Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2023 junio resuelto

a) Planteamiento y combinación de mínimo precio

Variables. Llamamos

• $x$ = número de latas de la marca $A$ que toma el perro al día,
• $y$ = número de latas de la marca $B$ que toma el perro al día.

Son cantidades de latas, así que $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Tabla de datos.

Función objetivo (precio en euros), que hay que minimizar:

Restricciones (cada nutriente debe alcanzar su mínimo):

Región factible. Dibujamos las rectas frontera:

• $r_1:\ 4x + 2y = 8$ (equivale a $2x + y = 4$), que pasa por $(0,4)$ y $(2,0)$. El origen no cumple $0\ge 8$: la región está en el semiplano que no contiene al origen (por encima de la recta).
• $r_2:\ 6x + 20y = 46$ (equivale a $3x + 10y = 23$), que pasa por $(0;\,2{,}3)$ y $\left(\tfrac{23}{3},\,0\right)$. El origen no cumple $0\ge 46$: semiplano por encima de la recta.
• $r_3:\ x + 12y = 12$, que pasa por $(0,1)$ y $(12,0)$. El origen no cumple $0\ge 12$: semiplano por encima de la recta.
• $x\ge 0$, $y\ge 0$: primer cuadrante.

La región factible es la zona del primer cuadrante situada por encima de las tres rectas, limitada por la poligonal $P$–$Q$–$R$–$S$. Es una región no acotada: se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia la derecha. Comprobación del sombreado: el punto $(3,3)$ cumple las tres desigualdades ($18\ge 8$, $78\ge 46$, $39\ge 12$), luego está en la región. La gráfica dibuja solo las rectas; en el examen hay que rayar la región, limitada por los ejes y las rectas $r_1$, $r_2$ y $r_3$.

Vértices. Los llamamos $P$, $Q$, $R$ y $S$ para no confundirlos con las marcas $A$ y $B$. Leyendo la gráfica de izquierda a derecha, la frontera de la región es $r_1$ (del eje $OY$ hasta $Q$), luego $r_2$ (de $Q$ a $R$) y luego $r_3$ (de $R$ al eje $OX$). Basta calcular esos cuatro puntos:

• $P$: corte de $r_1$ con el eje $OY$: $x = 0 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow P = (0,4)$. Cumple las otras dos: $6\cdot 0 + 20\cdot 4 = 80\ge 46$ y $0 + 12\cdot 4 = 48 \ge 12$.

• $Q$: corte de $r_1$ y $r_2$:

  $$\begin{cases} 4x + 2y = 8\\ 6x + 20y = 46\end{cases} \;\Rightarrow\; y = 4 - 2x \;\Rightarrow\; 6x + 20(4 - 2x) = 46 \;\Rightarrow\; -34x = -34,\quad x = 1,\quad y = 2.$$

  Así $Q = (1,2)$, que cumple las grasas: $1 + 12\cdot 2 = 25 \ge 12$.

• $R$: corte de $r_2$ y $r_3$:

  $$\begin{cases} 6x + 20y = 46\\ x + 12y = 12\end{cases} \;\Rightarrow\; x = 12 - 12y \;\Rightarrow\; 6(12 - 12y) + 20y = 46 \;\Rightarrow\; -52y = -26,\quad y = 0{,}5,\quad x = 6.$$

  Así $R = (6;\,0{,}5)$, que cumple los hidratos: $4\cdot 6 + 2\cdot 0{,}5 = 25 \ge 8$.

• $S$: corte de $r_3$ con el eje $OX$: $y = 0 \Rightarrow x = 12 \Rightarrow S = (12,0)$. Cumple las otras dos: $4\cdot 12 = 48 \ge 8$ y $6\cdot 12 = 72 \ge 46$.

Si dudas de algún otro corte, compruébalo en las demás desigualdades: por ejemplo, $(2,0)$, corte de $r_1$ con el eje $OX$, no cumple las grasas ($2 < 12$), así que no es vértice.

Valor de la función objetivo en los vértices.

¿Existe el mínimo si la región no es acotada? En una región no acotada el mínimo puede no existir, así que hay que justificarlo. Aquí los coeficientes de $F$ son positivos ($10$ y $16$) y la región solo se escapa hacia arriba y hacia la derecha, donde $F$ crece; por tanto, el mínimo se alcanza en un vértice y basta comparar los valores de la tabla. En cambio, $F$ no tiene máximo: el precio puede crecer sin límite.

Comprobación con la recta de nivel: las rectas $10x + 16y = k$ tienen pendiente $-\tfrac{10}{16} = -0{,}625$, comprendida entre la de $r_1$ ($-2$) y la de $r_2$ ($-0{,}3$), por lo que la recta de nivel $10x + 16y = 42$ de la gráfica toca la región solo en $Q$, donde se cortan $r_1$ y $r_2$.

El mínimo es $F = 42$ y se alcanza en $Q(1,2)$, que tiene coordenadas enteras, así que es una compra posible.

Comprobación. Con 1 lata de $A$ y 2 de $B$ el perro toma $4 + 4 = 8$ unidades de hidratos (justo el mínimo), $6 + 40 = 46$ de proteínas (justo el mínimo) y $1 + 24 = 25$ de grasas (más que las 12 necesarias).

b) Precio mínimo

Sustituimos el óptimo en la función objetivo:

Es el valor que ya habíamos obtenido en la tabla de los vértices.

a) Valor de $x$ para que la matriz sea normal

Llamamos $M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}$ (para no confundirla con la $A$ del apartado b). Su traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas:

Calculamos los dos productos:

Dos matrices son iguales si coinciden elemento a elemento. Los elementos de la diagonal ya coinciden ($5=5$ y $1+x^2=1+x^2$) para cualquier $x$; los dos elementos de fuera de la diagonal dan la misma ecuación:

Comprobación. Para $x=2$, $M^{t}M=MM^{t}=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

b) Ecuación matricial $AX=B^{t}X-C$

Despejamos $X$. Pasamos los términos con $X$ al primer miembro y sacamos $X$ factor común por la derecha (en los dos términos $X$ está multiplicando a la derecha):

Si $A-B^{t}$ es invertible, multiplicamos por su inversa por la izquierda:

Cálculo de $A-B^{t}$.

¿Es invertible?

luego existe $(A-B^{t})^{-1}$. (Si este determinante fuese $0$, no se podría usar la inversa y habría que plantear la ecuación como un sistema de ecuaciones, que podría no tener solución o tener infinitas.)

Cálculo de la inversa. Con $(A-B^{t})^{-1}=\dfrac{1}{|A-B^{t}|}\,\big(\operatorname{Adj}(A-B^{t})\big)^{t}$: cada adjunto es $\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}$ por el menor que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$; por ejemplo, $\alpha_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-1)=1$. Los adjuntos son $\alpha_{11}=-1$, $\alpha_{12}=1$, $\alpha_{21}=-1$, $\alpha_{22}=0$, así que

(Comprobación: $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$. Para matrices $2\times 2$ también sirve la regla rápida $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$, que da el mismo resultado.)

Cálculo de $X$. Primero, $-C=\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ (se cambia el signo de cada elemento). Entonces

Comprobación.

Coinciden, así que la solución es correcta.

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador.

Por tanto

Conviene factorizar también el numerador:

así que

Numerador y denominador no tienen factores comunes, así que no hay discontinuidades evitables.

Corte con el eje $Y$ ($x=0$, que está en el dominio): $f(0)=\dfrac{-15}{-2}=\dfrac{15}{2}=7{,}5$. Punto $\left(0,\frac{15}{2}\right)$.

Cortes con el eje $X$ ($f(x)=0$): la fracción se anula cuando se anula el numerador (y no el denominador), es decir, en $x=3$ y $x=-5$, que están en el dominio. Puntos $(3,0)$ y $(-5,0)$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntotas verticales. Los candidatos son los puntos que no están en el dominio, $x=-\frac12$ y $x=2$. En ninguno de ellos se anula el numerador ($-\frac{63}{4}$ en $x=-\frac12$ y $-7$ en $x=2$), así que el límite es infinito. Estudiamos el signo con la forma factorizada:

• En $x=-\frac12$: el numerador vale $-\frac{63}{4}<0$ y $x-2\to-\frac52<0$, mientras que $2x+1\to0^-$ por la izquierda y $0^+$ por la derecha:

  $$\lim_{x\to -\frac12^{-}} f(x)=\frac{-\frac{63}{4}}{(0^-)\cdot\left(-\frac52\right)}=\frac{-}{0^+}=-\infty,\qquad \lim_{x\to -\frac12^{+}} f(x)=\frac{-}{0^-}=+\infty.$$

• En $x=2$: el numerador vale $-7<0$ y $2x+1\to5>0$, mientras que $x-2\to0^-$ por la izquierda y $0^+$ por la derecha:

  $$\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\frac{-7}{0^-}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\frac{-7}{0^+}=-\infty.$$

Las rectas $x=-\frac12$ y $x=2$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, $2$; el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Hay asíntota horizontal $y=\frac12$, tanto en $+\infty$ como en $-\infty$ (y, por tanto, no hay asíntotas oblicuas).

Complemento para la gráfica (no se pide en este apartado): posición respecto de $y=\frac12$.

Para $x$ muy negativo es negativo (la gráfica se acerca a la asíntota por debajo en $-\infty$) y para $x>4$ es positivo (se acerca por encima en $+\infty$). La gráfica corta a la asíntota en $x=4$: $f(4)=\frac{16+8-15}{32-12-2}=\frac{9}{18}=\frac12$. No es una contradicción: una asíntota horizontal describe lo que pasa cuando $x\to\pm\infty$, y la gráfica sí puede cortarla en puntos concretos.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Derivamos con la regla del cociente:

Para estudiar el signo solo necesitamos el numerador: el denominador se deja como $(2x^2-3x-2)^2$, sin desarrollar. Desarrollamos los dos productos del numerador:

y restando,

$f'(x)=0 \iff (x-1)(x-7)=0 \iff x=1$ o $x=7$, ambos en el dominio. El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'$ es el de $-7(x-1)(x-7)$. Ordenamos en la recta los ceros de $f'$ y los puntos fuera del dominio: $-\frac12<1<2<7$.

Comprobación con un valor de cada intervalo: $f'(-1)=\frac{-112}{9}<0$, $f'(0)=\frac{-49}{4}<0$, $f'\!\left(\frac32\right)=\frac{77}{16}>0$, $f'(3)=\frac{8}{7}>0$ y $f'(10)=\frac{-7\cdot 9\cdot 3}{168^2}=-\frac{3}{448}<0$.

d) Máximos y mínimos locales

$f$ es derivable en todo su dominio, así que sus extremos locales solo pueden estar donde $f'(x)=0$: en $x=1$ y en $x=7$.

• En $x=1$, $f$ pasa de decrecer a crecer: mínimo local, de valor

  $$f(1)=\frac{1+2-15}{2-3-2}=\frac{-12}{-3}=4.$$

• En $x=7$, $f$ pasa de crecer a decrecer: máximo local, de valor

  $$f(7)=\frac{49+14-15}{98-21-2}=\frac{48}{75}=\frac{16}{25}=0{,}64.$$

En $x=-\frac12$ y $x=2$ no hay extremos: no están en el dominio.

e) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Dominio $\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac12,2\right\}$; cortes $(-5,0)$, $(3,0)$ y $\left(0,\frac{15}{2}\right)$.
• Asíntotas verticales $x=-\frac12$ y $x=2$; asíntota horizontal $y=\frac12$, por debajo en $-\infty$ y por encima en $+\infty$ (la gráfica la cruza en $\left(4,\frac12\right)$).
• Decrece en $\left]-\infty,-\frac12\right[$ y en $\left]-\frac12,1\right[$, crece en $]1,2[$ y en $]2,7[$, y decrece en $]7,+\infty[$.
• Mínimo local en $(1,4)$ y máximo local en $\left(7,\frac{16}{25}\right)$.

Algunos valores para afinar el dibujo: $f(-3)=-\frac{12}{25}=-0{,}48$, $f(-1)=-\frac{16}{3}\approx-5{,}33$, $f\!\left(\frac32\right)=\frac{39}{8}\approx4{,}88$, $f\!\left(\frac52\right)=-\frac54$, $f(10)=\frac58=0{,}625$.

La gráfica tiene tres ramas:

• Izquierda ($x<-\frac12$): cuando $x\to-\infty$ se acerca a $y=\frac12$ por debajo; decrece, corta al eje $X$ en $(-5,0)$ y cae a $-\infty$ al acercarse a $x=-\frac12$.
• Central ($-\frac12<x<2$): baja desde $+\infty$ junto a $x=-\frac12$, pasa por $\left(0,\frac{15}{2}\right)$, alcanza el mínimo $(1,4)$ y vuelve a subir a $+\infty$ junto a $x=2$. Toda ella está por encima del eje $X$.
• Derecha ($x>2$): sube desde $-\infty$ junto a $x=2$, corta al eje $X$ en $(3,0)$, cruza la asíntota en $\left(4,\frac12\right)$, alcanza el máximo $\left(7,\frac{16}{25}\right)$ y baja acercándose a $y=\frac12$ por encima.

Como el máximo $\left(7,\frac{16}{25}\right)$ está muy cerca de la asíntota, conviene ampliar la rama derecha:

Llamamos $x$ al consumo mensual en kWh ($x \geq 0$). El recibo se compone de la cuota fija de $1\,200$ € más lo que se paga por los kWh, que se cobran por tramos: cada kWh se paga al precio del tramo en el que cae.

a) Recibo de un mes con 400 kWh

Con $400$ kWh se completan los primeros $250$ kWh (a $5$ €) y quedan $400 - 250 = 150$ kWh del segundo tramo (a $3$ €), porque $400 \leq 900$:

b) Función del importe y su gráfica

Sea $f(x)$ el importe del recibo (en euros) si se consumen $x$ kWh. Distinguimos según el tramo en el que termine el consumo.

• Si $0 \leq x \leq 250$: todos los kWh se pagan a $5$ €:

  $$f(x) = 1\,200 + 5x.$$

• Si $250 < x \leq 900$: los primeros $250$ kWh cuestan $250\cdot 5 = 1\,250$ € y los $x - 250$ restantes, $3$ € cada uno:

  $$f(x) = 1\,200 + 1\,250 + 3(x - 250) = 2\,450 + 3x - 750 = 1\,700 + 3x.$$

• Si $x > 900$: los primeros $250$ kWh cuestan $1\,250$ €, los $650$ siguientes $650\cdot 3 = 1\,950$ € y los $x - 900$ restantes, $2$ € cada uno:

  $$f(x) = 1\,200 + 1\,250 + 1\,950 + 2(x - 900) = 4\,400 + 2x - 1\,800 = 2\,600 + 2x.$$

Por tanto,

Comprobaciones. La función es continua en los cambios de tramo (el recibo no da saltos):

• En $x = 250$: $1\,200 + 5\cdot 250 = 2\,450$ y $1\,700 + 3\cdot 250 = 2\,450$.
• En $x = 900$: $1\,700 + 3\cdot 900 = 4\,400$ y $2\,600 + 2\cdot 900 = 4\,400$.

Además, $f(400) = 1\,700 + 3\cdot 400 = 2\,900$, como en el apartado a).

Gráfica. Cada trozo es un segmento (o semirrecta) de recta, así que basta con calcular sus extremos:

La gráfica es una poligonal que parte de $(0,\,1\,200)$, sube con pendiente $5$ hasta $(250,\,2\,450)$, sigue con pendiente $3$ hasta $(900,\,4\,400)$ y, a partir de ahí, continúa con pendiente $2$ (por ejemplo, pasa por $(1\,400,\,5\,400)$). Es creciente y cada tramo es menos inclinado que el anterior, porque el kWh es más barato cuanto más se consume.

c) ¿Pueden coincidir consumo y recibo de las dos empresas?

La segunda empresa paga la misma cuota fija y todos los kWh a $3$ €, así que su recibo es

Buscamos un consumo $x$ con $f(x) = g(x)$. Como $f$ está definida a trozos, resolvemos la ecuación en cada tramo y nos quedamos solo con las soluciones que pertenecen a ese tramo:

• Tramo $0 \leq x \leq 250$: $1\,200 + 5x = 1\,200 + 3x \iff 2x = 0 \iff x = 0$. Es el caso trivial de un mes sin consumo, en el que ambas pagan solo la cuota fija de $1\,200$ €.
• Tramo $250 < x \leq 900$: $1\,700 + 3x = 1\,200 + 3x \iff 1\,700 = 1\,200$, imposible. En este tramo la primera empresa paga siempre $500$ € más.
• Tramo $x > 900$: $2\,600 + 2x = 1\,200 + 3x \iff x = 1\,400$, que sí cumple $x > 900$.

Para $x = 1\,400$ kWh:

Comprobación con los tramos de la primera empresa: $1\,200 + 250\cdot 5 + 650\cdot 3 + 500\cdot 2 = 1\,200 + 1\,250 + 1\,950 + 1\,000 = 5\,400$ €.

Definimos los sucesos, referidos al día 31 de diciembre:

• $L$: «Arsenio Lupin atraca el Banco de París»;
• $S$: «suena la alarma».

El único motivo justificado para que suene la alarma es un atraco y nadie más atracará el banco ese día, así que «motivo justificado» es $L$. «Suena injustificadamente» significa que suena aunque no haya atraco: es la probabilidad condicionada $P(S\mid\overline{L})=0{,}3$, no la de la intersección $P(S\cap\overline{L})$. Por tanto, los datos del enunciado son:

y, por el suceso contrario, $P(\overline{S}\mid L)=1-0{,}95=0{,}05$ y $P(\overline{S}\mid\overline{L})=1-0{,}3=0{,}7$.

Los sucesos $L$ y $\overline{L}$ forman un sistema completo de sucesos. La tabla siguiente es el diagrama de árbol escrito por filas: la primera rama decide si hay atraco y la segunda si suena la alarma; cada fila es un camino, con su probabilidad: