Las paradojas de Zenón: Aquiles, la flecha y una suma infinita

Corres detrás de alguien que te lleva cien metros de ventaja. Antes de alcanzarlo tienes que llegar al punto donde estaba hace un momento; pero para entonces él ya habrá avanzado un poco, así que tendrás que llegar a ese nuevo punto; y luego al siguiente, y al siguiente. La lista de puntos no se acaba nunca. Y sin embargo, todos sabemos que en la vida real adelantas a esa persona sin ningún problema. ¿Dónde está el truco?

Llevamos casi 2500 años buscándolo.

Un libro contra los burlones de Parménides

Zenón nació en Elea, una ciudad griega del sur de Italia, hacia el año 490 a. C. Esa fecha no sale de ningún registro civil: se deduce de las edades que Platón da a los personajes de su diálogo Parménides, que además es la fuente principal de lo que sabemos de él. Zenón fue discípulo y amigo de Parménides, un filósofo que sostenía algo radical: que el cambio y la pluralidad son apariencias, y que la realidad es una e inmutable.

Eso cambia el sentido de las paradojas. Según el Parménides, el libro de Zenón respondía a quienes ridiculizaban la tesis de su maestro de que todo es uno: si esa tesis parece absurda, venía a decir Zenón, la contraria, que existen muchas cosas, lo es todavía más. Esa lectura de Zenón como defensor de Parménides es la tradicional, pero hoy se matiza. La Stanford Encyclopedia of Philosophy recoge el juicio de Jonathan Barnes: «muchos se habían burlado de Parménides; Zenón se burló de los burlones». Y MacTutor advierte de que la razón que da Platón difícilmente explica por sí sola el libro: algunos autores piensan que apuntaba también contra otros rivales, como los seguidores de Pitágoras. Los argumentos sobre el movimiento, por cierto, no vienen del Parménides, sino de Aristóteles.

Su libro se ha perdido. Proclo, en el siglo V d. C., hablaba de una obra con cuarenta argumentos, aunque la SEP duda de que fuera una copia fiel del original. Contra el movimiento, Aristóteles recoge cuatro, y los conocemos sobre todo porque los resume en el libro VI de su Física (capítulo 9) para rebatirlos. Es decir, vemos los argumentos de Zenón a través de la presentación de su crítico. Conviene tenerlo presente: lo que sigue es la reconstrucción habitual, no el texto original.

Cuatro argumentos contra el movimiento

La dicotomía. Para ir de un punto a otro, primero hay que llegar a la mitad del camino. Aristóteles lo resume así: lo que se mueve debe llegar a la mitad antes que a la meta. Pero después queda otro trecho, con su propia mitad por delante, y luego otro, y otro: infinitos puntos que recorrer, y por tanto nunca se llegaría al final. MacTutor recoge además una variante «inversa», más desconcertante: antes de llegar a la mitad hay que llegar a la mitad de la mitad, y antes a la mitad de esa, de modo que ni siquiera se podría empezar, porque no hay un primer tramo.

Aquiles. Aristóteles escribe que el corredor más rápido nunca alcanzará al más lento, porque el perseguidor debe llegar antes al punto de donde partió el perseguido, de modo que el lento siempre conserva una ventaja. Él mismo dice que es el mismo argumento en esencia que la dicotomía. En su resumen no hay tortuga, solo «el más lento». La tortuga aparece en comentaristas posteriores como Simplicio, del siglo VI, pero la SEP describe una copa del siglo V a. C. hallada en Falerii, en Etruria, que muestra a un héroe corriendo por delante de una gran tortuga y que parece la primera «respuesta» conocida a la paradoja. La imagen podría ser, pues, de la época de Zenón.

La flecha. Si el tiempo está hecho de instantes, en cada uno de ellos la flecha ocupa un lugar exactamente igual a su tamaño, igual que una flecha parada. Entonces la flecha vuela sin moverse nunca. Aristóteles lo resume diciendo que la flecha en vuelo está en reposo, y responde que el tiempo no se compone de instantes indivisibles.

El estadio. Dos filas de cuerpos se cruzan en sentidos opuestos y se llega a una contradicción sobre los tiempos empleados. Según Aristóteles, el error está en suponer que un cuerpo tarda lo mismo en pasar junto a uno en reposo que junto a otro en movimiento.

Lo que respondió Aristóteles

Aristóteles consideró que el razonamiento de Zenón era falaz, y su respuesta tiene dos piezas. La primera, en el libro VI de la Física: hay dos clases de infinito, el de la divisibilidad y el de los extremos. Un tramo finito es infinitamente divisible, pero se puede recorrer en un tiempo finito, porque el tiempo es divisible exactamente de la misma manera. Los infinitos trozos de espacio se corresponden con infinitos trozos de tiempo, cada vez más breves.

La segunda aparece en el libro VIII (hacia 263a), donde, según la SEP, Aristóteles reconoce que la primera respuesta no zanja el asunto. Recurre entonces a la doctrina que expone en el libro III: el infinito solo existe en potencia, no en acto. Según ese texto, no habrá un infinito actual, y por división sí es infinito. Dicho de otro modo, no existen infinitos puntos ya hechos en el camino; existe la posibilidad de seguir dividiendo todo lo que quieras.

El historiador Thomas Heath, citado por MacTutor, opinaba que Aristóteles las llamó falacias pero no consiguió refutarlas. Es una valoración, no un hecho.

La suma que se acerca a 1

La versión progresiva de la dicotomía se modela con una serie. Si el camino mide 1, los tramos miden

$$\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ \dots$$

Hay infinitos, pero ¿qué pasa si los sumamos? Mira las sumas parciales. Tras un tramo llevas $1/2$; tras dos, $3/4$; tras tres, $7/8$. En general, tras $n$ tramos has recorrido

$$S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}.$$

Se comprueba por inducción: $S_1 = 1/2 = 1 - 1/2$, y si $S_n = 1 - 1/2^n$, entonces $S_{n+1} = 1 - 1/2^n + 1/2^{n+1} = 1 - 1/2^{n+1}$. Lo que falta para llegar es $1/2^n$, un hueco que se hace menor que cualquier número positivo que se nos ocurra: menos de una milésima con $n = 10$, menos de una millonésima con $n = 20$. Definimos entonces la suma de la serie como el límite de las sumas parciales:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right) = 1.$$

Con Aquiles pasa lo mismo. Supongamos que corre diez veces más rápido que la tortuga y que esta le lleva 100 metros de ventaja. Aquiles recorre 100 metros, y la tortuga avanza 10; Aquiles recorre esos 10, y la tortuga avanza 1; y así sucesivamente. La distancia total hasta el alcance es

$$100 + 10 + 1 + 0{,}1 + \dots = \frac{100}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1000}{9} \approx 111{,}1 \text{ m}.$$

Si Aquiles corre a 10 m/s, tarda unos 11,1 segundos. Infinitas etapas, pero un tiempo finito y perfectamente normal.

Cauchy y el rigor que tardó siglos

Esto parece sencillo, pero definir bien qué significa «sumar infinitos números» costó siglos. Sin cuidado, la serie $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ podría dar $0$ o $1$ según cómo agrupes los términos; con la definición por límites, simplemente no tiene suma, porque sus sumas parciales saltan entre $1$ y $0$ sin acercarse a nada. La Stanford Encyclopedia of Philosophy señala que la teoría de las sumas infinitas no quedó plenamente elaborada hasta el siglo XIX, con Cauchy: en su sistema $1/2 + 1/4 + \dots = 1$, mientras que $1 - 1 + 1 - \dots$ queda sin definir. Según MacTutor, el Cours d’analyse de Cauchy, de 1821 y pensado para los estudiantes de la École Polytechnique, se propuso desarrollar los teoremas básicos del cálculo con el mayor rigor posible. La aportación de Cauchy no fue la serie geométrica, sino el marco que permite decir con exactitud qué significa que una suma infinita «vale» algo.

La flecha, por su parte, pedía otra herramienta. Como señala MacTutor, hablar de la velocidad en un instante parecía un cociente $0/0$ sin sentido, hasta que los límites y el cálculo le dieron significado: la velocidad en un instante es el límite de $\Delta x / \Delta t$ cuando $\Delta t$ tiende a $0$. En ese lenguaje, una flecha puede estar en un único lugar en cada instante y tener a la vez una velocidad que no es cero. La velocidad no es algo que se pueda leer en un solo punto del tiempo, sino una propiedad del modo en que la posición cambia en torno a él.

¿Está resuelto?

Aquí hay que ser prudentes. Es tentador decir «Zenón perdió, la serie suma 1, fin de la historia». Pero el propio MacTutor matiza que la suma $1/2 + 1/4 + \dots = 1$ no responde por sí sola a la dicotomía: Zenón podría contestar que esa suma nunca llega a completarse. Y la versión inversa, que construye el recorrido empezando por el final, es todavía más difícil de contestar con series. Las matemáticas nos dicen cuánto vale la suma; la cuestión de si una sucesión infinita de tareas puede completarse en el mundo físico no queda zanjada por una fórmula.

La Stanford Encyclopedia of Philosophy lo expresa con claridad: siguiendo una pista de Bertrand Russell, filósofos como Adolf Grünbaum (1967) defendieron que la matemática moderna resuelve todas las paradojas. Esa visión «recibida» sigue siendo la dominante, aunque comentaristas recientes discuten aspectos concretos de su interpretación. Y queda abierta la relación entre el modelo y el mundo: nada garantiza a priori que el espacio físico tenga la estructura del continuo matemático.

Eso es lo que hace tan buena a esta historia. Unos argumentos de hace casi 2500 años acabaron pidiendo un lenguaje, el de los límites, que hoy usa cualquier estudiante de Bachillerato, y aun así conservan una pregunta que sigue abierta. La próxima vez que alcances un autobús, recuerda que, según el modelo matemático, acabas de completar infinitas etapas, cada una más corta que la anterior, y todavía te sobró aliento para sentarte.

Practica: calcula límites paso a paso.

Fuentes

• Huggett, Nick. «Zeno’s Paradoxes». Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2024. https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/
• Palmer, John. «Zeno of Elea». Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2025. https://plato.stanford.edu/entries/zeno-elea/
• O’Connor, J. J. y Robertson, E. F. «Zeno of Elea». MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews, 1999. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zeno_of_Elea/
• Aristóteles. Physics, Book VI (trad. R. P. Hardie y R. K. Gaye). The Internet Classics Archive, MIT. https://classics.mit.edu/Aristotle/physics.6.vi.html
• Aristóteles. Physics, Book III (trad. R. P. Hardie y R. K. Gaye). The Internet Classics Archive, MIT. https://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html
• O’Connor, J. J. y Robertson, E. F. «Augustin-Louis Cauchy». MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy/