuenta años en cerrarse. La enunció un jurista francés en el margen de un libro, dijo que tenía una prueba y que no le cabía en la página. Lo intentaron después Euler, una joven parisina que firmaba con nombre de hombre y un alemán que inventó unos números nuevos que acabaron siendo decisivos. La solución llegó por un camino que Fermat no podía imaginar.

Una ecuación que cualquiera entiende

La ecuación x2+y2=z2x^2 + y^2 = z^2 tiene infinitas soluciones enteras. La más famosa es 32+42=523^2 + 4^2 = 5^2, y cualquier par de enteros positivos m>nm > n da otra con x=m2−n2x = m^2 - n^2, y=2mny = 2mn, z=m2+n2z = m^2 + n^2 (con m=2m = 2, n=1n = 1 sale el 3, 4, 5).

Ahora sube el exponente. ¿Hay dos cubos que sumen otro cubo? ¿Dos cuartas potencias que sumen otra? Fermat afirmó que nunca:

xn+yn=znno tiene soluciones enteras positivas si n>2.x^n + y^n = z^n \quad \text{no tiene soluciones enteras positivas si } n > 2.

Lo entiende un niño de diez años, y así le pasó a Andrew Wiles, que lo encontró en la biblioteca pública y recordaría que era un problema que él, con esa edad, podía entender.

El margen demasiado pequeño

Pierre de Fermat (nacido en 1601, aunque la fecha se discute, y fallecido en 1665) era magistrado en Toulouse y matemático en sus ratos libres. Tenía una edición de la Aritmética de Diofanto, traducida por Bachet, y la llenaba de anotaciones. En una de ellas escribió que había descubierto una demostración realmente admirable de que con potencias mayores es imposible, pero que el margen era demasiado estrecho para contenerla.

Nadie lo supo hasta 1670, cuando su hijo Samuel publicó la Aritmética con las notas de su padre. Hoy se cree que Fermat se equivocaba. Solo sobrevive una prueba suya relacionada, la del caso n=4n = 4, por descenso infinito: de una solución se construye otra más pequeña, y de esa otra más pequeña, y así sin fin, lo cual es absurdo porque los enteros positivos no pueden decrecer eternamente.

Ese caso ahorra trabajo. Todo exponente n>2n > 2 es múltiplo de 4 o de un primo impar, y si no hay soluciones con exponente pp, tampoco con kpkp (basta elevar la solución a kk). Quedaban los primos impares.

Euler, Germain y el siglo XIX

Para n=3n = 3 el primer nombre es el de Euler. En 1753 le escribió a Goldbach que lo había conseguido, y en su Álgebra de 1770 publicó una prueba. Tiene una laguna: trató los números a+b−3a + b\sqrt{-3} como si se comportaran igual que los enteros, y no siempre lo hacen. Se pudo reparar, y por eso se le sigue atribuyendo el caso.

Esa trampa, suponer que los números de un sistema nuevo se factorizan de forma única, va a volver. En los enteros solo hay una manera de descomponer 6 en primos. En los números a+b−5a + b\sqrt{-5}, en cambio,

6=2⋅3=(1+−5)(1−−5),6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}),

y ninguno de esos factores se puede romper más.

Entretanto, Sophie Germain (1776-1831) escribía a Gauss con el seudónimo de un tal M. LeBlanc. Su teorema usa primos auxiliares de la forma 2Np+12Np + 1 y descarta, para muchos exponentes primos pp, las soluciones en las que pp no divide a xyzxyz. Es el «caso 1», no la prueba completa, pero fue el resultado más importante hasta Kummer.

Siguieron n=5n = 5 (Dirichlet y Legendre, 1825), n=14n = 14 (Dirichlet, 1832) y n=7n = 7 (Lamé, 1839).

Línea del tiempo con los hitos del último teorema de Fermat, desde la nota de 1637 hasta la demostración de 1995

Kummer y los números ideales

En marzo de 1847 Gabriel Lamé anunció en París que lo tenía. Su idea era factorizar xp+ypx^p + y^p en números complejos: xp+yp=(x+y)(x+ζy)⋯(x+ζp−1y)x^p + y^p = (x + y)(x + \zeta y)\cdots(x + \zeta^{p-1}y), con ζ\zeta una raíz pp-ésima de la unidad. Funcionaba si esos números se factorizaban de forma única, y esa era la trampa de los −5\sqrt{-5} de antes. Ernst Kummer ya sabía que no siempre es así: su carta se leyó en la Academia el 24 de mayo.

Kummer había introducido poco antes, a mediados de la década de 1840 (las fuentes difieren en el año), los «números ideales» para recuperar la factorización única, y definió los primos regulares, para los que probó el teorema. El 37 es el primer irregular, y en 1915 Jensen demostró que hay infinitos. En 1857 la Academia de París le dio el Gran Premio (3000 francos) ofrecido por el problema, aunque no había concursado. Suele decirse que los inventó para atacar a Fermat, pero esa versión la contó por primera vez Kurt Hensel en 1910 y el historiador Harold Edwards la considera un error.

Dos mundos que no se conocían

En 1983 Gerd Faltings probó que, para cada exponente n≥4n \ge 4, hay como mucho un número finito de soluciones sin factores comunes (el caso 3 ya estaba resuelto). No es cero, pero es un avance enorme. La llave estaba en otro sitio. En 1955 Yutaka Taniyama planteó preguntas sobre las curvas elípticas, las de ecuación y2=x3+ax+by^2 = x^3 + ax + b, de donde salió la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil: toda curva elíptica definida sobre los racionales es «modular», es decir, está emparentada con un objeto de otra rama, las formas modulares.

A mediados de los ochenta, hacia 1984-1985, Gerhard Frey vio la conexión. Si existiera una solución ap+bp=cpa^p + b^p = c^p, la curva

y2=x (x−ap)(x+bp)y^2 = x\,(x - a^p)(x + b^p)

sería tan rara que no debería ser modular. Hoy se la llama curva de Frey-Hellegouarch, porque Yves Hellegouarch ya había estudiado curvas de ese tipo. Frey no lo demostró del todo: Ken Ribet lo cuenta así en el documental de NOVA. Serre dio un paso en 1985, y Ribet lo completó en el verano de 1986: si la conjetura de modularidad es cierta, el teorema de Fermat también.

Esquema lógico de la demostración: Frey, Ribet y Wiles enfrentados en una contradicción

Siete años en secreto

Wiles se enteró del resultado de Ribet y se puso a trabajar. Durante unos siete años lo hizo casi en secreto. El 21 de junio de 1993 empezó tres conferencias en el Isaac Newton Institute de Cambridge, y en la última, el 23, anunció que tenía la demostración.

No era del todo cierto. Al revisar el manuscrito apareció un error: una cota sobre el orden de cierto grupo no estaba justificada. El error se detectó en septiembre de 1993 y el 4 de diciembre Wiles reconoció la laguna.

Con su antiguo alumno Richard Taylor intentó reparar el argumento durante 1994. El 19 de septiembre de 1994 se le ocurrió la idea que lo arreglaba, y la describió (traducción propia) como tan indescriptiblemente bella, tan sencilla y tan elegante: el momento más importante de su vida profesional. El 6 de octubre envió la versión corregida a tres colegas, entre ellos Faltings, y el 24 dos manuscritos a los Annals of Mathematics, que los publicaron en mayo de 1995.

No lo hizo, pues, solo ni a la primera: la prueba se apoya en Frey, Serre y Ribet, y pasó por una rectificación pública. En 2001 Breuil, Conrad, Diamond y Taylor demostraron la modularidad de todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales; Wiles había hecho el caso semiestable, suficiente para Fermat.

Dinero, medallas y ordenadores

El premio Wolfskehl, un legado de 100 000 marcos de oro a la Academia de Göttingen, se lo llevó Wiles en 1997. Pero la inflación y la reforma monetaria de 1948 lo habían dejado en 7500 marcos, y los intereses lo habían devuelto a unos 70 000 marcos, unas 25 000 libras. No ganó la medalla Fields, porque superaba los 40 años; en 1998 la Unión Matemática Internacional le dio una placa de plata. En 2016 llegó el premio Abel, anunciado el 15 de marzo y dotado con 6 millones de coronas noruegas, por su «asombrosa demostración del último teorema de Fermat por medio de la conjetura de modularidad para curvas elípticas semiestables, que abre una nueva era en la teoría de números». Wiles ha contado que, desde el momento en que descubrió el problema siendo niño, supo que nunca lo dejaría.

El 4 de septiembre de 2026 Anthropic anunció que un modelo había generado una formalización completa del teorema en Lean, un lenguaje donde un ordenador comprueba cada paso: según la empresa, en once días y con unos 13 millones de líneas. La prueba sigue una versión simplificada de la de Wiles (la de Darmon, Diamond y Taylor), y Anthropic admite que probablemente es mucho más larga de lo necesario. Kevin Buzzard, que dirige un proyecto humano para hacer lo mismo, compiló el código, según The Next Web, y dice que matemáticamente no añade nada, porque sigue fielmente la literatura existente; ya daba un 99,9 % a que la prueba de Wiles fuera correcta. Conviene leerlo con cautela: no es una demostración nueva ni está revisada por pares, y quien lo anuncia es parte interesada. El proyecto de Buzzard, de una versión moderna de la prueba, sigue en marcha.

Lo que queda

Fermat quizá se equivocó, pero su error fue fértil. Para cerrar su margen hubo que desarrollar la teoría de ideales y enlazar curvas elípticas con formas modulares.

Practica: resuelve ecuaciones paso a paso.

Fuentes

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