Examen PAU MACS II Comunitat Valenciana 2025 julio (examen de reserva) resuelto

Planteamiento del sistema

Definimos las incógnitas:

• $x$ = megabytes (MB) que se consumen en una hora de conexión a redes sociales,
• $y$ = MB que se consumen en una hora de conexión a periódicos,
• $z$ = MB que se consumen en una hora de conexión a la universidad.

Traducimos cada dato del enunciado a una ecuación:

• Consumo total de 1470 MB con 10 horas en redes sociales, 4 en periódicos y 6 en la universidad: $10x+4y+6z=1470$.
• Una hora de redes sociales consume un $20\,\%$ más que una de periódicos: $x=1{,}2\,y$, es decir, $x=\frac{6}{5}y$, o bien $5x-6y=0$.
• Una hora de periódicos consume 30 MB más que una de universidad: $y=z+30$, es decir, $y-z=30$.

Resolución del sistema

Resolvemos por el método de Gauss. Antes dividimos la primera ecuación entre $2$ para trabajar con números más pequeños: $5x+2y+3z=735$. Ordenando las incógnitas $(x,y,z)$, la matriz ampliada (con la primera ecuación simplificada) es

En el primer paso restamos la primera fila a la segunda para anular el $5$ de la primera columna. En el segundo, sustituimos $F_3$ por $8F_3+F_2$ para anular el $1$ de la segunda columna.

La matriz resultante es escalonada con tres pivotes no nulos. Siendo $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la ampliada, $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ número de incógnitas, así que el sistema es compatible determinado (solución única). Resolviendo de abajo arriba:

La solución tiene sentido en el contexto: son cantidades positivas de megabytes.

Comprobación con los datos originales:

• Consumo total: $10\cdot 90+4\cdot 75+6\cdot 45=900+300+270=1470$ MB. ✓
• Redes sociales frente a periódicos: $1{,}2\cdot 75=90$ MB. ✓
• Periódicos frente a universidad: $75=45+30$ MB. ✓

a) Producto $AC^t$

La traspuesta de $C$ se obtiene cambiando filas por columnas:

Como $A$ es $3\times 3$ y $C^t$ es $3\times 3$, el producto existe y es $3\times 3$. Multiplicamos fila por columna; por ejemplo, el elemento $(1,2)$ es $2\cdot 3+1\cdot 2+0\cdot 2=8$:

b) Inversa de $B-A$

Restamos elemento a elemento:

Existencia. Calculamos el determinante por la regla de Sarrus:

Como $|M|=3\neq 0$, la matriz $M$ es invertible y $M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\,(\operatorname{Adj} M)^t$. Aquí $\operatorname{Adj} M$ es la matriz de los adjuntos de $M$, sin trasponer; la trasposición se aplica una sola vez, en la fórmula.

Matriz de adjuntos. Los adjuntos de $M$ (no de $A$) son $M_{ij}=(-1)^{i+j}\,\alpha_{ij}$, donde $\alpha_{ij}$ es el menor, es decir, el determinante que resulta de suprimir la fila $i$ y la columna $j$:

Por tanto:

Comprobación. $M\cdot M^{-1}=\dfrac13\begin{pmatrix}-1&1&1\\-3&-1&0\\1&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&1\\-3&0&-3\\7&-1&4\end{pmatrix}=\dfrac13\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}=I$.

c) Ecuación $X^tA+C=X^tB$

Agrupamos los términos con $X^t$ en un mismo miembro:

El factor común $X^t$ sale por la izquierda, porque en los dos productos $X^t$ multiplica por la izquierda. Como $B-A$ es invertible (apartado b), la solución existe y es única. Multiplicamos los dos miembros por la derecha por $(B-A)^{-1}$:

Finalmente, $X=(X^t)^t$:

Comprobación. Con este $X$ se tiene $X^t(B-A)=\dfrac13\begin{pmatrix}8&-2&5\\11&-5&5\\-3&0&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1&1\\-3&-1&0\\1&-2&-1\end{pmatrix}=\dfrac13\begin{pmatrix}3&0&3\\9&6&6\\0&3&0\end{pmatrix}=C$, luego $X^tA+C=X^tB$.

Interpretamos «para $t$ entre 2 y 9» como el intervalo cerrado $[2,9]$, con los extremos incluidos. La función $B(t)=-t^2+12t-11$ es un polinomio, así que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[2,9]$. Por el teorema de Weierstrass, $B$ alcanza en $[2,9]$ un máximo y un mínimo absolutos, que están en los puntos donde $B'(t)=0$ o en los extremos del intervalo.

a) Valor máximo

Derivamos:

$B$ crece hasta $t=6$ y decrece después. Como $t=6$ es el único punto crítico, ahí está el máximo absoluto en $[2,9]$:

Lo comprobamos con los extremos: $B(2)=-4+24-11=9$ y $B(9)=-81+108-11=16$, ambos menores que $25$.

b) Valor mínimo

Por el apartado a), $B$ es creciente en $[2,6]$ y decreciente en $[6,9]$, así que no hay mínimos relativos en el interior del intervalo: el mínimo absoluto está en uno de los extremos. Comparamos:

El menor es $B(2)=9$.

c) Periodo con valor superior a 24 millones de euros

Hay que resolver la inecuación $B(t)>24$ con $t\in[2,9]$:

Las raíces de $t^2-12t+35=0$ son

así que $t^2-12t+35=(t-5)(t-7)$. Estudiamos el signo:

(Por ejemplo, en $t=6$: $(6-5)(6-7)=-1<0$, y en efecto $B(6)=25>24$.) En $t=5$ y $t=7$ el valor es exactamente $B(5)=B(7)=24$, que no es superior a 24, así que esos instantes no se incluyen. El intervalo $]5,7[$ está dentro de $[2,9]$.

d) Integral $\int_3^8 B(t)\,dt$

Una primitiva de $B$ es

Por la regla de Barrow:

Por el apartado a), $B$ crece en $[3,6]$ y decrece en $[6,8]$, así que su mínimo en $[3,8]$ está en un extremo: $B(3)=16$ y $B(8)=21$. Por tanto $B(t)\geq 16>0$ en $[3,8]$ y la integral coincide con el área bajo la curva entre $t=3$ y $t=8$. Sus unidades son millones de euros·año, así que $340/3$ no es un valor de la empresa en un instante.

a) Dominio y puntos de corte con los ejes

$f$ es una función racional: existe para todo $x$ salvo donde se anula el denominador.

Por tanto $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ y

Corte con el eje $Y$ ($x=0$, que está en el dominio):

Punto $\left(0,\frac{27}{2}\right)$.

Corte con el eje $X$ ($f(x)=0$): una fracción se anula cuando se anula el numerador (y no el denominador).

ambos en el dominio. Puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$.

b) Asíntotas horizontales y verticales

Escribimos $f(x)=\dfrac{3(x-3)(x+3)}{(x-1)(x+2)}$.

Asíntotas verticales. Los candidatos son los puntos que no están en el dominio, $x=-2$ y $x=1$. En ninguno se anula el numerador ($3\cdot4-27=-15$ y $3-27=-24$), así que los límites laterales son infinitos. El signo lo da el denominador $(x-1)(x+2)$, que es positivo si $x<-2$ o $x>1$ y negativo si $-2<x<1$:

Por tanto $x=-2$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado ($2$), así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Hay asíntota horizontal $y=3$, tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Posición respecto de $y=3$ (útil para la gráfica):

Para $x$ muy negativo, $-3(x+7)>0$ y el denominador es positivo, así que $f(x)>3$: en $-\infty$ la gráfica se acerca a $y=3$ por encima. Para $x$ muy grande, $-3(x+7)<0$ y el denominador es positivo, así que $f(x)<3$: en $+\infty$ se acerca por debajo. La gráfica corta a la asíntota en $x=-7$, en el punto $(-7,3)$.

c) Monotonía y extremos locales

Derivamos con la regla del cociente:

Desarrollamos el numerador:

así que

es decir, $x_1=-7-2\sqrt{10}\approx-13{,}32$ y $x_2=-7+2\sqrt{10}\approx-0{,}68$, los dos en el dominio.

El denominador $(x-1)^2(x+2)^2$ es positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'$ es el de $x^2+14x+9$: positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas. Los puntos que separan intervalos son $x_1$, $-2$, $x_2$ y $1$ (los que anulan $f'$ y los que no están en el dominio).

Comprobación con un valor de cada intervalo: $f'(-20)=\frac{43}{15876}>0$, $f'(-10)=-\frac{93}{7744}<0$, $f'(-1)=-3<0$, $f'(0)=\frac{27}{4}>0$ y $f'(2)=\frac{123}{16}>0$.

Extremos locales. $f$ es derivable en todo su dominio, así que sus extremos locales solo pueden estar donde $f'(x)=0$.

• En $x_1=-7-2\sqrt{10}$, $f$ pasa de crecer a decrecer: máximo local.
• En $x_2=-7+2\sqrt{10}$, $f$ pasa de decrecer a crecer: mínimo local.

Los puntos $x=-2$ y $x=1$ solo separan intervalos porque no están en el dominio (son asíntotas verticales); no pueden ser extremos.

Para calcular los valores conviene usar que en esos puntos $x^2=-14x-9$; entonces

Sustituimos $x_1=-7-2\sqrt{10}$ y racionalizamos, multiplicando numerador y denominador por $80-26\sqrt{10}$ (el conjugado del denominador):

Con $x_2=-7+2\sqrt{10}$ se procede igual (se multiplica por $80+26\sqrt{10}$). Resulta

d) Representación gráfica

Reunimos lo obtenido:

• Dominio $\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$; cortes $\left(0,\frac{27}{2}\right)$, $(-3,0)$ y $(3,0)$.
• Asíntotas verticales $x=-2$ y $x=1$; asíntota horizontal $y=3$, por encima en $-\infty$ y por debajo en $+\infty$; la gráfica la corta en $(-7,3)$.
• Crece en $]-\infty,x_1[$, decrece en $]x_1,-2[$ y en $]-2,x_2[$, y crece en $]x_2,1[$ y en $]1,+\infty[$.
• Máximo local en $(-13{,}32;\ 3{,}12)$ y mínimo local en $(-0{,}68;\ 11{,}55)$.

Algunos valores para afinar el dibujo: $f(-5)=\frac83\approx2{,}67$, $f(-1)=12$, $f(2)=-\frac{15}{4}=-3{,}75$, $f(5)=\frac{12}{7}\approx1{,}71$.

Las asíntotas verticales no están trazadas en las gráficas: se intuyen por el salto de la curva en $x=-2$ y $x=1$. La gráfica tiene tres ramas. La izquierda ($x<-2$) sale de $y=3$ por encima, sube muy poco hasta el máximo $(-13{,}32;\ 3{,}12)$ (solo $0{,}12$ por encima de la asíntota: en la primera gráfica apenas se ve, y por eso añadimos una ampliación), baja cortando la asíntota en $(-7,3)$ y el eje $X$ en $(-3,0)$, y cae a $-\infty$ junto a $x=-2$. La central ($-2<x<1$) baja desde $+\infty$ hasta el mínimo $(-0{,}68;\ 11{,}55)$, sube pasando por $\left(0,\frac{27}{2}\right)$ y vuelve a $+\infty$ junto a $x=1$: tiene forma de «U». La derecha ($x>1$) sube desde $-\infty$, corta al eje $X$ en $(3,0)$ y se acerca a $y=3$ por debajo.

Ampliación de la rama izquierda, donde se aprecia el máximo local:

Definimos los sucesos $C_i$ = «el coche pasa (da positivo en) el control $i$-ésimo», para $i = 1, 2, 3$, y $A$ = «el coche se califica como adecuado».

Según el enunciado, la probabilidad de pasar el primer control es $0{,}8$ y disminuye en $0{,}1$ con cada control que se hace, así que

El enunciado no dice que los controles sean independientes, así que lo suponemos, como es habitual en este tipo de problemas. Esto significa que la probabilidad de pasar el control $k$-ésimo es la misma cualquiera que haya sido el resultado de los anteriores. En particular, $P(C_2)=0{,}7$ vale tanto si el coche ha pasado el primer control como si no, y $P(C_3)=0{,}6$ vale en las dos ramas en que se hace el tercer control. Suponemos también que «disminuye en $0{,}1$» es una resta directa (de $0{,}8$ a $0{,}7$ y a $0{,}6$) y que se aplica en cada control, sea cual sea el resultado del anterior. Ambas son suposiciones, no datos explícitos del enunciado.

Las ramas del árbol (en el examen conviene dibujarlo) son:

• $C_1$ ($0{,}8$) y $C_2$ ($0{,}7$): adecuado sin tercer control. Probabilidad $0{,}8\cdot 0{,}7 = 0{,}56$.
• $C_1$ ($0{,}8$) y $\overline{C_2}$ ($0{,}3$): tercer control.
  • $C_3$ ($0{,}6$): adecuado. Probabilidad $0{,}8\cdot 0{,}3\cdot 0{,}6 = 0{,}144$.
  • $\overline{C_3}$ ($0{,}4$): no adecuado. Probabilidad $0{,}8\cdot 0{,}3\cdot 0{,}4 = 0{,}096$.
• $\overline{C_1}$ ($0{,}2$) y $C_2$ ($0{,}7$): tercer control.
  • $C_3$ ($0{,}6$): adecuado. Probabilidad $0{,}2\cdot 0{,}7\cdot 0{,}6 = 0{,}084$.
  • $\overline{C_3}$ ($0{,}4$): no adecuado. Probabilidad $0{,}2\cdot 0{,}7\cdot 0{,}4 = 0{,}056$.
• $\overline{C_1}$ ($0{,}2$) y $\overline{C_2}$ ($0{,}3$): no adecuado sin tercer control. Probabilidad $0{,}2\cdot 0{,}3 = 0{,}06$.

Comprobación: $0{,}56 + 0{,}144 + 0{,}096 + 0{,}084 + 0{,}056 + 0{,}06 = 1$.

a) Probabilidad de que el coche sea calificado como adecuado

El coche es adecuado en tres ramas incompatibles: pasa los dos primeros controles, o pasa solo uno de los dos primeros y después el tercero. Por la regla del producto y la de la suma: