Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2026 junio (examen de solapamiento) resuelto

a) Planteamiento y solución óptima

Variables. Llamamos

• $x$ = número de juegos de consola que se desarrollan,
• $y$ = número de juegos de ordenador que se desarrollan.

Función objetivo. Cada juego de consola da 100 € de beneficio diario y cada juego de ordenador 90 €. Hay que maximizar

Restricciones. Ordenamos los datos en una tabla (personas necesarias por juego):

Región factible. Dibujamos las rectas frontera:

• $r_1:\ x + y = 8$, que pasa por $(0,8)$ y $(8,0)$.
• $r_2:\ 2x + y = 15$, que pasa por $(0,15)$ y $(7{,}5,\,0)$.
• $r_3:\ x + 2y = 14$, que pasa por $(0,7)$ y $(14,0)$.

En las tres el origen cumple la desigualdad ($0\le 8$, $0\le 15$, $0\le 14$), así que en cada caso nos quedamos con el semiplano que contiene al origen (por debajo de la recta). Con $x\ge 0$, $y\ge 0$ estamos en el primer cuadrante. La región factible es el pentágono acotado de vértices $O$, $A$, $B$, $C$ y $D$ de la gráfica.

Vértices.

• $O = (0,0)$.
• $A = r_2\cap\{y=0\}$: $2x = 15 \Rightarrow A = (7{,}5;\,0)$. Cumple $7{,}5\le 8$ y $7{,}5\le 14$.
• $B = r_1\cap r_2$: restando $(2x+y) - (x+y) = 15 - 8 \Rightarrow x = 7$, $y = 1 \Rightarrow B = (7,\,1)$. Cumple $7 + 2 = 9\le 14$.
• $C = r_1\cap r_3$: restando $(x+2y) - (x+y) = 14 - 8 \Rightarrow y = 6$, $x = 2 \Rightarrow C = (2,\,6)$. Cumple $2\cdot 2 + 6 = 10\le 15$.
• $D = r_3\cap\{x=0\}$: $2y = 14 \Rightarrow D = (0,\,7)$. Cumple $7\le 8$ y $7\le 15$.

Un corte de dos rectas es vértice solo si cumple todas las restricciones; hay que comprobarlo siempre (o verlo en la gráfica bien dibujada). Los demás cortes no son vértices: por ejemplo, $r_2\cap r_3 = \left(\tfrac{16}{3},\tfrac{13}{3}\right)$ no cumple $x + y\le 8$ (suma $\tfrac{29}{3}\approx 9{,}67$), y $(0,8)$, $(8,0)$ no cumplen otras restricciones.

Valor de la función objetivo en los vértices. Como la región es acotada, el máximo existe y se alcanza en un vértice (o en todo un lado).

El máximo se alcanza solo en el vértice $B(7,\,1)$. Como $B$ tiene coordenadas enteras, es una solución válida (no se puede hacer medio juego). Si el vértice óptimo no fuera entero, habría que revisar los puntos enteros próximos.

Comprobación con las rectas de nivel (opcional). Las rectas $100x + 90y = k$ tienen pendiente $-\tfrac{10}{9}\approx -1{,}11$, que está entre la de $r_1$ ($-1$) y la de $r_2$ ($-2$). En la frontera, de $A$ a $B$ el lado tiene pendiente $-2$ y de $B$ a $C$ pendiente $-1$; la recta de nivel es menos inclinada que el primero y más que el segundo. Por eso, al desplazarlas hacia arriba y a la derecha, el último punto de la región que tocan es el corte de $r_1$ y $r_2$, es decir, $B$ (la recta $k = 790$ de la gráfica).

Comprobación con el enunciado. Con 7 juegos de consola y 1 de ordenador: diseño $7 + 1 = 8$ personas (las 8), pantallas $2\cdot 7 + 1 = 15$ (las 15) y sonido $7 + 2\cdot 1 = 9\le 14$ (sobran 5 personas).

b) Beneficio diario máximo

Sustituimos el óptimo en la función objetivo:

Planteamiento

Tomamos como incógnitas los precios de 2023, porque los de 2024 se expresan a partir de ellos:

• $x$ = precio (en €) de una subscripción a Metfilm en 2023,
• $y$ = precio (en €) de una subscripción a Lamparx en 2023,
• $z$ = precio (en €) de una subscripción a Tuing en 2023.

En 2024 los precios son $x+1$, $y+1$ y $z$ (Tuing mantiene el precio), y se contratan $40-2=38$ subscripciones a Metfilm, $50-3=47$ a Lamparx y $20$ a Tuing.

• Gasto de 2023: $40x+50y+20z=1850$.
• Gasto de 2024 (mismo presupuesto): $38(x+1)+47(y+1)+20z=1850 \;\Longrightarrow\; 38x+47y+20z=1850-38-47=1765$.
• Metfilm era 5 € más cara que Lamparx en 2023: $x=y+5$, es decir, $x-y=5$.

Resolución

Restando la segunda ecuación a la primera desaparece $z$:

Sustituimos $x=y+5$ (tercera ecuación):

De la primera ecuación:

El sistema es compatible determinado, porque el determinante de la matriz de coeficientes no se anula. Lo desarrollamos por la tercera fila:

Por tanto, la solución es única.

Precios de 2024: Metfilm $20+1=21$ €, Lamparx $15+1=16$ €, Tuing $15$ €.

Comprobación. 2023: $40\cdot 20+50\cdot 15+20\cdot 15=800+750+300=1850$ €. 2024: $38\cdot 21+47\cdot 16+20\cdot 15=798+752+300=1850$ €. Y $20-15=5$ €.

a) Continuidad y valores de $a$ y $b$

Dentro de cada trozo.

• Si $x\lt 1$: $f(x)=\ln(x^2+a)$ es continua donde está definida. Para que el logaritmo exista en todo $x\le 1$ (también en $x=0$) hace falta $a\gt 0$; el valor de $a$ que saldrá lo cumple.
• Si $1\lt x\lt 4$: $f(x)=(x+1)^2$ es un polinomio, continuo.
• Si $x\gt 4$: $f(x)=5x+\dfrac{b}{x+1}$; el denominador $x+1$ solo se anula en $x=-1$, que no está en $(4,+\infty)$; por tanto este trozo es continuo.

Quedan los puntos de cambio $x=1$ y $x=4$.

En $x=1$:

Es continua en $x=1$ si y solo si $\ln(1+a)=4$, es decir, $1+a=e^4$:

Este valor cumple $a\gt 0$, luego es válido.

En $x=4$:

Es continua en $x=4$ si y solo si $20+\dfrac b5=25$, es decir, $b=25$.

Resumen de la discusión (con $a\gt 0$ para que $f$ esté definida en todo $\mathbb{R}$):

• $f$ es continua en todo $x\ne 1,\,4$.
• En $x=1$: continua si $a=e^4-1$; si $a\ne e^4-1$ tiene una discontinuidad de salto finito (límites laterales $\ln(1+a)$ y $4$ distintos).
• En $x=4$: continua si $b=25$; si $b\ne 25$ tiene una discontinuidad de salto finito.

b) Máximo y mínimo absolutos en $[-1,5]$ con $a=54$, $b=25$

Con estos valores,

Por el apartado a), $b=25$ hace que $f$ sea continua en $x=4$, pero $a=54\ne e^4-1$, así que $f$ no es continua en $x=1$: $f(1)=\ln 55\approx 4{,}0073$, mientras que $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=4$. Ojo: $54$ se parece a $e^4-1\approx 53{,}6$, pero no es igual. Como $f$ no es continua en $[-1,5]$, el teorema de Weierstrass no se aplica: estudiamos la monotonía de cada trozo, comparamos y comprobamos que el máximo y el mínimo se alcanzan.

Trozo $[-1,1]$: $f(x)=\ln(x^2+54)$, $\quad f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+54}$.

$f'(x)=0\iff x=0$. Como $x^2+54\gt 0$, el signo de $f'$ es el de $x$: $f$ decrece en $(-1,0)$ y crece en $(0,1)$, luego hay un mínimo en $x=0$.

Trozo $(1,4]$: $f(x)=(x+1)^2$ es creciente para $x\gt 1$ ($f'(x)=2(x+1)\gt 0$), luego en este trozo $4\lt f(x)\le f(4)=25$. El valor $4$ no se alcanza: correspondería a $x=1$, que no pertenece a este trozo.

Trozo $(4,5]$: $f(x)=5x+\dfrac{25}{x+1}$, $\quad f'(x)=5-\dfrac{25}{(x+1)^2}$.

$f'(x)=0\iff (x+1)^2=5\iff x=-1\pm\sqrt5$, y ninguno de los dos ($\approx 1{,}24$ y $\approx -3{,}24$) está en $(4,5]$. Para $x\gt 4$, $(x+1)^2\gt 25\gt 5$, así que $f'(x)\gt 0$: es creciente, con valores en $(25,\,f(5)]$, donde

Comparación.

Además, $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=4$, pero ese valor no lo toma la función.

• El valor más grande es $f(5)=\frac{175}{6}$: en $[-1,1]$ la función no supera $\ln 55\approx 4{,}007$, en $(1,4]$ no supera $25$ y en $(4,5]$ es menor que $f(5)$.
• El valor más pequeño es $f(0)=\ln 54\approx 3{,}989$: en $[-1,1]$ es el mínimo, y en $(1,5]$ la función toma valores mayores que $4\gt\ln 54$ (porque $e^4\approx 54{,}6\gt 54$).

c) Área entre $x=2$ y $x=3$

En $[2,3]$ estamos en el segundo trozo, porque $[2,3]\subset(1,4]$: $f(x)=(x+1)^2$ (no depende de $a$ ni de $b$), que es mayor o igual que $0$, y además no corta al eje $OX$ en el intervalo (solo se anula en $x=-1$). Así que el área es directamente la integral:

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador.

Corte con el eje $Y$ ($x=0$, que está en el dominio):

Punto $(0,-1)$.

Cortes con el eje $X$ ($f(x)=0$): la fracción se anula cuando se anula el numerador.

El discriminante es negativo, así que el numerador no se anula nunca (de hecho, $x^2-2x+4=(x-1)^2+3>0$ para todo $x$): no hay cortes con el eje $X$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntotas verticales. Los candidatos son los puntos que no están en el dominio, $x=-2$ y $x=2$. En los dos el numerador no se anula ($f$ no tiene ceros), así que los límites son infinitos. Escribimos $x^2-4=(x-2)(x+2)$ para estudiar el signo del denominador:

• En $x=-2$ el numerador vale $4+4+4=12>0$.
  • Si $x\to-2^{-}$ (p. ej. $x=-2{,}1$): $x-2<0$ y $x+2<0$, luego $x^2-4\to0^{+}$ y $\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}f(x)=\frac{12}{0^{+}}=+\infty$.
  • Si $x\to-2^{+}$ (p. ej. $x=-1{,}9$): $x-2<0$ y $x+2>0$, luego $x^2-4\to0^{-}$ y $\displaystyle\lim_{x\to-2^{+}}f(x)=\frac{12}{0^{-}}=-\infty$.
• En $x=2$ el numerador vale $4-4+4=4>0$.
  • Si $x\to2^{-}$ (p. ej. $x=1{,}9$): $x-2<0$ y $x+2>0$, luego $x^2-4\to0^{-}$ y $\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}f(x)=\frac{4}{0^{-}}=-\infty$.
  • Si $x\to2^{+}$ (p. ej. $x=2{,}1$): $x-2>0$ y $x+2>0$, luego $x^2-4\to0^{+}$ y $\displaystyle\lim_{x\to2^{+}}f(x)=\frac{4}{0^{+}}=+\infty$.

Por tanto $x=-2$ y $x=2$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, $2$; el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Hay asíntota horizontal $y=1$, en $+\infty$ y en $-\infty$.

Posición respecto de $y=1$ (útil para la gráfica):

Para $x<-2$ es positivo (la gráfica se acerca a $y=1$ por encima en $-\infty$); para $x>4$ es negativo (se acerca por debajo en $+\infty$). La gráfica corta a la asíntota en $x=4$: $f(4)=\dfrac{16-8+4}{16-4}=\dfrac{12}{12}=1$, punto $(4,1)$.

c) Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

Derivamos con la regla del cociente:

Desarrollamos el numerador:

así que

Puntos críticos. $f'(x)=0\iff x^2-8x+4=0$:

es decir, $x_1=4-2\sqrt3\approx0{,}536$ y $x_2=4+2\sqrt3\approx7{,}464$, los dos en el dominio.

Signo de $f'$. El denominador $(x^2-4)^2$ es positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'$ es el de la parábola $x^2-8x+4$: positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas. Hay que separar además los puntos $x=\pm2$, que no están en el dominio:

(Por ejemplo, $f'(0)=\frac{2\cdot4}{16}=\frac12>0$ y $f'(1)=\frac{2(1-8+4)}{9}=-\frac23<0$.)

Extremos locales.

• En $x=4-2\sqrt3$ la función pasa de creciente a decreciente: máximo local. Su valor (con $x^2=28-16\sqrt3$):

  $$f(4-2\sqrt3)=\frac{24-12\sqrt3}{24-16\sqrt3}=\frac{6-3\sqrt3}{6-4\sqrt3}=\frac{(6-3\sqrt3)(6+4\sqrt3)}{36-48}=\frac{6\sqrt3}{-12}=-\frac{\sqrt3}{2}\approx-0{,}866.$$

• En $x=4+2\sqrt3$ pasa de decreciente a creciente: mínimo local. Su valor (con $x^2=28+16\sqrt3$):

  $$f(4+2\sqrt3)=\frac{24+12\sqrt3}{24+16\sqrt3}=\frac{6+3\sqrt3}{6+4\sqrt3}=\frac{(6+3\sqrt3)(6-4\sqrt3)}{36-48}=\frac{-6\sqrt3}{-12}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866.$$

d) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$; asíntota horizontal $y=1$, que la gráfica corta en $(4,1)$.
• Rama izquierda ($x<-2$): creciente; sale de la asíntota $y=1$ por encima en $-\infty$ y sube a $+\infty$ junto a $x=-2$.
• Rama central ($-2<x<2$): viene de $-\infty$ junto a $x=-2$, crece hasta el máximo local $\left(4-2\sqrt3,\,-\frac{\sqrt3}{2}\right)\approx(0{,}54;\ -0{,}87)$ (pasando antes por $(0,-1)$) y vuelve a bajar a $-\infty$ junto a $x=2$. Toda esta rama queda por debajo del eje $X$: el numerador $x^2-2x+4$ es siempre positivo y el denominador $x^2-4$ es negativo en $]-2,2[$, luego $f<0$ (lo confirma el máximo local, $-\frac{\sqrt3}{2}<0$).
• Rama derecha ($x>2$): baja desde $+\infty$ junto a $x=2$, corta a $y=1$ en $(4,1)$, llega al mínimo local $\left(4+2\sqrt3,\,\frac{\sqrt3}{2}\right)\approx(7{,}46;\ 0{,}87)$ y después crece acercándose a $y=1$ por debajo.

Definimos los sucesos $B$ = «la empresa está bien gestionada», $\overline{B}$ = «la empresa está mal gestionada» e $I$ = «la prueba indica que la empresa está bien gestionada» (su contrario, $\overline{I}$, es «la prueba indica que está mal gestionada»).

Tomamos el 70 % de empresas bien gestionadas como la probabilidad de que una empresa nueva lo esté. Traducimos el resto del enunciado:

• «En este caso, la prueba indica que está bien gestionada en el 90 % de los casos» significa que, si la empresa está bien gestionada, la prueba lo indica con probabilidad 0,9. Es una probabilidad condicionada: $P(I\mid B)$.
• «La prueba detecta como bien gestionada una empresa que está mal gestionada» con probabilidad del 5 % significa que, si la empresa está mal gestionada, la prueba indica «bien gestionada» con probabilidad 0,05: $P(I\mid \overline{B})$.

Los datos son

y, por el suceso contrario,

El diagrama de árbol, con la probabilidad de cada rama (regla del producto), es:

• $B$ ($0{,}7$):
  • $I$ ($0{,}9$): $P(B\cap I) = 0{,}7\cdot 0{,}9 = 0{,}63$.
  • $\overline{I}$ ($0{,}1$): $P(B\cap \overline{I}) = 0{,}7\cdot 0{,}1 = 0{,}07$.
• $\overline{B}$ ($0{,}3$):
  • $I$ ($0{,}05$): $P(\overline{B}\cap I) = 0{,}3\cdot 0{,}05 = 0{,}015$.
  • $\overline{I}$ ($0{,}95$): $P(\overline{B}\cap \overline{I}) = 0{,}3\cdot 0{,}95 = 0{,}285$.

Comprobación: $0{,}63 + 0{,}07 + 0{,}015 + 0{,}285 = 1$.

a) Mal gestionada y la prueba indica mal gestionada

Nos piden $P(\overline{B}\cap\overline{I})$. Por la regla del producto:

b) Bien gestionada sabiendo que la prueba indica bien gestionada

Primero calculamos $P(I)$ con el teorema de la probabilidad total, tomando como sistema completo de sucesos $\{B, \overline{B}\}$:

Por el teorema de Bayes:

c) Probabilidad de que el resultado de la prueba sea incorrecto

La prueba se equivoca cuando la empresa está bien gestionada y la prueba indica que está mal gestionada, o cuando está mal gestionada y la prueba indica que está bien gestionada. Sea $E$ = «el resultado de la prueba es incorrecto»:

Los dos sucesos son incompatibles, así que