La derivada como límite: de la secante a la tangente
Acerca h a cero y mira cómo la pendiente de la secante se convierte en la derivada.
Gráfica de la función con su recta tangente Puedes mover la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.
Arrastra el punto rojo sobre la curva y el punto negro para cambiar h.
x_0 = 1, \quad f(x_0) = \text{no existe}
m = f'(x_0) = \text{no existe}
La pendiente de una secante
Dos puntos de una curva, de abscisas x₀ y x₀ + h, determinan una recta secante. Su pendiente es el cociente incremental [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h. Para f(x) = x² en x₀ = 1 sale [(1 + h)² − 1]/h = 2 + h. Con h = 1 la pendiente es 3, con h = 0,1 es 2,1 y con h = 0,01 es 2,01.
De la secante a la tangente
Al acercar el segundo punto al primero, h se hace pequeño y la secante gira hasta pegarse a la curva: es la recta tangente. Su pendiente es el límite de las pendientes de las secantes: f′(x₀) = límh→0 [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h. En el ejemplo, ese límite es 2, así que la tangente a x² en x₀ = 1 tiene pendiente 2 (y = 2x − 1).
Cómo usar la gráfica
Pulsa «Acercar h a 0» y mira cómo la recta negra (secante) se aproxima a la roja (tangente), y cómo la diferencia entre sus pendientes se hace cada vez más pequeña. Arrastra el punto rojo para cambiar x₀ y activa «Dibujar f′(x)» para ver la derivada como función. También puedes escribir otra función, como sen(x) o x^3 − 3x.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la derivada como límite?
La derivada de f en x₀ es el límite del cociente incremental [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h cuando h tiende a 0. Ese cociente es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos de abscisas x₀ y x₀ + h; en el límite, la secante se convierte en la recta tangente.
¿Por qué no se puede poner h = 0 directamente?
Porque con h = 0 el cociente queda 0/0, que no tiene sentido. Lo que se hace es acercarse a 0 sin llegar: se estudia a qué valor se aproxima el cociente cuando h es cada vez más pequeño. Por eso hay un límite.
¿Qué pasa si h es negativo?
Es lo mismo, pero el segundo punto queda a la izquierda de x₀. Si la función es derivable en x₀, el cociente se acerca al mismo número tanto con h positivo como con h negativo.
¿Cuándo una función no tiene derivada en un punto?
Cuando los cocientes incrementales no se acercan a un único número. Ocurre en los picos (como |x| en 0, donde la pendiente es −1 por un lado y 1 por el otro), en los saltos y cuando la tangente es vertical. Pruébalo escribiendo |x| en la función y poniendo x₀ = 0.
¿Qué significa dibujar f′(x)?
La gráfica de f′ muestra en cada abscisa la pendiente de la tangente a f. Donde f crece, f′ es positiva; donde f decrece, f′ es negativa; y en los máximos y mínimos, f′ vale cero.