Fórmulas imprescindibles de Matemáticas II para la PAU

Las fórmulas que se usan en los cuatro bloques del examen, sin teoría: solo lo que conviene saber de memoria. Todas están comprobadas por ordenador, con cálculo simbólico y numérico (SymPy y SciPy).

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Álgebra

Matriz inversa (si $|A|\neq 0$ ): $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t}$
Propiedades del determinante ( $A$ de orden $n$ ): $|AB|=|A|\,|B|,\qquad |A^{t}|=|A|,\qquad |kA|=k^{n}|A|$
Regla de Cramer (si $|A|\neq 0$ ): $x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|}\quad(A_i:\ \text{columna } i \text{ cambiada por los términos independientes})$
Teorema de Rouché–Frobenius ( $n$ incógnitas): $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^{*}=n\ \Rightarrow\ \text{SCD},\quad \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^{*}<n\ \Rightarrow\ \text{SCI},\quad \operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^{*}\ \Rightarrow\ \text{SI}$
Matriz ortogonal: $A^{t}A=I\iff A^{-1}=A^{t}$

Compruébalo con: Ecuaciones matriciales paso a paso · Rango e inversa con un parámetro · Discutir un sistema según un parámetro.

Geometría en el espacio

Producto escalar y ángulo entre vectores: $\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha$
Producto vectorial: $\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\end{vmatrix},\qquad |\vec u\times\vec v|=|\vec u|\,|\vec v|\sin\alpha$
Producto mixto: $[\vec u,\vec v,\vec w]=\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)=\det(\vec u,\vec v,\vec w)$
Área del triángulo $ABC$ y volumen del tetraedro $ABCD$: $S=\tfrac12\,|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|,\qquad V=\tfrac16\,\bigl|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\bigr|$
Distancia de un punto a un plano $\pi: Ax+By+Cz+D=0$: $d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
Distancia de un punto a una recta ( $A\in r$ , $\vec u$ director de $r$ ): $d(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}$
Distancia entre dos rectas que se cruzan ( $A\in r$ , $B\in s$ ; $\vec u$ , $\vec v$ directores de $r$ y $s$ ): $d(r,s)=\dfrac{\bigl|[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]\bigr|}{|\vec u\times\vec v|}$
Ángulo entre dos rectas, entre recta y plano y entre dos planos ( $\vec u$ , $\vec v$ : directores; $\vec n$ , $\vec n_1$ , $\vec n_2$ : normales): $\cos\gamma=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|},\qquad \sin\alpha=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|},\qquad \cos\beta=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$

Compruébalo con: Geometría del espacio: posiciones, distancias, ángulos y simétricos.

Análisis

Derivadas básicas: $(x^n)'=nx^{n-1},\ (e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\tfrac1x,\ (\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tan x)'=1+\tan^2x$
Cociente y regla de la cadena: $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2},\qquad (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$
Recta tangente en $x=a$: $y-f(a)=f'(a)\,(x-a)$
Regla de L’Hôpital (si da $\tfrac00$ o $\tfrac\infty\infty$ , $f$ y $g$ son derivables cerca de $a$ y existe el límite del cociente de derivadas; vale también si $a=\pm\infty$ ): $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
Primitivas inmediatas (a cada una se le suma una constante $C$ ): $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1),\quad \int\dfrac{dx}{x}=\ln|x|,\quad \int e^x\,dx=e^x,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x,\quad \int\cos x\,dx=\sin x$
Integración por partes: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$
Regla de Barrow ( $f$ continua en $[a,b]$ , $F$ una primitiva de $f$ ): $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\quad F'=f$
Área entre dos curvas y volumen de revolución (eje $OX$ ): $S=\int_a^b\bigl|f(x)-g(x)\bigr|\,dx,\qquad V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$

Compruébalo con: Continuidad y derivabilidad con parámetros · Estudio completo de una función · Máximo y mínimo absolutos en un intervalo · Área entre curvas.

Probabilidad

Suceso contrario, unión y leyes de De Morgan: $P(\bar A)=1-P(A),\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\quad \overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B,\ \overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B$
Probabilidad condicionada ( $P(B)>0$ ): $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Sucesos independientes: $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Probabilidad total (los $A_i$ forman un sistema completo): $P(B)=\sum_i P(A_i)\,P(B\mid A_i)$
Teorema de Bayes ( $P(B)>0$ ): $P(A_j\mid B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B\mid A_j)}{\sum_i P(A_i)\,P(B\mid A_i)}$
Binomial $B(n,p)$ , con $q=1-p$: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{\,n-k},\qquad \mu=np,\quad \sigma=\sqrt{npq}$
Normal $N(\mu,\sigma)$ : tipificación: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
El segundo parámetro es la desviación típica: si te dan la varianza, $\sigma=\sqrt{\text{varianza}}$ .
Aproximación de la binomial por la normal (si $np\ge5$ y $nq\ge5$ ): $B(n,p)\approx N\!\left(np,\ \sqrt{npq}\right)$
Con corrección por continuidad, que aplican los criterios oficiales: $P(X\ge k)\approx P(X'\ge k-0{,}5)$ , $P(X\le k)\approx P(X'\le k+0{,}5)$ , $P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le X'\le k+0{,}5)$ , con $X'$ la normal.

Compruébalo con: Probabilidad total y teorema de Bayes, con diagrama de árbol · Distribución binomial paso a paso · Distribución normal con la tabla · Combinatoria: variaciones, permutaciones y combinaciones.

Qué entra en cada pregunta: temario. Cómo es el examen: nuevo modelo. Currículo oficial: Decreto 108/2022.

Datos de la Comunitat Valenciana. Esta guía está solo en castellano. Cada afirmación sobre el examen se apoya en un documento oficial (normativa, documento de características o exámenes y criterios oficiales) enlazado al final de la página o en la ficha de cada examen.