Polinomio de Taylor
Aproxima una función con un polinomio: sube el grado y mueve el punto de desarrollo.
Gráfica de la función y de su polinomio de Taylor Puedes mover la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.
Arrastra el punto a sobre la curva para cambiar dónde se desarrolla.
P_{5}(x) =
Zona de aproximación (en verde): donde el error |f(x) - P_{5}(x)| es menor que
Coeficientes y comparación
| k | f^{(k)}(a)/k! |
|---|
Qué es el polinomio de Taylor
Una función derivable se puede imitar cerca de un punto a con un polinomio. Si elegimos el polinomio para que valga lo mismo que f en a y tenga las mismas derivadas hasta el orden n, obtenemos elpolinomio de Taylor de grado n:
Pn(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)/2! · (x − a)² + … + f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ
Un ejemplo: el seno
En a = 0, el polinomio de grado 5 de sen x es x − x³/6 + x⁵/120 (los términos de grado par valen cero). Es la expresión que ves al abrir la gráfica. Para x = 1, el polinomio vale 0,841667, mientras que sen 1 = 0,841471: la diferencia es de unas dos diezmilésimas. Con grado 7 se añade el término −x⁷/5040 y el error baja todavía más.
Otro ejemplo clásico es eˣ en a = 0: su polinomio de grado n es 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n!. Para x = 1, los polinomios de grado 1, 2, 3 y 5 dan 2, 2,5, 2,6667 y 2,71667, y el número e vale 2,71828…
Cómo usar la gráfica
Mueve n y verás cómo la curva roja se pega cada vez más a la azul. Arrastra el punto a para desarrollar la función en otro punto. La franja verde marca la zona en la que el error es menor que el valor que elijas (0,5, 0,1 o 0,01): crece con el grado, pero siempre está centrada en a.
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve el polinomio de Taylor?
Sirve para sustituir una función complicada (sen x, eˣ, ln x…) por un polinomio, que es fácil de calcular. Cerca del punto a, el polinomio se parece mucho a la función; cuanto mayor es el grado, mejor es la aproximación y más ancha la zona donde funciona.
¿Cómo se calculan los coeficientes?
El coeficiente del término (x − a)ᵏ es f⁽ᵏ⁾(a)/k!, es decir, la derivada k-ésima en a dividida entre k factorial. Por eso el polinomio de grado n coincide con f en el punto a y también en sus n primeras derivadas.
¿Qué diferencia hay entre Taylor y Maclaurin?
Ninguna de fondo: el polinomio de Maclaurin es el de Taylor cuando el punto de desarrollo es a = 0. En la gráfica puedes verlo poniendo a = 0.
¿Por qué el polinomio se separa de la función lejos de a?
Porque solo hemos exigido que se parezcan en el punto a y en sus derivadas. Lejos de a, el polinomio sigue su propio camino. Al subir el grado se pega a la función en un intervalo cada vez mayor, pero siempre es una aproximación local.
¿Se puede usar para cualquier función?
Hace falta que la función y sus derivadas existan en a. Por ejemplo, ln x no se puede desarrollar en a = 0, pero sí en a = 1. Algunas funciones, como ln x o 1/(1 − x), solo se parecen a su polinomio dentro de un intervalo limitado alrededor de a, por muy alto que sea el grado.