Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2025 junio (examen de reserva) resuelto

Planteamiento del sistema

Definimos las incógnitas. Son los precios en época navideña, en euros:

• $l$ = precio de un libro,
• $p$ = precio de una pluma estilográfica,
• $r$ = precio de un reloj inteligente.

Traducimos cada dato del enunciado a una ecuación:

Navidad. Con 225 € se compran dos libros, tres plumas y un reloj. Entendemos que se gastan exactamente los 225 €, por eso escribimos una igualdad y no una desigualdad:

Rebajas. Cada artículo cuesta 5 € menos: $l-5$, $p-5$ y $r-5$. Con los mismos 225 € (otra vez, gastados por completo) se compra un libro más que en Navidad, es decir, tres libros, tres plumas y un reloj:

Febrero. Cada artículo cuesta 5 € más: $l+5$, $p+5$ y $r+5$. Con 225 € se compran tres plumas y tres libros, sin ningún reloj:

El sistema que hay que resolver es:

Resolución del sistema

Resolvemos por el método de Gauss. Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada. Escribimos $A^*$ con la tercera ecuación en primer lugar (su primer coeficiente es 1) y hacemos ceros bajo el primer pivote:

La matriz es escalonada y tiene tres pivotes, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado (solución única). Despejamos de abajo hacia arriba:

• $r = 65$,
• $p + r = 95 \;\Rightarrow\; p = 95 - 65 = 30$,
• $l + p = 65 \;\Rightarrow\; l = 65 - 30 = 35$.

Comprobación con los datos del enunciado (todos los precios son positivos, como debe ser):

• Navidad: $2\cdot 35 + 3\cdot 30 + 65 = 70 + 90 + 65 = 225$ €. ✓
• Rebajas (libro 30 €, pluma 25 €, reloj 60 €): $3\cdot 30 + 3\cdot 25 + 60 = 90 + 75 + 60 = 225$ €. ✓
• Febrero (libro 40 €, pluma 35 €): $3\cdot 40 + 3\cdot 35 = 120 + 105 = 225$ €. ✓

a) Planteamiento y solución óptima

Variables. Llamamos

• $x$ = dinero (en euros) que invierte en la empresa A,
• $y$ = dinero (en euros) que invierte en la empresa B.

Función objetivo. La empresa A garantiza un incremento de seguidores del 10 % de lo invertido, $0{,}10x$, y la B del 7 %, $0{,}07y$. Hay que maximizar el incremento de seguidores:

Restricciones.

(La condición $y\ge 0$ ya está incluida en $y\ge 2000$, y $x\ge 0$ en $x\ge y\ge 2000$.)

Región factible. Dibujamos las rectas frontera:

• $r_1:\ x + y = 10\,000$, que pasa por $(0,10\,000)$ y $(10\,000,0)$. El origen cumple $0\le 10\,000$: semiplano que contiene al origen (por debajo de la recta).
• $r_2:\ y = 2000$, recta horizontal. El origen no cumple $0\ge 2000$: semiplano por encima de la recta.
• $r_3:\ x = 6000$, recta vertical. El origen cumple $0\le 6000$: semiplano a la izquierda de la recta.
• $r_4:\ y = x$, bisectriz del primer cuadrante. Tomamos el punto $(1,0)$: cumple $1\ge 0$, así que la región está por debajo de la bisectriz.

La región factible es el cuadrilátero acotado de vértices $P$, $Q$, $R$ y $S$ de la gráfica (se llaman así para no confundirlos con las empresas A y B).

La gráfica no sombrea la región ni dibuja la recta $x = 6000$. Para verla, sombrea el cuadrilátero $PQRS$: queda por encima de $y = 2000$, a la izquierda de $x = 6000$, por debajo de $x + y = 10\,000$ y por debajo de $y = x$. El lado vertical $x = 6000$ une $Q$ y $R$.

Vértices. (Los criterios oficiales los llaman A, B, C y D: aquí P = D, Q = C, R = A y S = B.)

• $P = r_2\cap r_4$: $y = 2000,\ y = x \Rightarrow P = (2000,\,2000)$.
• $Q = r_2\cap r_3$: $y = 2000,\ x = 6000 \Rightarrow Q = (6000,\,2000)$.
• $R = r_1\cap r_3$: $x = 6000 \Rightarrow y = 10\,000 - 6000 = 4000 \Rightarrow R = (6000,\,4000)$. Cumple $x\ge y$ e $y\ge 2000$.
• $S = r_1\cap r_4$: $y = x \Rightarrow 2x = 10\,000 \Rightarrow x = 5000 \Rightarrow S = (5000,\,5000)$. Cumple $x\le 6000$ e $y\ge 2000$.

Los demás cortes de rectas frontera no son vértices: por ejemplo, $r_1\cap r_2 = (8000,2000)$ no cumple $x\le 6000$, y $r_3\cap r_4 = (6000,6000)$ no cumple $x+y\le 10\,000$.

Valor de la función objetivo en los vértices. Como la región es acotada, el máximo existe y se alcanza en un vértice (o en un lado entero).

El máximo se alcanza solo en el vértice $R(6000,\,4000)$.

Comprobación con las rectas de nivel. Las rectas $0{,}10x + 0{,}07y = k$ tienen pendiente $-\tfrac{10}{7}\approx -1{,}43$, más inclinada que $r_1$ (pendiente $-1$). Al aumentar $k$ se desplazan hacia arriba y a la derecha. En $R$ se cortan $r_1$ (pendiente $-1$) y la vertical $x = 6000$. Como la pendiente $-\tfrac{10}{7}$ queda entre la de $r_1$ ($-1$) y la de la vertical (infinita), ambos lados de la región que llegan a $R$ quedan «por debajo» de la recta de nivel, y $R$ es el último punto que toca: es la recta $k = 880$ de la gráfica.

Comprobación con el enunciado. $6000 + 4000 = 10\,000$ € (invierte todo el dinero), $4000\ge 2000$ en B, $6000\le 6000$ en A y $6000\ge 4000$.

b) Incremento máximo de seguidores

Sustituimos el óptimo en la función objetivo:

a) Cálculo de $A$ y $B$

La función es

Cada trozo es un polinomio, así que $T$ es continua y derivable en cada intervalo abierto. Solo hay que imponer la continuidad en $r=100$. El enunciado no dice a qué trozo pertenece $r=100$; al exigir continuidad da igual, y lo incluimos en el primero:

Continuidad en $r=100$: $10\,000A+B=50$.

Para $r>100$, $T'(r)=2Ar$. Como $r=1\,600>100$, está en el segundo trozo:

Sustituyendo en la condición de continuidad:

Comprobación: $\dfrac{100^2}{800}+37{,}5=12{,}5+37{,}5=50=\dfrac{100}{4}+25$.

b) Máximos y mínimos

Las revoluciones no pueden ser negativas, así que el dominio es $r\ge 0$. Estudiamos el signo de la derivada en cada trozo:

• Si $0<r<100$: $T'(r)=\dfrac14>0$.
• Si $r>100$: $T'(r)=\dfrac{2r}{800}=\dfrac{r}{400}>0$.

En $r=100$ las derivadas laterales valen ambas $\frac14$, así que $T$ también es derivable ahí (no hace falta para la conclusión). Por tanto $T'(r)>0$ en $(0,100)\cup(100,+\infty)$ y, además, $T$ es continua en $[0,+\infty)$. Esto garantiza que $T$ es estrictamente creciente en $[0,+\infty)$. No hay ningún punto con $T'(r)=0$, luego no hay extremos relativos en el interior del dominio.

• El valor más pequeño se alcanza en el extremo izquierdo del dominio, $r=0$: $T(0)=25$. Es un mínimo (absoluto).
• No hay máximo: al ser creciente, $T$ no deja de aumentar, y además $\displaystyle\lim_{r\to+\infty}\left(\frac{r^2}{800}+37{,}5\right)=+\infty$.

c) Revoluciones máximas y mínimas en 30 minutos

La función $r(m)=5m-0{,}15m^2$ se estudia en el intervalo cerrado $[0,30]$. Es continua, así que (teorema de Weierstrass) alcanza su máximo y su mínimo absolutos, y estos están en los puntos críticos o en los extremos del intervalo.

Como $r''(m)=-0{,}3<0$, en $m=\frac{50}{3}$ hay un máximo. Evaluamos en el punto crítico y en los extremos:

En efecto, $r\!\left(\frac{50}{3}\right)=5\cdot\frac{50}{3}-0{,}15\cdot\frac{2\,500}{9}=\frac{250}{3}-\frac{125}{3}=\frac{125}{3}$ y $r(30)=150-135=15$.

• Revoluciones máximas: $\frac{125}{3}\approx 41{,}67$ en $m=\frac{50}{3}\approx 16{,}67$ min, es decir, a los 16 min 40 s (durante el minuto 17).
• Revoluciones mínimas: $0$ en el minuto $m=0$.

Las raíces de $r(m)=m(5-0{,}15m)$ son $m=0$ y $m=\frac{100}{3}>30$, así que $r(m)\ge 0$ en todo $[0,30]$ y las revoluciones están siempre dentro del dominio de $T$. Además $r(m)\le\frac{125}{3}<100$, es decir, caen siempre en el primer trozo de $T$, y la temperatura se calcula con $T(r)=\frac r4+25$:

Antes de nada conviene reducir a común denominador:

No se ha cancelado ningún factor, así que las dos expresiones coinciden en todo el dominio. Además, $f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{1-(-x)^2}=-f(x)$: la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen (sirve para comprobar los resultados).

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

Es una función racional: está definida salvo donde se anula el denominador.

Corte con el eje $OY$ ($x=0$, que está en el dominio): $f(0)=\dfrac{0}{1}-0=0$. Punto $(0,0)$.

Cortes con el eje $OX$ ($f(x)=0$): $\dfrac{x^3}{1-x^2}=0 \iff x^3=0 \iff x=0$. Punto $(0,0)$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntotas verticales. Los candidatos son $x=-1$ y $x=1$, que anulan el denominador pero no el numerador ($x^3$ vale $-1$ y $1$). Estudiamos el signo del denominador $1-x^2=(1-x)(1+x)$: es positivo si $-1<x<1$ y negativo si $|x|>1$.

En $x=1$ (numerador $\to 1$):

En $x=-1$ (numerador $\to -1$):

Por tanto, $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), así que el límite en el infinito no es finito. Lo comprobamos dividiendo entre $x^2$:

Cuando $x\to+\infty$ el numerador $x$ tiende a $+\infty$ y el denominador $\frac{1}{x^2}-1$ a $-1$, luego el cociente tiende a $-\infty$; cuando $x\to-\infty$ el numerador tiende a $-\infty$ y el cociente a $+\infty$. Como los límites en $\pm\infty$ son infinitos, no hay asíntotas horizontales.

c) Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

Derivamos $f(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}$ con la regla del cociente:

Puntos críticos: $f'(x)=0 \iff x^2(3-x^2)=0 \iff x=0,\ x=-\sqrt3,\ x=\sqrt3$. Además hay que separar los intervalos en $x=\pm1$, que no pertenecen al dominio.

Signo de $f'$. El denominador $(1-x^2)^2$ es positivo en todo el dominio y $x^2>0$ si $x\neq0$, así que el signo de $f'$ es el de $3-x^2$: positivo si $-\sqrt3<x<\sqrt3$ y negativo si $|x|>\sqrt3$.

(Los factores $x^2$ y $(1-x^2)^2$ no aparecen en la tabla porque no cambian el signo de $f'$; $x^2$ solo hace que $f'(0)=0$.)

(Comprobación con valores de prueba: $f'(-2)=-\tfrac49$, $f'\!\left(-\tfrac32\right)=\tfrac{27}{25}$, $f'\!\left(-\tfrac12\right)=\tfrac{11}{9}$, $f'\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac{11}{9}$, $f'\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{27}{25}$, $f'(2)=-\tfrac49$.)

• En $x=-\sqrt3$ la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo local, de valor

  $$f(-\sqrt3)=\frac{(-\sqrt3)^3}{1-3}=\frac{-3\sqrt3}{-2}=\frac{3\sqrt3}{2}\approx 2{,}60.$$

• En $x=\sqrt3$ la derivada pasa de positiva a negativa: máximo local, de valor

  $$f(\sqrt3)=\frac{(\sqrt3)^3}{1-3}=-\frac{3\sqrt3}{2}\approx -2{,}60.$$

• En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo (es positiva a los dos lados): no hay extremo. La recta tangente en ese punto es horizontal, porque $f'(0)=0$. Como $f'>0$ en $(-1,0)$ y en $(0,1)$ y $f$ es continua en $0$, $f$ es estrictamente creciente en todo $(-1,1)$: un cero aislado de $f'$ no rompe el crecimiento, así que no hace falta partir ese intervalo.

• En $x=\pm1$ no hay extremos: no pertenecen al dominio.

d) Representación gráfica

Reunimos la información de los apartados anteriores:

• Dominio $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$; función impar (simétrica respecto del origen).
• Asíntotas verticales $x=-1$ y $x=1$: a la izquierda de cada una $f\to+\infty$ y a la derecha $f\to-\infty$.
• Sin asíntotas horizontales: $f\to+\infty$ cuando $x\to-\infty$ y $f\to-\infty$ cuando $x\to+\infty$ (la curva se acerca a la recta $y=-x$, la asíntota oblicua de la nota del apartado b); dibujarla es opcional, porque no se pide).
• Único corte con los ejes en $(0,0)$, con tangente horizontal ($f'(0)=0$).
• Mínimo local $\left(-\sqrt3,\tfrac{3\sqrt3}{2}\right)\approx(-1{,}73;\,2{,}60)$ y máximo local $\left(\sqrt3,-\tfrac{3\sqrt3}{2}\right)\approx(1{,}73;\,-2{,}60)$.
• Valores de apoyo: $f(-3)=\tfrac{27}{8}$, $f\!\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac16$, $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac16$, $f(3)=-\tfrac{27}{8}$.

Definimos los sucesos:

• $A$ = «el habitante padece artritis reumatoide» y $\overline{A}$ su contrario;
• $\mathrm{Pos}$ = «la prueba da positivo» y $\mathrm{Neg}$ = «la prueba da negativo» (el contrario de $\mathrm{Pos}$).

Los datos del enunciado son:

El diagrama de árbol es:

• $A$ $\left(\frac{1}{145}\right)$:
  • $\mathrm{Pos}$ ($0{,}96$): $P(A\cap \mathrm{Pos}) = \frac{1}{145}\cdot 0{,}96 = \frac{0{,}96}{145} = \frac{24}{3625}\approx 0{,}006621$.
  • $\mathrm{Neg}$ ($0{,}04$): $P(A\cap \mathrm{Neg}) = \frac{1}{145}\cdot 0{,}04 = \frac{0{,}04}{145} = \frac{1}{3625}\approx 0{,}000276$.
• $\overline{A}$ $\left(\frac{144}{145}\right)$:
  • $\mathrm{Pos}$ ($0{,}06$): $P(\overline{A}\cap \mathrm{Pos}) = \frac{144}{145}\cdot 0{,}06 = \frac{8{,}64}{145} = \frac{216}{3625}\approx 0{,}059586$.
  • $\mathrm{Neg}$ ($0{,}94$): $P(\overline{A}\cap \mathrm{Neg}) = \frac{144}{145}\cdot 0{,}94 = \frac{135{,}36}{145} = \frac{3384}{3625}\approx 0{,}933517$.

Comprobación: $\frac{24 + 1 + 216 + 3384}{3625} = \frac{3625}{3625} = 1$.

a) Padecer artritis y que la prueba dé negativo

Nos piden la probabilidad de la intersección $A\cap \mathrm{Neg}$. Por la regla del producto:

b) Padecer artritis si la prueba ha dado positivo

Nos piden la probabilidad condicionada $P(A\mid \mathrm{Pos})$. Por su definición (teorema de Bayes),

El denominador se obtiene con el teorema de la probabilidad total, usando el sistema completo de sucesos $\{A, \overline{A}\}$:

El numerador es $P(A\cap \mathrm{Pos}) = \frac{1}{145}\cdot 0{,}96 = \frac{0{,}96}{145}\approx 0{,}0066$. Simplificando el factor $145$ (el valor $0{,}1$ es exacto, no un redondeo):

c) Probabilidad de que el resultado de la prueba sea correcto

La prueba acierta cuando da positivo a un enfermo o negativo a un sano. Sea $C$ = «el resultado es correcto»:

Los dos sucesos son incompatibles (uno exige $A$ y el otro $\overline{A}$), así que sus probabilidades se suman: