Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2026 julio (examen de solapamiento) resuelto

Definimos los sucesos $H$ = «el estudiante es hombre», $M$ = «el estudiante es mujer» y $A$ = «el estudiante abandona los estudios antes de acabar» (su contrario, $\overline{A}$, es «el estudiante finaliza sus estudios»).

Los datos del enunciado son

y, por el suceso contrario,

El diagrama de árbol, con la probabilidad de cada rama (regla del producto), es:

• $H$ ($0{,}44$):
  • $A$ ($0{,}20$): $P(H\cap A) = 0{,}44\cdot 0{,}20 = 0{,}088$.
  • $\overline{A}$ ($0{,}80$): $P(H\cap \overline{A}) = 0{,}44\cdot 0{,}80 = 0{,}352$.
• $M$ ($0{,}56$):
  • $A$ ($0{,}15$): $P(M\cap A) = 0{,}56\cdot 0{,}15 = 0{,}084$.
  • $\overline{A}$ ($0{,}85$): $P(M\cap \overline{A}) = 0{,}56\cdot 0{,}85 = 0{,}476$.

Comprobación: $0{,}088 + 0{,}352 + 0{,}084 + 0{,}476 = 1$.

1.1 Porcentaje de estudiantes que finaliza sus estudios

$\{H, M\}$ es un sistema completo de sucesos (todo estudiante es hombre o mujer, y no ambas cosas). Por el teorema de la probabilidad total:

1.2 Probabilidad de que sea mujer sabiendo que ha abandonado

Nos piden $P(M\mid A)$. Por el apartado anterior, $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}828 = 0{,}172$. Por el teorema de Bayes:

1.3 Al menos 3 de 7 alumnos masculinos finalizan

Elegimos 7 alumnos hombres. Para cada uno, «finaliza sus estudios» tiene probabilidad $P(\overline{A}\mid H) = 0{,}8$, y suponemos que lo que hace cada alumno es independiente de los demás (la población de la universidad es grande). Sea

Son 7 pruebas independientes con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito, luego $X \sim B(7;\ 0{,}8)$, con

Nos piden $P(X \ge 3)$. Es más corto calcularla por el suceso contrario:

2.1.1) Rango de $A$ según $a$

Como $A$ es cuadrada de orden 3, empezamos por su determinante (desarrollando por la primera fila):

Igualamos a cero: $3a^2-5a+2=0 \Rightarrow a=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{6}=\dfrac{5\pm1}{6}$, es decir, $a=1$ o $a=\dfrac23$. Por tanto

Además, $A$ tiene siempre un menor de orden 2 no nulo, que no depende de $a$:

así que $\operatorname{rg}(A)\ge 2$ para todo $a$.

• Si $a\neq 1$ y $a\neq \frac23$: $|A|\neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A)=3$.
• Si $a=1$ o $a=\frac23$: $|A|=0$ y hay un menor de orden 2 no nulo, luego $\operatorname{rg}(A)=2$.

2.1.2) Discusión del sistema

El sistema $A\cdot(x,y,z)^T=w$ es

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius; hay 3 incógnitas.

Caso $a\neq 1$ y $a\neq \frac23$. $\operatorname{rg}(A)=3=\operatorname{rg}(A^*)$ (la ampliada tiene 3 filas, así que su rango no puede superar 3), igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a=1$. $\operatorname{rg}(A)=2$. Para la ampliada orlamos el menor $\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}\neq0$ con la tercera fila y la columna de términos independientes (la otra orla, con la tercera columna, es $|A|=0$):

Luego $\operatorname{rg}(A^*)=2=\operatorname{rg}(A)<3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). Por ejemplo, quitando la tercera ecuación (que es la segunda menos la primera) y tomando $z=\lambda$:

Caso $a=\frac23$. $\operatorname{rg}(A)=2$, y en la ampliada el menor formado por las columnas 1.ª, 2.ª y 4.ª es

así que $\operatorname{rg}(A^*)=3\neq\operatorname{rg}(A)=2$: sistema incompatible.

2.1.3) Valor de $z$ cuando el sistema es compatible determinado

Para $a\neq1$ y $a\neq\frac23$ aplicamos la regla de Cramer a la incógnita $z$ (sustituimos la tercera columna de $A$ por $w$):

donde hemos simplificado $a-1$ porque $a\neq 1$.

Comprobación con $a=0$: el sistema queda $x+y=1$, $2x+3y+z=0$, $2y=-1$, de donde $y=-\frac12$, $x=\frac32$ y $z=-3+\frac32=-\frac32$, que coincide con $\frac{3}{3\cdot 0-2}=-\frac32$.

2.2.1 A es ortogonal; cálculo de $A^{38}$ y $(AA^{T})^{39}$

Que la inversa de $A$ sea su traspuesta significa que $A\cdot A^{T}=A^{T}\cdot A=I$. La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas:

Multiplicamos (fila por columna):

Por tanto $A^{-1}=A^{T}$ y $A$ es ortogonal.

Potencias de $A$. Calculamos las primeras hasta que se repitan:

Como $A^{3}=I$, las potencias se repiten de 3 en 3. Dividimos el exponente entre 3: $38=3\cdot 12+2$, así que

(Observa que $A^{2}=A^{T}$, lo que cuadra con $A^{3}=I$: $A^{2}=A^{-1}=A^{T}$.)

Potencia de $AA^{T}$. Acabamos de ver que $AA^{T}=I$, y toda potencia de la identidad es la identidad:

2.2.2 ¿Puede ser cero el determinante de una matriz ortogonal?

No. Hay dos formas de verlo:

• Si $M$ es ortogonal, por definición tiene inversa ($M^{-1}=M^{T}$), y una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Luego $|M|\neq 0$.
• Con más detalle: de $M\cdot M^{T}=I$, usando que $|M\cdot N|=|M|\cdot|N|$ y que $|M^{T}|=|M|$,

Así que el determinante de una matriz ortogonal solo puede valer $1$ o $-1$; nunca $0$.

Para la matriz $A$ del apartado anterior lo comprobamos por Sarrus: de los seis productos solo es no nulo $a_{13}a_{21}a_{32}=1\cdot1\cdot1$, así que

2.2.3 ¿Es ortogonal el producto de dos matrices ortogonales?

Sean $A$ y $B$ ortogonales de la misma dimensión $n$ (aquí son matrices cualesquiera, no las de los otros apartados), es decir, $AA^{T}=A^{T}A=I$ y $BB^{T}=B^{T}B=I$. El producto $AB$ es una matriz cuadrada $n\times n$. Usamos la propiedad de la traspuesta de un producto, $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ (cambia el orden), y la propiedad asociativa:

Por tanto $(AB)^{-1}=(AB)^{T}$: el producto $AB$ sí es ortogonal.

2.2.4 Ecuación $A^{2}X-2B=0$

Aquí $A$ es la matriz de 2.2.1 y $B$ es la matriz $3\times 2$ dada. Como $A^{2}$ es $3\times 3$ y $2B$ es $3\times 2$, la incógnita $X$ ha de ser $3\times 2$.

Pasamos $2B$ al otro miembro:

La matriz $A^{2}$ tiene inversa, porque $|A^{2}|=|A|^{2}=1^{2}=1\neq 0$ (basta con $|A|\neq 0$, que ya garantiza 2.2.2). Multiplicamos los dos miembros por la izquierda por $(A^{2})^{-1}$ (el orden importa, el producto de matrices no es conmutativo):

Como $A^{3}=I$, se tiene $A^{2}\cdot A=I$, es decir, $(A^{2})^{-1}=A$. (También se ve con 2.2.1 y 2.2.3: $A$ es ortogonal (2.2.1) y $A^{2}=A\cdot A$ es producto de ortogonales, luego es ortogonal (2.2.3) y $(A^{2})^{-1}=(A^{2})^{T}=(A^{T})^{2}$. Como $A^{T}=A^{2}$ (visto en 2.2.1), resulta $(A^{T})^{2}=(A^{2})^{2}=A^{4}=A^{3}\cdot A=A$.) Entonces

Comprobación:

Primero leemos los elementos de la recta. De la forma continua $r\equiv\dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$ obtenemos un punto y un vector director:

3.1.1) Plano respecto al cual $A$ y $B$ son simétricos

$A$ y $B$ son simétricos respecto de $\pi_1$ si y solo si $\pi_1$ es el plano mediador del segmento $AB$: el plano perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio.

Punto medio:

Vector normal: el propio vector $\overrightarrow{AB}=(3-1,\,4-(-2),\,3-1)=(2,6,2)$, o cualquiera proporcional, como $\vec n_{\pi_1}=(1,3,1)$.

El plano es $x+3y+z+D=0$, y como pasa por $M$: $2+3\cdot1+2+D=0\Rightarrow D=-7$.

Comprobación. $M\in\pi_1$: $2+3+2-7=0$. Además, $A$ y $B$ quedan a lados opuestos de $\pi_1$ y a la misma distancia: al sustituir, $A$ da $1-6+1-7=-11$ y $B$ da $3+12+3-7=11$. Y como $\overrightarrow{AB}=2\vec n_{\pi_1}$ es perpendicular al plano, $B$ es el simétrico de $A$.

3.1.2) La recta $r$ está contenida en $\pi_1$

Una recta está contenida en un plano si un punto suyo está en el plano y su vector director es paralelo al plano (perpendicular al vector normal).

• Punto: $P_r=(0,2,1)$ cumple $0+3\cdot2+1-7=0$, luego $P_r\in\pi_1$.
• Dirección: $\vec v_r\cdot\vec n_{\pi_1}=(2,-1,1)\cdot(1,3,1)=2-3+1=0$, luego $\vec v_r$ es paralelo a $\pi_1$.

Por tanto $r\subset\pi_1$.

3.1.3) Plano $\pi_2$ que contiene a $A$ y corta a $\pi_1$ en la recta $r$

Si $\pi_2\cap\pi_1=r$, entonces $\pi_2$ contiene a la recta $r$ y al punto $A$. Como $A\notin r$ (de hecho $A\notin\pi_1$: $1-6+1-7=-11\neq0$), la recta $r$ y el punto $A$ determinan un único plano. Ese plano es distinto de $\pi_1$ (porque $A\notin\pi_1$), así que su intersección con $\pi_1$ es exactamente la recta $r$.

Vectores directores de $\pi_2$: $\vec v_r=(2,-1,1)$ y $\overrightarrow{P_rA}=(1-0,\,-2-2,\,1-1)=(1,-4,0)$, que no son proporcionales.

Ecuación (punto $P_r$ y los dos vectores):

Desarrollando por la primera fila:

Un vector normal es $\vec n_{\pi_2}=\vec v_r\times\overrightarrow{P_rA}=(4,1,-7)$.

Comprobación.

• $A\in\pi_2$: $4\cdot1+(-2)-7\cdot1+5=0$.
• $r\subset\pi_2$: $P_r$ cumple $0+2-7+5=0$ y $\vec v_r\cdot\vec n_{\pi_2}=8-1-7=0$.
• $\pi_1$ y $\pi_2$ no son paralelos ($(1,3,1)$ y $(4,1,-7)$ no son proporcionales). Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones se obtiene $x=2z-2$, $y=3-z$; con $z=1+\lambda$ queda $(x,y,z)=(2\lambda,\,2-\lambda,\,1+\lambda)$, que es la recta $r$.

3.2.1) Distancia de $P$ a $\pi$

Con la fórmula de la distancia de un punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+d=0$,

para $P(1,-2,0)$ y $\pi:\,-2x+y+2z+1=0$:

3.2.2) Recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$

Una recta es perpendicular a un plano cuando su vector director es paralelo al vector normal del plano. El vector normal de $\pi$ se lee en los coeficientes de $x$, $y$, $z$:

Tomamos $\vec v_r=\vec n_\pi=(-2,1,2)$ y el punto $P(1,-2,0)$:

En forma continua: $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z}{2}$.

3.2.3) Ángulos interiores del triángulo de cortes con los ejes

Puntos de corte. En cada eje se anulan las otras dos coordenadas:

• Eje $OX$ ($y=z=0$): $-2x+1=0\Rightarrow x=\tfrac12$. Punto $A\left(\tfrac12,0,0\right)$.
• Eje $OY$ ($x=z=0$): $y+1=0\Rightarrow y=-1$. Punto $B(0,-1,0)$.
• Eje $OZ$ ($x=y=0$): $2z+1=0\Rightarrow z=-\tfrac12$. Punto $C\left(0,0,-\tfrac12\right)$.

Los tres puntos son distintos y no están alineados (están en tres ejes distintos y ninguno es el origen), así que forman un triángulo.

Ángulo en $A$. Es el ángulo entre $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$:

Ángulo en $B$. Entre $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BC}$:

Ángulo en $C$. Entre $\overrightarrow{CA}$ y $\overrightarrow{CB}$:

Comprobación. $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\tfrac{\sqrt5}{2}$: el triángulo es isósceles con lados iguales $AB$ y $BC$, así que los ángulos en $A$ y en $C$ deben ser iguales, como ha salido. Además, comprobamos que los tres ángulos suman $180^\circ$. Por la fórmula del ángulo doble, $\cos 2\hat A=2\cos^2\hat A-1=\tfrac{2}{10}-1=-\tfrac45=-\cos\hat B=\cos\left(180^\circ-\hat B\right)$. Como $\cos\hat A=\tfrac{1}{\sqrt{10}}>0$, el ángulo $\hat A$ es agudo y $2\hat A\in(0^\circ,180^\circ)$. También $180^\circ-\hat B\in(0^\circ,180^\circ)$, y en ese intervalo el coseno es inyectivo. Por tanto $2\hat A=180^\circ-\hat B$, es decir, $\hat A+\hat B+\hat C=2\hat A+\hat B=180^\circ$.