Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2023 julio resuelto

a) Cálculo de $A^2$ y de su inversa

Cálculo de $A^2$. Multiplicamos filas de $A$ por columnas de $A$:

Existencia de la inversa. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Por la regla de Sarrus:

luego $A^2$ es invertible.

Cálculo de la inversa por la adjunta. Usamos $(A^2)^{-1} = \dfrac{1}{|A^2|}\,\operatorname{Adj}(A^2)^t$. Los adjuntos de $A^2$ son $\alpha_{ij} = (-1)^{i+j}\,\Delta_{ij}$, donde el menor complementario $\Delta_{ij}$ es el determinante que queda al suprimir la fila $i$ y la columna $j$ de $A^2$. El signo $(-1)^{i+j}$ sigue el patrón

Así, los adjuntos son:

Por tanto

Comprobación. La fórmula se basa en la propiedad $M\cdot\operatorname{Adj}(M)^t = |M|\,I$, así que debe salir $A^2\cdot \operatorname{Adj}(A^2)^t = 16\,I$. Comprobarlo sirve para detectar errores de signo. Por ejemplo, la primera fila de $A^2$ por las tres columnas de $\operatorname{Adj}(A^2)^t$ da $1\cdot(-2) + 3\cdot 10 + (-2)\cdot 6 = 16$, $\;1\cdot(-1) + 3\cdot(-3) + (-2)\cdot(-5) = 0$ y $1\cdot(-10) + 3\cdot 2 + (-2)\cdot(-2) = 0$, es decir, la fila $(16,\,0,\,0)$.

b) Resolución de la ecuación matricial $2A^2X = 4B$

Despeje. Dividiendo entre 2 los dos miembros, $A^2X = 2B$. Como $A^2$ tiene inversa (apartado a), multiplicamos por la izquierda por $(A^2)^{-1}$:

(También se puede despejar directamente: $X = (2A^2)^{-1}\,4B = \tfrac{1}{2}(A^2)^{-1}\,4B = 2\,(A^2)^{-1}B$.)

Cálculo. Con el resultado del apartado a), y simplificando antes $2\cdot\frac{1}{16} = \frac{1}{8}$ para no arrastrar dieciseisavos:

Comprobación. Hay que ver que $A^2X = 2B$. Para no operar con fracciones, multiplicamos por 8 los dos miembros: basta comprobar que $A^2\cdot(8X) = 16B$. Por ejemplo, $A^2$ por la primera columna de $8X$, que es $(-5,\,33,\,23)$:

que es 16 veces la primera columna de $B$. Las otras dos columnas se comprueban igual (o con la calculadora).

Planteamiento del sistema

Definimos las incógnitas (trabajamos en millones de euros):

• $x$ = dinero que recibe la hija mayor,
• $y$ = dinero que recibe la hija mediana,
• $z$ = dinero que recibe la hija pequeña.

Traducimos cada dato del enunciado a una ecuación:

• La mayor recibe 9 millones más la mitad de lo que reciben las otras dos:

  $$x=9+\frac{y+z}{2}\ \Longrightarrow\ 2x=18+y+z\ \Longrightarrow\ 2x-y-z=18.$$

• La mediana recibe la mitad de lo que reciben las otras dos:

  $$y=\frac{x+z}{2}\ \Longrightarrow\ 2y=x+z\ \Longrightarrow\ x-2y+z=0.$$

• La pequeña recibe el 35 % de lo que reciben las otras dos (y $35\,\%=0{,}35=\tfrac{35}{100}=\tfrac{7}{20}$):

  $$z=0{,}35\,(x+y)=\frac{7}{20}(x+y)\ \Longrightarrow\ 20z=7x+7y\ \Longrightarrow\ 7x+7y-20z=0.$$

Hemos multiplicado la última ecuación por $20$ para quitar decimales; es equivalente a $\tfrac{7}{20}x+\tfrac{7}{20}y-z=0$. El sistema es

Resolución del sistema

Resolvemos por el método de Gauss. Escribimos la matriz ampliada $A^*$ (la matriz de coeficientes $A$ con la columna de términos independientes) en el orden $(x,y,z)$. Intercambiar dos ecuaciones no cambia el sistema (ni sus soluciones); intercambiamos las dos primeras filas para tener un $1$ como primer pivote y evitar fracciones. A partir de aquí, la primera fila corresponde a la segunda ecuación del planteamiento:

La matriz ampliada ya está escalonada y tiene tres pivotes no nulos (intercambiar filas no cambia el rango): $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ número de incógnitas, así que el sistema es compatible determinado (solución única). Resolvemos de abajo arriba:

La solución tiene sentido en el contexto: las tres cantidades son positivas.

Comprobación con los datos originales:

• Mayor: $9+\dfrac{27+21}{2}=9+24=33$. ✓
• Mediana: $\dfrac{33+21}{2}=\dfrac{54}{2}=27$. ✓
• Pequeña: $0{,}35\cdot(33+27)=0{,}35\cdot 60=21$. ✓

En total, la herencia era de $33+27+21=81$ millones de euros.

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador.

Corte con el eje $Y$ ($x=0$, que está en el dominio):

Punto $\left(0,\frac52\right)$.

Corte con el eje $X$ ($f(x)=0$): una fracción se anula cuando se anula el numerador (y no el denominador).

que está en el dominio. Punto $\left(\frac54,0\right)$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Asíntotas verticales. Los candidatos son los puntos que no están en el dominio, $x=-1$ y $x=1$. En ninguno de ellos se anula el numerador ($4(-1)-5=-9$, $4\cdot1-5=-1$), así que los límites laterales son infinitos. Para el signo, el denominador $2(x^2-1)$ es positivo si $|x|>1$ y negativo si $|x|<1$:

Por tanto $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. El grado del numerador ($1$) es menor que el del denominador ($2$):

Hay asíntota horizontal $y=0$ (el eje $X$), tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Posición respecto de $y=0$ (útil para la gráfica): es el signo de $f$, que cambia en $x=-1$, $x=1$ (denominador) y $x=\frac54$ (numerador).

En $-\infty$ la gráfica se acerca a $y=0$ por debajo, y en $+\infty$ por encima; la cruza en $\left(\frac54,0\right)$.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Escribimos $f(x)=\dfrac{4x-5}{2x^2-2}$ y derivamos con la regla del cociente:

Dividimos numerador y denominador entre $4$:

ambos en el dominio. Así $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$ y

El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'$ es el de $-(2x-1)(x-2)$. Los puntos que separan intervalos son $x=-1$, $x=\frac12$, $x=1$ y $x=2$ (los que anulan $f'$ y los que no están en el dominio).

Comprobación con un valor de cada intervalo: $f'(-2)=-\frac{20}{9}<0$, $f'(0)=-2<0$, $f'\!\left(\frac34\right)=\frac{160}{49}>0$, $f'\!\left(\frac32\right)=\frac{16}{25}>0$ y $f'(3)=-\frac{5}{64}<0$.

d) Máximos y mínimos locales

$f$ es derivable en todo su dominio, así que sus extremos locales solo pueden estar donde $f'(x)=0$: en $x=\frac12$ y en $x=2$.

• En $x=\frac12$, $f$ pasa de decrecer a crecer: mínimo local, de valor

  $$f\!\left(\tfrac12\right)=\frac{4\cdot\frac12-5}{2\left(\frac14-1\right)}=\frac{-3}{-\frac32}=2 .$$

• En $x=2$, $f$ pasa de crecer a decrecer: máximo local, de valor

  $$f(2)=\frac{8-5}{2(4-1)}=\frac36=\frac12 .$$

En $x=\pm1$ hay cambios en la tabla, pero no extremos: esos puntos no están en el dominio (son asíntotas verticales).

e) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Dominio $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$; cortes $\left(0,\frac52\right)$ y $\left(\frac54,0\right)$.
• Asíntotas verticales $x=-1$ y $x=1$; asíntota horizontal $y=0$, por debajo en $-\infty$ y por encima en $+\infty$.
• Decrece en $]-\infty,-1[$ y en $\left]-1,\frac12\right[$, crece en $\left]\frac12,1\right[$ y en $]1,2[$, y decrece en $]2,+\infty[$.
• Mínimo local en $\left(\frac12,2\right)$ y máximo local en $\left(2,\frac12\right)$.

Algunos valores para afinar el dibujo: $f(-2)=-\frac{13}{6}\approx-2{,}17$, $f(-0{,}5)=\frac{14}{3}\approx4{,}67$, $f(1{,}5)=\frac25=0{,}4$, $f(3)=\frac{7}{16}\approx0{,}44$.

La gráfica tiene tres ramas. La izquierda ($x<-1$) sale de $y=0$ por debajo y baja hacia $-\infty$ al acercarse a $x=-1$. La central ($-1<x<1$) baja desde $+\infty$, pasa por $\left(0,\frac52\right)$, llega al mínimo $\left(\frac12,2\right)$ y vuelve a subir a $+\infty$ junto a $x=1$: tiene forma de «U». La derecha ($x>1$) sube desde $-\infty$, corta al eje $X$ en $\left(\frac54,0\right)$, alcanza el máximo $\left(2,\frac12\right)$ y después decrece acercándose a $y=0$ por encima.

a) Continuidad de $f$ en $[0,24]$

En cada uno de los tres trozos la función es un polinomio (una recta o una parábola), y los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$. Por tanto, $f$ es continua en $[0,6[$, en $]6,18[$ y en $]18,24]$. En los extremos $x=0$ y $x=24$ solo tiene sentido la continuidad lateral (por la derecha en $0$ y por la izquierda en $24$), y se cumple porque ahí $f$ coincide con un polinomio.

Solo hay que estudiar los puntos donde cambia la expresión, $x=6$ y $x=18$.

En $x=6$ (el $6$ pertenece al primer trozo):

Los límites laterales existen, coinciden y son iguales a $f(6)$: $f$ es continua en $x=6$.

En $x=18$ (el $18$ pertenece al segundo trozo):

Los límites laterales existen pero son distintos ($26\neq 16$), así que no existe $\lim_{x\to 18}f(x)$ y $f$ no es continua en $x=18$. Es una discontinuidad de salto finito (el salto es de $26-16=10$ MWh; el enunciado escribe «Mwh», y aquí usamos el símbolo normalizado, MWh).

b) Consumo máximo y mínimo

Buscamos el máximo y el mínimo absolutos de $f$ en $[0,24]$. Estudiamos el crecimiento en cada trozo.

Primer trozo, $[0,6]$: $f(x)=2x+14$ tiene $f'(x)=2>0$, luego es creciente. Va de $f(0)=14$ a $f(6)=26$.

Segundo trozo, $]6,18]$: $f(x)=-x^2+24x-82$, con

En $x=12$ hay un máximo (también $f''(x)=-2<0$), de valor

En este trozo la función sube desde $26$ (el límite en $6^+$, que coincide con $f(6)$ por la continuidad del apartado a) hasta $62$ y baja hasta $f(18)=26$. Por tanto, en $]6,18]$ es $26\le f(x)\le 62$.

Tercer trozo, $]18,24]$: $f(x)=-x+34$ tiene $f'(x)=-1<0$, luego es decreciente. Toma valores desde cerca de $16$ (el valor $16$ no se alcanza, porque $x=18$ no pertenece a este trozo) hasta $f(24)=-24+34=10$. Ese $16$ no es candidato a extremo: el mínimo del trozo es $f(24)=10$.

Comparación de candidatos. En $[0,6]$ el mínimo es $f(0)=14$ (es creciente); en $]6,18]$ es $f(x)\geq 26$; en $]18,24]$ $f$ decrece hasta $10$. Los candidatos son:

• El mayor valor es $f(12)=62$: el consumo máximo se da a las $12$ horas (las 12 del mediodía).
• El menor valor es $f(24)=10$: el consumo mínimo se da a las $24$ horas, es decir, al final del día (las 24:00, la medianoche). Aunque las 24:00 y las 0:00 son la misma hora del reloj, en el modelo son valores distintos de $x$: $f(0)=14$ y $f(24)=10$, así que el mínimo es $10$, en $x=24$.

c) Consumo entre las 8 y las 10 de la mañana

Las 8 y las 10 de la mañana corresponden a $x=8$ y $x=10$. Como $[8,10]\subset\,]6,18]$, en ese intervalo $f(x)=-x^2+24x-82$, que es continua. El consumo total en ese periodo es la integral de $f$ entre $8$ y $10$:

Una primitiva es

Por la regla de Barrow, $C=\left[-\dfrac{x^3}{3}+12x^2-82x\right]_8^{10}=F(10)-F(8)$, con

Organizamos los datos en una tabla de contingencia. En cada grupo, los hombres son los que no son mujeres: en ingeniería, $10-7=3$ hombres de América y $20-9=11$ de Europa; en ciencias, $21-12=9$ de América y $19-10=9$ de Europa.

Sucesos, referidos al integrante elegido al azar: $E$ = «es de Europa», $M$ = «es mujer», $H=\overline{M}$ = «es hombre», $I$ = «es especialista en ingeniería», $C=\overline{I}$ = «es especialista en ciencias».

Los $70$ integrantes son equiprobables, así que usamos la regla de Laplace: $P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$.

a) Probabilidad de que sea de Europa

Hay $20$ especialistas europeos en ingeniería y $19$ en ciencias, es decir, $20+19=39$ de un total de $70$:

b) Probabilidad de que sea hombre y especialista en ciencias

Se pide la probabilidad de la intersección $H\cap C$. En el grupo de ciencias hay $40$ personas, de las que $22$ son mujeres, luego $40-22=18$ son hombres:

c) Sabiendo que es mujer, ¿ciencias o ingeniería?

Hay que comparar las probabilidades condicionadas $P(C\mid M)$ y $P(I\mid M)$. Por la definición de probabilidad condicionada,