Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2022 julio resuelto

Las dimensiones de las matrices son: $A$ es $2\times 2$, $B$ es $2\times 1$ (matriz columna) y $C$ es $1\times 2$ (matriz fila). Recordamos que:

• dos matrices se pueden sumar o restar solo si tienen la misma dimensión;
• el producto $MN$ existe solo si el número de columnas de $M$ coincide con el número de filas de $N$; si $M$ es $m\times n$ y $N$ es $n\times p$, entonces $MN$ es $m\times p$.

a.1) $B+2CA$

El producto $CA$ sí existe: $C$ es $1\times 2$ y $A$ es $2\times 2$, luego $CA$ (y también $2CA$) es una matriz $1\times 2$. Para responder a este apartado bastan las dimensiones; calculamos $CA$ solo porque lo reutilizaremos en a.3:

Pero $B$ es $2\times 1$ y $2CA$ es $1\times 2$. Tienen dimensiones distintas, así que no se pueden sumar.

a.2) $A-(BC)^T$

$B$ es $2\times 1$ y $C$ es $1\times 2$, así que $BC$ existe y es $2\times 2$; su traspuesta $(BC)^T$ también es $2\times 2$, igual que $A$. Por tanto, la resta se puede realizar.

a.3) $CAB$

$CA$ es $1\times 2$ (calculada en a.1) y $B$ es $2\times 1$; el número de columnas de $CA$ (2) coincide con el de filas de $B$ (2), así que el producto se puede realizar y da una matriz $1\times 1$:

b) Ecuación matricial $\frac{1}{5}(B+AX)=C^T$

Dimensión de $X$. $C^T$ es $2\times 1$ y $A$ es $2\times 2$; para que $AX$ exista y se pueda sumar con $B$ ($2\times 1$), $X$ ha de ser $2\times 1$.

Despejamos $X$. Multiplicamos por 5 y restamos $B$:

Como $|A|=\begin{vmatrix} 6 & 0\\ 2 & 4\end{vmatrix}=24-0=24\neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$:

Inversa de $A$. Con la fórmula $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj}A)^T$. Los adjuntos son $A_{11}=4$, $A_{12}=-2$, $A_{21}=0$ y $A_{22}=6$; con ellos formamos $\operatorname{Adj}A$ y después la trasponemos:

Segundo miembro.

Cálculo de $X$.

Comprobación.

y $\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -10\\ -10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ -2\end{pmatrix}=C^T$, luego se cumple la ecuación.

a) Planteamiento y solución óptima

Variables. Llamamos

• $x$ = kilos de la mezcla 1 (a partes iguales, que se vende a 15 €/kg),
• $y$ = kilos de la mezcla 2 (una parte de colombiano por tres de brasileño, que se vende a 10 €/kg).

Son cantidades de café, así que $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Composición de cada kilo de mezcla. En la mezcla 1 la mitad es colombiano y la mitad brasileño: $\tfrac12$ kg de cada uno. En la mezcla 2 hay 1 parte de colombiano de cada $1+3=4$ partes: $\tfrac14$ kg de colombiano y $\tfrac34$ kg de brasileño por kilo.

Función objetivo (ingresos en euros), que hay que maximizar:

Restricciones. No se puede usar más café del disponible:

Las dos formas de cada restricción son equivalentes y valen lo mismo en la corrección; la simplificada solo facilita hallar los cortes con los ejes.

Región factible. Dibujamos las rectas frontera:

• $r_1:\ 2x + y = 400$, que pasa por $(0,400)$ y $(200,0)$. El origen cumple $0\le 400$: la región está en el semiplano que contiene al origen (por debajo de la recta).
• $r_2:\ 2x + 3y = 840$, que pasa por $(0,280)$ y $(420,0)$. El origen cumple $0\le 840$: semiplano por debajo de la recta.
• $x\ge 0$, $y\ge 0$: primer cuadrante.

La región factible es el cuadrilátero convexo $OABC$ (acotado) del primer cuadrante situado por debajo de las dos rectas. En la gráfica, sus vértices son los puntos $O$, $A$, $B$ y $C$; la región es el cuadrilátero cerrado, con sus lados incluidos.

Vértices.

• $O=(0,0)$.

• $A$: corte de $r_1$ con el eje $OX$: $y=0 \Rightarrow 2x = 400 \Rightarrow A=(200,0)$. (El corte de $r_2$ con el eje $OX$, $(420,0)$, no cumple $2x+y\le 400$.)

• $B$: corte de $r_1$ y $r_2$:

  $$\begin{cases} 2x + y = 400\\ 2x + 3y = 840\end{cases} \;\Rightarrow\; \text{restando: } 2y = 440,\ y = 220,\quad 2x = 400 - 220 = 180,\ x = 90 \;\Rightarrow\; B=(90,220).$$

• $C$: corte de $r_2$ con el eje $OY$: $x=0 \Rightarrow 3y = 840 \Rightarrow C=(0,280)$. (El corte de $r_1$ con el eje $OY$, $(0,400)$, no cumple $2x+3y\le 840$.)

Valor de la función objetivo en los vértices. Como la región es acotada, el máximo existe y se alcanza en un vértice (o en todo un lado):

El valor máximo, $3550$, se alcanza solo en el vértice $B(90,220)$.

Comprobación. Con 90 kg de la mezcla 1 y 220 kg de la mezcla 2 se usan $0{,}5\cdot 90 + 0{,}25\cdot 220 = 45 + 55 = 100$ kg de colombiano y $0{,}5\cdot 90 + 0{,}75\cdot 220 = 45 + 165 = 210$ kg de brasileño: se agota todo el café disponible.

b) Ingreso máximo

Sustituimos el óptimo en la función objetivo:

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador.

Llamamos $x_1=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\approx-0{,}6180$ y $x_2=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}6180$. Entonces

Corte con el eje $Y$ ($x=0$, que está en el dominio): $f(0)=\dfrac{-4}{-1}=4$. Punto $(0,\,4)$.

Cortes con el eje $X$ ($f(x)=0$): se anula el numerador.

Los dos valores están en el dominio (no anulan el denominador: $2^2-2-1=1\neq0$ y $\frac49+\frac23-1=\frac19\neq0$). Puntos $\left(-\frac23,\,0\right)$ y $(2,\,0)$. Comprobación: $(3x+2)(x-2)=3x^2-4x-4$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, $2$; el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Hay asíntota horizontal $y=3$, tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Asíntotas verticales. Los candidatos son $x_1$ y $x_2$, que anulan el denominador. El numerador no se anula en ellos, porque sus raíces son $2$ y $-\frac23$, distintas de $x_1$ y $x_2$. Un número distinto de $0$ dividido entre algo que tiende a $0$ da $\pm\infty$, así que $x=x_1$ y $x=x_2$ son asíntotas verticales.

Comportamiento a cada lado (para la gráfica). En los dos puntos el numerador es negativo: como $x_i^2=x_i+1$, vale $3(x_i+1)-4x_i-4=-(x_i+1)<0$, pues $x_i>-1$ (unos $-0{,}38$ en $x_1$ y $-2{,}62$ en $x_2$). El denominador $x^2-x-1$ es positivo fuera de $[x_1,x_2]$ y negativo dentro:

Extra para la gráfica (no se pide): posición respecto de $y=3$.

Para $x\to-\infty$ el numerador es positivo y el denominador también, así que la gráfica se acerca a $y=3$ por encima; para $x\to+\infty$ el numerador es negativo y el denominador positivo, así que se acerca por debajo. La gráfica corta a la asíntota en $x=-1$: $f(-1)=\frac{3+4-4}{1+1-1}=3$, punto $(-1,\,3)$. Ojo: una gráfica sí puede cortar a su asíntota horizontal (aquí, en $(-1,\,3)$); a una vertical, en cambio, no la corta nunca.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Derivamos con la regla del cociente:

Desarrollamos el numerador:

Restamos (cuidado: el segundo producto cambia de signo entero):

así que

$f'(x)=0\iff x(x+2)=0\iff x=0$ o $x=-2$, ambos en el dominio. El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, de modo que el signo de $f'$ es el de $x(x+2)$: una parábola hacia arriba con raíces $-2$ y $0$, positiva fuera de $[-2,0]$ y negativa dentro.

Los puntos que dividen la recta son los ceros de $f'$ y los que no están en el dominio, ordenados: $-2<x_1\approx-0{,}62<0<x_2\approx1{,}62$.

Comprobación con un valor de cada intervalo: $f'(-3)=\frac{3}{121}>0$, $f'(-1)=\frac{-1}{1}=-1<0$, $f'\!\left(-\frac12\right)=\frac{-3/4}{1/16}=-12<0$, $f'(1)=\frac{3}{1}=3>0$ y $f'(3)=\frac{15}{25}=\frac35>0$.

d) Máximos y mínimos locales

$f$ es derivable en todo su dominio, así que sus extremos locales solo pueden estar donde $f'(x)=0$: en $x=-2$ y en $x=0$.

• En $x=-2$, $f$ pasa de crecer a decrecer: máximo local, de valor

  $$f(-2)=\frac{12+8-4}{4+2-1}=\frac{16}{5}=3{,}2.$$

• En $x=0$, $f$ pasa de decrecer a crecer: mínimo local, de valor $f(0)=\dfrac{-4}{-1}=4$.

En $x_1$ y $x_2$ no hay extremos: no están en el dominio. Aquí no conviene usar $f''$: derivar el cociente $\frac{x(x+2)}{(x^2-x-1)^2}$ es largo, y el cambio de signo de $f'$ ya lo da de forma más rápida y segura.

e) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Dominio $\mathbb{R}\setminus\{x_1,x_2\}$ con $x_1\approx-0{,}618$, $x_2\approx1{,}618$; cortes $(0,\,4)$, $\left(-\frac23,\,0\right)$ y $(2,\,0)$.
• Asíntota horizontal $y=3$: por encima en $-\infty$, por debajo en $+\infty$, y la gráfica la cruza en $(-1,\,3)$.
• Asíntotas verticales $x=x_1$ ($f\to-\infty$ por la izquierda, $+\infty$ por la derecha) y $x=x_2$ ($f\to+\infty$ por la izquierda, $-\infty$ por la derecha).
• Máximo local $\left(-2,\frac{16}{5}\right)$ y mínimo local $(0,\,4)$.

Algunos valores que sirven de comprobación de la forma (no son obligatorios): $f(-5)=\frac{91}{29}\approx3{,}14$, $f\!\left(-\frac12\right)=5$, $f(1)=5$, $f(3)=\frac{11}{5}=2{,}2$.

La gráfica tiene tres ramas:

• Izquierda ($x<x_1$): viene de $x\to-\infty$ pegada a $y=3$ por encima (valores algo mayores que $3$), sube hasta el máximo $\left(-2,\frac{16}{5}\right)$, baja cruzando la asíntota en $(-1,\,3)$ y el eje $X$ en $\left(-\frac23,\,0\right)$, y cae a $-\infty$ junto a $x=x_1$.
• Central ($x_1<x<x_2$): baja desde $+\infty$ junto a $x=x_1$ hasta el mínimo $(0,\,4)$ y vuelve a subir a $+\infty$ junto a $x=x_2$; tiene forma de «U» y queda entera por encima de $y=3$, porque ahí el denominador es negativo y $x>x_1>-1$, así que $f(x)-3=\frac{-(x+1)}{x^2-x-1}>0$.
• Derecha ($x>x_2$): sube desde $-\infty$ junto a $x=x_2$, corta el eje $X$ en $(2,\,0)$ y se acerca a $y=3$ por debajo.

La figura muestra solo $y=f(x)$ y la asíntota $y=3$; al dibujar a mano en el examen, traza también las asíntotas verticales $x=x_1$ y $x=x_2$ con trazo discontinuo.

La función está definida en el intervalo cerrado $[0,\,12]$ (los meses del año en que la máquina está productiva) y es polinómica, así que es continua y derivable en todo él. Su derivada es

a) Rendimiento al mes frente a rendimiento a los dos meses

Basta con evaluar la función:

Como $82<84{,}6$, el rendimiento al mes de la compra es menor que a los dos meses.

b) Momento y valor del rendimiento máximo

Buscamos los puntos críticos en $[0,\,12]$:

El valor $x=-1$ no está en el dominio, así que solo queda $x=5$. Para el signo de $f'$ basta la factorización: en $[0,\,12]$ el factor $x+1$ es positivo, así que $f'(x)=\frac{3}{10}(5-x)(x+1)$ tiene el signo de $5-x$:

• si $0\le x<5$, $f'(x)>0$ y $f$ es creciente;
• si $5<x\le 12$, $f'(x)<0$ y $f$ es decreciente.

El rendimiento crece hasta los 5 meses y decrece después, luego $f(5)$ es el mayor valor de $f$ en todo $[0,\,12]$: es el máximo absoluto. Su valor es

c) ¿Baja el rendimiento del 10 % en algún momento?

Hay que hallar el rendimiento mínimo en $[0,\,12]$. Por el apartado b), $f$ crece en $[0,\,5]$ y decrece en $[5,\,12]$, así que:

• en $[0,\,5]$ vale al menos $f(0)$;
• en $[5,\,12]$ vale al menos $f(12)$.

Calculamos esos dos valores:

El rendimiento mínimo es, por tanto, $f(12)=11{,}6\,\%$. Para cualquier $x\in[0,\,12]$ se cumple

así que el rendimiento nunca es inferior al $10\,\%$.

Datos del enunciado:

$P(A)$ no se da directamente. La calcularemos justo después del apartado a), porque hará falta en los apartados b), c) y d).

a) Probabilidad de $A\cup B$

Por las leyes de De Morgan, $A^c\cap B^c=(A\cup B)^c$: «no ocurre ni $A$ ni $B$» es el suceso contrario de «ocurre al menos uno de los dos». Por la probabilidad del suceso contrario,

Paso auxiliar: cálculo de $P(A)$ (no se pide, pero se usa en b), c) y d)). Despejamos $P(A)$ en la fórmula de la unión $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$:

Con esto ya conocemos las cuatro regiones del diagrama de Venn. Como $A$ es la unión disjunta de $A\cap B^c$ y $A\cap B$, y $B$ lo es de $A^c\cap B$ y $A\cap B$:

b) Probabilidad de que ocurra solamente uno de los sucesos

«Solamente se verifica uno de los sucesos» es $(A\cap B^c)\cup(A^c\cap B)$: ocurre $A$ y no $B$ (solo $A$), u ocurre $B$ y no $A$ (solo $B$). Son dos regiones incompatibles de la tabla, así que sus probabilidades se suman:

Otra forma, más rápida y sin la tabla: «ocurre al menos uno» ($A\cup B$) se reparte en «ocurre solo uno» y «ocurren los dos» ($A\cap B$), que son incompatibles. Por tanto, la probabilidad pedida es

c) Probabilidad de $B$ condicionado a $A$

Por la definición de probabilidad condicionada (con $P(A)=0{,}7\neq 0$, obtenida en el apartado a):

d) ¿Son independientes $A$ y $B$?

Los sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Aquí

Esta comprobación (la del criterio oficial) basta. Como alternativa, también vale usar el apartado c): $P(B\mid A)=\frac{3}{7}\approx 0{,}4286\neq 0{,}4=P(B)$, es decir, saber que ha ocurrido $A$ cambia la probabilidad de $B$. No hace falta hacer las dos.

Elegimos al azar una empresa y el auditor que la revisa. Llamamos:

• $C$: «el auditor audita correctamente»; $\overline{C}$: «no audita correctamente»;
• $E$, $A$, $D$: la empresa merece «Excelente», «Aceptable», «Deficiente»;
• $R_E$, $R_A$, $R_D$: la empresa recibe «Excelente», «Aceptable», «Deficiente».