Calculadora de integrales paso a paso

Qué es una integral indefinida

Integrar es el proceso inverso de derivar. Una primitiva de $f$ es una función $F$ con $F'(x)=f(x)$. Como las constantes se anulan al derivar, si $F$ es una primitiva también lo es $F+C$, y por eso

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

No olvides nunca la constante $C$.

El método paso a paso

Integrales inmediatas (la constante $C$ se sobreentiende):

Integrando	Primitiva
$x^n\ (n\neq-1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a}$
$\operatorname{sen}x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\operatorname{sen}x$
$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\operatorname{tg}x$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\operatorname{arctg}x$

La integral es lineal: $\int(af+bg)=a\int f+b\int g$. Si dentro hay una función lineal $ax+b$, se compensa con $\frac1a$.

Cambio de variable (sustitución). Busca una función $t=g(x)$ cuya derivada aparezca multiplicando (salvo constantes). Calcula $dt=g'(x)\,dx$, sustituye, integra en $t$ y deshaz el cambio.

Integración por partes.

$$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du.$$

Se suele recordar como «un día vi una vaca vestida de uniforme». Para elegir $u$ ayuda la regla ALPES: se toma como $u$ lo que aparezca primero en la lista Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos y cosenos. Todo lo demás es $dv$.

Fracciones simples (racionales). Si el integrando es $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$:

1. Si el grado de $P$ es mayor o igual que el de $Q$, divide primero.
2. Factoriza $Q$ y descompón en fracciones simples, $\dfrac{A}{x-r}$ para cada raíz simple.
3. Integra cada una: $\int\dfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.

Comprobación: deriva el resultado; debe salir el integrando.

Un ejemplo completo

Por partes: $\displaystyle\int x\,e^{3x}\,dx$. Por ALPES, $u=x$ (polinomio) y $dv=e^{3x}dx$. Entonces $du=dx$ y $v=\dfrac{e^{3x}}{3}$:

$$\int x\,e^{3x}\,dx=\frac{x\,e^{3x}}{3}-\int\frac{e^{3x}}{3}\,dx=\frac{x\,e^{3x}}{3}-\frac{e^{3x}}{9}+C=\left(\frac{x}{3}-\frac19\right)e^{3x}+C.$$

Sustitución: $\displaystyle\int x\cos(x^2)\,dx$. Con $t=x^2$, $dt=2x\,dx$, luego $x\,dx=\frac{dt}{2}$:

$$\int\cos t\,\frac{dt}{2}=\frac12\operatorname{sen}t+C=\frac12\operatorname{sen}(x^2)+C.$$

Fracciones simples: $\displaystyle\int\frac{3x+5}{(x-1)(x+3)}\,dx$. Escribimos $\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}$, es decir, $3x+5=A(x+3)+B(x-1)$. Con $x=1$ queda $8=4A$, luego $A=2$; con $x=-3$ queda $-4=-4B$, luego $B=1$. Por tanto

$$\int\frac{3x+5}{(x-1)(x+3)}\,dx=2\ln|x-1|+\ln|x+3|+C.$$

Derivando el primer resultado se recupera $x\,e^{3x}$, lo que confirma que es correcto.

Ojo: no todas las funciones tienen primitiva expresable con funciones elementales. Es el caso de $e^{x^2}$ o de $\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}$: existen primitivas, pero no se pueden escribir con las funciones habituales de Bachillerato.

Errores típicos

• Olvidar $+C$.
• Aplicar la regla de la potencia a $\frac1x$: $\int x^{-1}dx=\ln|x|$, no $\frac{x^0}{0}$.
• No deshacer el cambio de variable, dejando la respuesta en $t$.
• Elegir mal $u$ y $dv$ en partes, de modo que la integral se complica en lugar de simplificarse.
• Integrar un producto como producto de integrales: $\int fg\neq\int f\cdot\int g$.
• Olvidar el valor absoluto en el logaritmo.

Practica: calcula una integral definida con la regla de Barrow.