Srinivasa Ramanujan: el empleado que escribió a Hardy

A comienzos de 1913, un empleado de la oficina del puerto de Madrás, que ganaba unas treinta libras al año, envió a un profesor de Cambridge una carta con un puñado de fórmulas sin demostración. El profesor era G. H. Hardy, y lo que leyó lo dejó, en parte, desarmado: unas fórmulas le resultaron familiares y otras, por sus propias palabras, lo derrotaron por completo.

El remitente se llamaba Srinivasa Ramanujan. Murió a los treinta y dos años, y las matemáticas aún siguen desentrañando lo que dejó en sus cuadernos.

Un muchacho con un libro de fórmulas

Ramanujan nació el 22 de diciembre de 1887 en Erode, en el sur de la India. Al año su madre lo llevó a Kumbakonam, donde su padre trabajaba como empleado en una tienda de telas. Fue a la escuela, sacó becas y un libro cayó en sus manos: la Synopsis of elementary results in pure mathematics de G. S. Carr, una colección de resultados enunciados casi sin demostración. Según Hardy, aquel libro despertó todas sus capacidades; y, según MacTutor, fue el único modelo que tuvo de cómo se escriben los argumentos matemáticos.

Conviene desmontar un mito que circula mucho: que Ramanujan no tuvo educación. La tuvo. Lo que no tuvo fue paciencia con lo que no eran matemáticas. Perdió su beca en 1905 por descuidar las demás asignaturas, estudió después en Madrás y suspendió los exámenes porque solo aprobaba la de matemáticas. En 1909 se casó con Janaki Ammal, que tenía diez años, según la costumbre de la época, y no vivieron juntos hasta que ella cumplió doce. Desde 1912 trabajó como empleado del Madras Port Trust, y en las horas libres llenaba cuadernos.

La carta

En sus cartas había, según Hardy, los enunciados escuetos de unos 120 teoremas, casi todos identidades extraídas de sus cuadernos. Hardy comentó quince en su libro de 1940. De las fórmulas más difíciles escribió que lo «derrotaron por completo», que bastaba una mirada para ver que solo un matemático de primera clase podía haberlas escrito, y que debían de ser ciertas porque, de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Los grandes matemáticos, concluía, son más comunes que los impostores con una habilidad tan increíble.

No todo era correcto. Entre los quince ejemplos, uno era falso y otro engañoso, y el resto, dice Hardy, ha sido verificado después por alguien. Una de sus afirmaciones falsas, una aproximación demasiado optimista para los coeficientes de cierta serie emparentada con las particiones, resultó ser, en palabras de Hardy, una de las más fructíferas que hizo, porque acabó llevándolos a todo su trabajo conjunto sobre particiones. Antes había escrito a otros dos matemáticos de Cambridge, H. F. Baker y E. W. Hobson, y ninguno le contestó (según MacTutor). Hardy lo vio al instante, respondió el 8 de febrero de 1913 y, con la ayuda de E. H. Neville, consiguió llevarlo a Inglaterra. Ramanujan salió de la India el 17 de marzo de 1914 y se instaló en Trinity College el 30 de abril.

Dos mentes, un malentendido

A Littlewood le pidieron que lo ayudase con el rigor; según su testimonio, cada tema desataba una avalancha de ideas originales (MacTutor). Juntos, Hardy y Ramanujan escribieron cinco artículos notables, según MacTutor (biografía de Hardy). En 1916 obtuvo el título de BA por investigación, y en 1918 fue elegido miembro de la Cambridge Philosophical Society, de la Royal Society y de Trinity College; según Hardy, fue el primer indio elegido fellow de Trinity.

Un taxi con un número aburrido

Littlewood decía que todo entero positivo era uno de los amigos personales de Ramanujan. La anécdota más famosa la cuenta el propio Hardy. Fue a visitar a Ramanujan, enfermo, a Putney, en un taxi con el número 1729. Comentó que le parecía un número bastante soso y que esperaba que no fuera mal presagio. «No», respondió Ramanujan, «es un número muy interesante: es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos de dos maneras distintas».

Tenía razón, y se comprueba con una calculadora:

$$1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3.$$

En efecto, $1 + 1728 = 729 + 1000 = 1729$. Con una precisión: hablamos de cubos de números positivos. Si se admiten negativos, hay números menores, por ejemplo $91 = 3^3 + 4^3 = 6^3 - 5^3$.

Tampoco lo descubrió Ramanujan: según MathWorld, F. de Bessy ya lo conocía en 1657. En la misma visita, Hardy le preguntó por las cuartas potencias, y Ramanujan respondió que no se le ocurría ningún ejemplo evidente y que el primero sería probablemente muy grande. Y lo era: el menor número que es suma de dos cuartas potencias de dos maneras es, según un resultado de Euler,

$$635\,318\,657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4.$$

Hoy se llama número taxi $\mathrm{Ta}(n)$ al menor entero que es suma de dos cubos positivos de $n$ maneras distintas; 1729 es $\mathrm{Ta}(2)$ y se factoriza en $7\cdot 13\cdot 19$. El siguiente, $\mathrm{Ta}(3) = 87\,539\,319$, lo halló Leech en 1957, y $\mathrm{Ta}(6)$ tiene ya veintitrés cifras: $24\,153\,319\,581\,254\,312\,065\,344$.

Las series que dan ocho cifras de π por término

Ramanujan encontró diecisiete series para $1/\pi$, según cuenta Guillera. Una de ellas es

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!\,(1103 + 26390\,n)}{(n!)^4\, 396^{4n}}.$$

Basta el primer término ($n=0$) para ver su fuerza: da $\pi \approx \frac{9801}{2\sqrt{2}\cdot 1103} = 3{,}14159273\ldots$, que ya coincide con $\pi$ en seis decimales. Con dos términos el resultado, $3{,}141592653589793\ldots$, coincide en quince decimales. Cada término nuevo aporta unas ocho cifras, según Guillera.

Ramanujan no demostró estas fórmulas con rigor. Las primeras demostraciones completas de las diecisiete series son de los hermanos Borwein, en 1987. Antes, en 1985, Gosper ya había calculado diecisiete millones de dígitos con esta serie, antes de que nadie supiera demostrarla. Los hermanos Chudnovsky desarrollaron después una serie nueva, que no es de Ramanujan, y es la que usó Google Cloud en 2022 para anunciar cien billones de dígitos de $\pi$ con el programa y-cruncher.

Partir números

Un número se puede partir en sumandos de muchas formas. El 4 se parte de cinco: $4$, $3+1$, $2+2$, $2+1+1$ y $1+1+1+1$. A ese número de formas se le llama $p(n)$, así que $p(4)=5$. Crece muy deprisa: $p(5)=7$, $p(10)=42$, $p(200)=3\,972\,999\,029\,388$.

Mirando una tabla de MacMahon hasta $n=200$, Ramanujan observó algo que nadie había visto:

$$p(5m+4)\equiv 0 \pmod 5,\qquad p(7m+5)\equiv 0 \pmod 7,\qquad p(11m+6)\equiv 0 \pmod{11}.$$

Compruébalo con $p(4)=5$ y $p(9)=30$. Según Hardy, fue el primero, y hasta entonces el único, en descubrir propiedades así, y las encontró al principio por observación.

Con Hardy llegó además a una fórmula para calcular $p(n)$. La aproximación más simple es

$$p(n)\approx \frac{1}{4n\sqrt{3}}\,e^{\pi\sqrt{2n/3}},$$

que para $n=200$ se pasa un 3 %. Añadiendo más términos de su serie completa, ocho de ellos dieron $p(200)$ con un error de 0,004. Hardy contó que esperaban un error de una o dos cifras y que no se habían atrevido a esperar algo así. Más tarde, Rademacher la convirtió en una fórmula exacta, y en 2011 Bruinier y Ono expresaron $p(n)$ como suma finita de números algebraicos.

El final y los cuadernos

Ramanujan cayó enfermo en el verano de 1917 y no se recuperó del todo. Se le diagnosticó tuberculosis, aunque según MacTutor ese diagnóstico solo se aceptó de forma provisional. Zarpó hacia la India el 27 de febrero de 1919 y murió el 26 de abril de 1920 en Kumbakonam, con treinta y dos años. En enero de 1920, unos tres meses antes de morir, escribió a Hardy una última carta matemática sobre las mock theta functions.

Hardy lo resumió así: la tragedia no fue que muriera joven, sino que durante sus cinco años desafortunados, su genio fue mal dirigido, desviado y en parte distorsionado. Y añadió que se había necesitado tan poco, sesenta libras al año durante cinco años, para que el mundo ganara otro de sus mejores matemáticos.

Quedaban los cuadernos. G. N. Watson y B. M. Wilson fueron sus editores designados, y Watson publicó catorce artículos titulados «Theorems stated by Ramanujan». Pero el cuaderno «perdido» no se perdió por misterio: estaba, en 1976, entre papeles de Watson en la Wren Library de Trinity. Allí lo encontró George Andrews en la primavera de ese año: 138 páginas del último año de su vida sobre las mock theta functions, las mismas de aquella última carta. Andrews y Berndt lo han editado después.

Practica: explora conteos con la calculadora de combinatoria.

Fuentes

• MacTutor History of Mathematics, «Srinivasa Ramanujan».
• MacTutor History of Mathematics, «Godfrey Harold Hardy».
• G. H. Hardy (1940), Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, Cambridge University Press.
• MathWorld, «Taxicab Number».
• MathWorld, «Diophantine Equation 4th Powers».
• Jesús Guillera (2008), «History of the formulas and algorithms for pi», arXiv.
• Emma Haruka Iwao (2022), Google Cloud Blog, «Even more pi in the sky: Calculating 100 trillion digits of pi on Google Cloud».
• Robert P. Schneider (2012), «Uncovering Ramanujan’s Lost Notebook: An Oral History», arXiv.
• Jan Hendrik Bruinier y Ken Ono (2011), «Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms», arXiv.