Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2026 junio (examen de solapamiento) resuelto

Sucesos. En una ronda cualquiera definimos:

• $C$: «la moneda sale cara»; $\overline{C}$: «la moneda sale cruz»,
• $G$: «el alumno gana la ronda».

Suponemos, como es habitual, que la moneda y el dado son equilibrados (el enunciado no lo dice).

Entonces $P(C)=P(\overline{C})=\dfrac12$, y $C$, $\overline{C}$ forman un sistema completo de sucesos. Los resultados $1,\dots,6$ del dado son equiprobables y, por la regla de Laplace:

• Si sale cara, se gana con $5$ o $6$: $P(G\mid C)=\dfrac{2}{6}=\dfrac13$.
• Si sale cruz, se gana con $2$, $4$ o $6$: $P(G\mid \overline{C})=\dfrac{3}{6}=\dfrac12$.

Tabla equivalente al diagrama de árbol (primera rama: moneda; segunda: ganar o no). Se multiplica a lo largo de cada camino:

Comprobación: $\frac16+\frac13+\frac14+\frac14=1$.

1.1) Probabilidad de ganar una ronda

Por el teorema de la probabilidad total:

1.2) Probabilidad de que haya salido cara sabiendo que ha ganado

Nos piden $P(C\mid G)$. Por el teorema de Bayes (definición de probabilidad condicionada y apartado 1.1):

y, dividiendo fracciones,

1.3) Moneda trucada (siempre cara): exactamente 5 victorias en 7 rondas

Si la moneda siempre sale cara, en cada ronda se gana si y solo si el dado da $5$ o $6$, de modo que la probabilidad de ganar una ronda con esta moneda es

Sea $X$ = «número de rondas ganadas de las 7». Se cumplen las condiciones de una binomial: hay $n=7$ pruebas independientes (el enunciado dice que cada ronda es independiente), cada una con dos resultados (ganar o no) y la probabilidad de ganar es la misma en todas, $p=\frac13$. Por tanto $X\sim B\!\left(7,\tfrac13\right)$ y

donde se ha simplificado dividiendo entre $3$ (también vale dejarlo como $\frac{84}{2187}$). Aquí $\dbinom75=\dbinom72=\dfrac{7\cdot 6}{2}=21$; el exponente $5$ va con $p=\frac13$ (victorias) y el $2$ con $1-p=\frac23$ (derrotas).

2.1.1) Discusión del sistema

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$:

Como el sistema es cuadrado, calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus:

$\alpha=-1$ es raíz ($-1+3-2=0$); por Ruffini, $\alpha^3-3\alpha-2=(\alpha+1)(\alpha^2-\alpha-2)=(\alpha+1)^2(\alpha-2)$. Por tanto

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius ($n=3$ incógnitas):

Caso $\alpha\neq -1$ y $\alpha\neq 2$. $|A|\neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A)=3=\operatorname{rg}(A^*)=n$: sistema compatible determinado.

Caso $\alpha=-1$.

Las tres filas de $A$ son proporcionales (la 2.ª es la 1.ª cambiada de signo y la 3.ª es igual a la 1.ª), y no es la matriz nula, así que $\operatorname{rg}(A)=1$. En $A^*$, el menor formado por las filas 1.ª y 2.ª y las columnas 1.ª y 4.ª es

Como $\operatorname{rg}(A)=1\neq 2=\operatorname{rg}(A^*)$, el sistema es incompatible. (Se ve también directamente: la 1.ª ecuación dice $-x+y-z=0$ y la 2.ª, $x-y+z=1$, equivale a $-x+y-z=-1$.)

Caso $\alpha=2$.

Ahora $|A|=0$ y $\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}=3\neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A)=2$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

Como $\operatorname{rg}(A)=2\neq 3=\operatorname{rg}(A^*)$, el sistema es incompatible.

2.1.2) Solución cuando el sistema es compatible

Por el apartado anterior, el sistema solo es compatible (y entonces determinado) cuando $\alpha\neq -1$ y $\alpha\neq 2$. En ese caso $|A|=(\alpha+1)^2(\alpha-2)\neq 0$ y podemos aplicar la regla de Cramer:

Dividiendo entre $|A|=(\alpha+1)^2(\alpha-2)$ y simplificando el factor $\alpha+1\neq 0$:

Comprobación (con $D=(\alpha+1)(\alpha-2)=\alpha^2-\alpha-2$):

• 1.ª ecuación: $\dfrac{\alpha + (\alpha-3) - (2\alpha-3)}{D}=\dfrac{0}{D}=0$. ✓
• 2.ª ecuación: $\dfrac{1 + \alpha(\alpha-3) + (2\alpha-3)}{D}=\dfrac{\alpha^2-\alpha-2}{D}=1$. ✓
• 3.ª ecuación: $\dfrac{-1 + (\alpha-3) + \alpha(2\alpha-3)}{D}=\dfrac{2\alpha^2-2\alpha-4}{D}=2$. ✓

Por ejemplo, para $\alpha=0$ queda $x=-\tfrac12$, $y=\tfrac32$, $z=\tfrac32$, que cumple las tres ecuaciones.

2.2.1) Valores de $a$ que cumplen $A^2 - I = 2A$

Calculamos primero $A^2$:

Entonces

Dos matrices son iguales si y solo si lo son todos sus elementos. Los elementos de fuera de la diagonal coinciden siempre ($2=2$), así que basta igualar la diagonal:

En ambas ecuaciones se cancela el término en $a$ y queda $a^2=1$, es decir, $a=1$ o $a=-1$.

Comprobación. Para $a=1$, $A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$, $A^2=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 5\end{pmatrix}$ y $A^2-I=\begin{pmatrix} 0 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}=2A$. Para $a=-1$, $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $A^2=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ y $A^2-I=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 0\end{pmatrix}=2A$.

2.2.2) Valores de $a$ para los que existe $A^{-1}$ y cálculo de la inversa

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero:

$|A|=-a^2=0 \iff a=0$. Por tanto:

• Si $a=0$, $|A|=0$ y $A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ no tiene inversa.
• Si $a\neq 0$, $|A|=-a^2\neq 0$ y $A$ es invertible.

Para $a\neq 0$ usamos $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\operatorname{Adj}(A)^{t}$. Los adjuntos de $A$ son

luego

(es simétrica porque $A$ lo es), y

Comprobación. Para matrices cuadradas basta ver que $A\cdot A^{-1}=I$.

Por ejemplo, para $a=1$ queda $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, y efectivamente $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=I$.

Cada recta viene dada como intersección de dos planos. Estudiar su posición relativa equivale a discutir el sistema formado por las cuatro ecuaciones (un punto común a las dos rectas es una solución de las cuatro a la vez):

Recordamos la clasificación (con $A$ de tamaño $4\times3$):

• $\operatorname{rg}A=3$, $\operatorname{rg}A^*=4$: se cruzan.
• $\operatorname{rg}A=3$, $\operatorname{rg}A^*=3$: se cortan en un punto.
• $\operatorname{rg}A=2$, $\operatorname{rg}A^*=3$: son paralelas (distintas).
• $\operatorname{rg}A=2$, $\operatorname{rg}A^*=2$: son coincidentes.

3.1.1) Posición relativa según $a$

Rango de $A$. $A$ no depende de $a$, y el menor formado por sus tres primeras filas es

luego $\operatorname{rg}A=3$ para todo $a$. En particular, las rectas nunca son paralelas ni coincidentes: solo pueden cortarse o cruzarse.

Rango de $A^*$. Calculamos $|A^*|$. Restando a la cuarta columna la tercera ($C_4\to C_4-C_3$, que no cambia el determinante) y desarrollando por la segunda fila:

El determinante $3\times3$ (por la primera fila) vale

así que

Discusión.

• Si $a\neq\frac23$: $|A^*|\neq0$, luego $\operatorname{rg}A^*=4\neq\operatorname{rg}A=3$. El sistema es incompatible (sin puntos comunes) y las direcciones no son paralelas, así que las rectas se cruzan.
• Si $a=\frac23$: $|A^*|=0$, luego $\operatorname{rg}A^*=3$ (contiene el menor de orden 3 no nulo de $A$). Como $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3=$ número de incógnitas, el sistema es compatible determinado: las rectas se cortan en un punto.

3.1.2) Valor de $a$ para que se corten y punto de corte $P$

Por el apartado anterior, las rectas se cortan solo para $a=\dfrac23$. Resolvemos entonces el sistema (compatible determinado):

• De la segunda ecuación, $z=1$.
• De la cuarta, $x=\frac23-1=-\frac13$.
• De la primera, $y=\frac23-2x=\frac23+\frac23=\frac43$.

Comprobación en la ecuación que no hemos usado: $-x+2y+2z=\frac13+\frac83+2=3+2=5$. ✓ Por tanto, $P$ cumple las cuatro ecuaciones y está en las dos rectas.

3.1.3) Distancia del origen a $P$

La distancia entre $O=(0,0,0)$ y $P$ es el módulo del vector $\overrightarrow{OP}=\left(-\frac13,\frac43,1\right)$:

Datos. El plano $\pi\equiv 2x+y-3=0$ tiene vector normal $\vec n_\pi=(2,1,0)$. De las ecuaciones paramétricas de $r$ (con $\alpha=0$) obtenemos un punto y un vector director:

3.2.1 Plano $\pi_1$ perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$

Si $\pi_1$ contiene a $r$, contiene al punto $P_r$ y a la dirección $\vec d_r$. Además, $\pi_1\perp\pi$ equivale a $\vec n_{\pi_1}\perp\vec n_\pi$; como $\vec n_{\pi_1}$ es perpendicular a todas las direcciones de $\pi_1$, esto quiere decir que $\vec n_\pi$ es paralelo a $\pi_1$, es decir, $\vec n_\pi$ es otro vector director de $\pi_1$. Los dos vectores no son paralelos (sus coordenadas no son proporcionales: $\tfrac12\neq\tfrac{-2}{1}$), así que determinan el plano.

El vector normal de $\pi_1$ es perpendicular a los dos vectores directores:

(Era de esperar: $\vec d_r$ y $\vec n_\pi$ tienen la tercera coordenada nula, así que el normal solo puede ser de la forma $(0,0,k)$.) Por tanto $\pi_1\equiv z+D=0$, e imponiendo que pase por $P_r=(1,-1,1)$: $1+D=0$, $D=-1$, y

Comprobación. Todo punto de $r$ tiene $z=1$, luego $r\subset\pi_1$; y $\vec n_{\pi_1}\cdot\vec n_\pi=(0,0,1)\cdot(2,1,0)=0$, luego $\pi_1\perp\pi$. ✓

3.2.2 Plano $\pi_2$ paralelo a $\pi$ que contenga a $r$

¿Existe? Un plano paralelo a $\pi$ solo puede contener a $r$ si $r$ es paralela a $\pi$, es decir, si $\vec d_r\perp\vec n_\pi$:

Por tanto, $r$ es paralela a $\pi$ o está contenida en él. Como $P_r=(1,-1,1)$ da $2\cdot1+(-1)-3=-2\neq0$, $P_r\notin\pi$: la recta $r$ es paralela a $\pi$ y no está contenida en él. Así que sí existe un plano paralelo (distinto de $\pi$) que contiene a $r$.

Cálculo. Los planos paralelos a $\pi$ son de la forma $2x+y+D=0$. Imponemos que pase por $P_r$:

Comprobación. Para un punto cualquiera de $r$ se cumple:

luego $r\subset\pi_2$; y $\pi_2$ tiene el mismo vector normal $(2,1,0)$ que $\pi$ con distinto término independiente ($-1\neq-3$), así que $\pi_2\parallel\pi$. ✓

Para trabajar con un valor absoluto, lo primero es escribir $f$ a trozos: miramos dónde cambia de signo lo de dentro.

En $[-1,5]$ solo está $x=\frac{\sqrt6}{2}$ (el valor $-\frac{\sqrt6}{2}\approx-1{,}22$ queda fuera, a la izquierda de $-1$). Como $2x^2-3$ es una parábola que abre hacia arriba, es negativa entre sus raíces y positiva fuera. Por tanto:

4.1.1) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

$f$ es continua en $[-1,5]$ (valor absoluto de un polinomio). Derivando cada trozo:

En $x=\frac{\sqrt6}{2}$ las derivadas laterales son $f'\big(\tfrac{\sqrt6}{2}^-\big)=-2\sqrt6$ y $f'\big(\tfrac{\sqrt6}{2}^+\big)=2\sqrt6$: son distintas, así que $f$ no es derivable en ese punto (hay un punto anguloso). Lo tratamos como punto crítico.

Puntos críticos en $(-1,5)$: en el primer trozo $-4x=0 \iff x=0$, que sí está en $\big(-1,\tfrac{\sqrt6}{2}\big)$; en el segundo trozo $4x=0$ no tiene solución en $\big(\tfrac{\sqrt6}{2},5\big)$. Junto con ese punto anguloso, dividimos el intervalo y estudiamos el signo de $f'$:

Así, en el interior del intervalo, $f$ tiene un máximo relativo en $x=0$, con $f(0)=3$, y un mínimo relativo en $x=\frac{\sqrt6}{2}$, con $f\big(\tfrac{\sqrt6}{2}\big)=0$. Los valores en los extremos del intervalo, $f(-1)=1$ y $f(5)=47$, se comparan con estos en el apartado 4.1.2.

Como $f$ es continua en $[-1,5]$, también es válido incluir los extremos y escribir $[-1,0]\cup\left[\frac{\sqrt6}{2},5\right]$ y $\left[0,\frac{\sqrt6}{2}\right]$.

4.1.2) Máximo y mínimo absolutos

$f$ es continua en el intervalo cerrado $[-1,5]$, así que, por el teorema de Weierstrass, alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Están en los extremos del intervalo, en los puntos donde $f'=0$ o en los puntos donde $f$ no es derivable. Evaluamos $f$ en todos ellos:

Basta con comparar los valores $1$, $3$, $0$ y $47$: el mayor es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto.