Fórmulas imprescindibles de MACS II para la PAU

Matrices, sistemas y programación lineal

Matriz inversa (si $|A|\neq 0$)

$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t}$$

Propiedades del determinante ($A$ de orden $n$)

$$|AB|=|A|\,|B|,\qquad |A^{t}|=|A|,\qquad |kA|=k^{n}|A|$$

Regla de Cramer (si $|A|\neq 0$)

$$x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|}\quad(A_i:\ \text{columna } i \text{ cambiada por los términos independientes})$$

Programación lineal

$$\text{Si la región factible es acotada (y no vacía), el máximo y el mínimo de } F(x,y)=ax+by \text{ se alcanzan en un vértice}$$

Se evalúa $F$ en cada vértice. Si dos vértices empatan, todos los puntos del lado que los une son óptimos. Si la región no está acotada, hay que justificar con las rectas de nivel que el óptimo existe: puede no haberlo. Si las incógnitas cuentan objetos, la solución debe ser entera.

Practica: Matrices · Determinantes · Sistemas de ecuaciones · Programación lineal. Compruébalo con: Ecuaciones matriciales paso a paso · Rango e inversa con un parámetro · Discutir un sistema según un parámetro · Programación lineal paso a paso, con la región factible.

Funciones, derivadas e integrales

Derivadas básicas

$$(x^n)'=nx^{n-1},\ (e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\tfrac1x,\ (\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x$$

Cociente y regla de la cadena

$$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2},\qquad (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$$

Recta tangente y recta normal en $x=a$

$$y-f(a)=f'(a)(x-a),\qquad y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)\ \ (f'(a)\neq0)$$

Primitivas inmediatas (a cada una se le suma una constante $C$)

$$\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1),\quad \int\dfrac{dx}{x}=\ln|x|,\quad \int e^x\,dx=e^x$$

Regla de Barrow ($f$ continua en $[a,b]$) y área entre dos curvas

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\ \ (F'=f),\qquad S=\int_a^b\bigl|f(x)-g(x)\bigr|\,dx$$

Practica: Límites y continuidad · Derivadas y aplicaciones · Estudio de funciones · Optimización · Integrales. Compruébalo con: Continuidad y derivabilidad con parámetros · Estudio completo de una función · Máximo y mínimo absolutos en un intervalo · Área entre curvas.

Probabilidad

Suceso contrario, unión y leyes de De Morgan

$$P(\bar A)=1-P(A),\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\quad \overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B,\ \overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B$$

Probabilidad condicionada ($P(B)>0$)

$$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Sucesos independientes

$$P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$$

Probabilidad total (los $A_i$ forman un sistema completo)

$$P(B)=\sum_i P(A_i)\,P(B\mid A_i)$$

Teorema de Bayes ($P(B)>0$)

$$P(A_j\mid B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B\mid A_j)}{\sum_i P(A_i)\,P(B\mid A_i)}$$

Binomial $B(n,p)$, con $q=1-p$

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{\,n-k},\qquad \mu=np,\quad \sigma=\sqrt{npq}$$

Normal $N(\mu,\sigma)$: tipificación

$$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$

El segundo parámetro es la desviación típica: si te dan la varianza, $\sigma=\sqrt{\text{varianza}}$.

Aproximación de la binomial por la normal (si $np\ge5$ y $nq\ge5$)

$$B(n,p)\approx N\!\left(np,\ \sqrt{npq}\right)$$

Con corrección por continuidad, que aplican los criterios oficiales: $P(X\ge k)\approx P(X'\ge k-0{,}5)$, $P(X\le k)\approx P(X'\le k+0{,}5)$, $P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le X'\le k+0{,}5)$, con $X'$ la normal.

Practica: Probabilidad. Compruébalo con: Probabilidad total y teorema de Bayes, con diagrama de árbol · Distribución binomial paso a paso · Distribución normal con la tabla · Combinatoria: variaciones, permutaciones y combinaciones.

Inferencia estadística

Intervalo de confianza para la media (población $N(\mu,\sigma)$ con $\sigma$ conocida, muestra de tamaño $n$; si $\sigma$ es desconocida o la población no es normal, con $n\ge30$ y la desviación típica muestral)

$$\left(\bar x-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \bar x+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)$$

Valores habituales: $z_{\alpha/2}=1{,}645$ (90 %), $1{,}96$ (95 %), $2{,}576$ (99 %).

Error máximo y tamaño mínimo de la muestra

$$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\qquad n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$$

El tamaño $n$ se redondea al entero superior.

Intervalo de confianza para una proporción ($n$ grande)

$$\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)$$

Estadístico del contraste sobre la media ($H_0:\mu=\mu_0$)

$$z=\dfrac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

Contraste bilateral: se rechaza $H_0$ si $|z|>z_{\alpha/2}$.