Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2023 julio resuelto

a) Discusión del sistema

Escribimos el sistema en forma de ecuaciones:

La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible si y solo si $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)$; si además ese rango es 3 (el número de incógnitas), es compatible determinado.

Determinante de $A$ (regla de Sarrus):

Lo igualamos a cero:

Es decir, $|A|=(a-1)(a+3)$.

Caso 1: $a\neq 1$ y $a\neq -3$. Entonces $|A|\neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A)=3$. La matriz $A^*$ contiene el menor $|A|\neq 0$ y solo tiene 3 filas, luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$. Así $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$, que es el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Caso 2: $a=1$.

• $|A|=(1-1)(1+3)=0$, y el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}=4-1=3\neq 0$ (filas 1.ª y 2.ª, columnas de $y$ y $z$), así que $\operatorname{rg}(A)=2$.

• Para $\operatorname{rg}(A^*)$ orlamos ese menor con la 3.ª fila y la columna de términos independientes:

  $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 2\end{vmatrix} = 2(4-3)-1(2-1)+(-1)(3-2)=2-1-1=0 .$$

  Los demás menores de orden 3 de $A^*$ también son nulos, porque en $A^*$ la columna de $x$ es igual a la de $y$: el menor de las columnas de $x$, $z$ y términos independientes coincide con el que acabamos de calcular, y los que contienen a la vez las columnas de $x$ y de $y$ tienen dos columnas iguales. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*)=2$.

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$: el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, con $3-2=1$ parámetro).

Caso 3: $a=-3$.

• $|A|=(-3-1)(-3+3)=0$, y el menor $\begin{vmatrix} 2 & -2\\ 1 & -3\end{vmatrix}=-6+2=-4\neq 0$ (filas 1.ª y 2.ª, columnas de $x$ e $y$), así que $\operatorname{rg}(A)=2$.

• Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

  $$\begin{vmatrix} 2 & -2 & -1\\ 1 & -3 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix} = 2(-6-1)-(-2)(2-1)+(-1)(1+3) = -14+2-4=-16\neq 0,$$

  luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$.

$\operatorname{rg}(A)=2\neq\operatorname{rg}(A^*)=3$: el sistema es incompatible.

b) Soluciones en el caso compatible indeterminado

Por el apartado a), el sistema es compatible indeterminado solo para $a=1$. Como $\operatorname{rg}(A)=2$ y el menor no nulo usado está en las filas 1.ª y 2.ª, basta quedarse con las dos primeras ecuaciones (la tercera es combinación lineal de ellas):

Tomamos $x=\lambda$ como parámetro (el menor no nulo es el de las columnas de $y$ y $z$):

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y restándole la primera: $3z=2-2\lambda-(-1-2\lambda)=3$, luego $z=1$. Sustituyendo en la segunda:

Comprobación (en las tres ecuaciones originales con $a=1$):

• $2\lambda+2(-1-\lambda)+1 = -1$ ✓
• $\lambda+(-1-\lambda)+2\cdot 1 = 1$ ✓
• $\lambda+(-1-\lambda)+3\cdot 1 = 2$ ✓

a) La matriz $M=(A-\alpha I)^2$

Como la matriz identidad conmuta con cualquier matriz ($AI=IA=A$), podemos desarrollar el cuadrado como si fuera un binomio:

Calculamos primero $A^2$ (fila por columna):

Entonces

y, sumando elemento a elemento,

b) Valor de $\alpha$ para el que $M$ es la matriz nula

$M=O$ significa que los nueve elementos de $M$ son cero a la vez. De los elementos que no están en la diagonal:

Solo puede servir $\alpha=1$; comprobamos que anula también los elementos de la diagonal:

(Fíjate en que $\alpha=-1$ y $\alpha=5$ anulan algún elemento de la diagonal, pero no los demás, así que no valen.)

Comprobación directa: para $\alpha=1$,

Datos. El vector que une $A$ con $B$ es

a) Ecuación implícita de la recta $r$

La recta $r$ pasa por $A=(2,-1,0)$ y tiene vector director $\vec u=\overrightarrow{AB}=(-1,3,3)$. Su ecuación continua es

La forma implícita da $r$ como intersección de dos planos. Cada igualdad entre dos de las fracciones es un plano que contiene a $r$, así que basta igualarlas dos a dos (todos los denominadores son distintos de cero). También se puede partir de las paramétricas y eliminar el parámetro.

• Primera y segunda: $3(x-2)=-(y+1)\iff 3x-6=-y-1\iff 3x+y-5=0$.
• Segunda y tercera: $3(y+1)=3z\iff y+1=z\iff y-z+1=0$.

Los dos planos no son paralelos (sus vectores normales $(3,1,0)$ y $(0,1,-1)$ no son proporcionales), así que se cortan en una recta. Esta comprobación es recomendable, pero no imprescindible: al salir de dos igualdades distintas de la continua, los planos ya son distintos y contienen a $r$.

Comprobación: $A$: $6-1-5=0$ y $-1-0+1=0$ ✓; $B$: $3+2-5=0$ y $2-3+1=0$ ✓.

b) Plano $\pi$ perpendicular a $r$ que contiene a $C$

Si $\pi$ es perpendicular a $r$, el vector director de la recta es un vector normal del plano: $\vec n=\vec u=(-1,3,3)$. Por tanto,

Imponemos que $C=(-1,0,0)$ esté en $\pi$:

Cuidado con el signo: $-x$ con $x=-1$ vale $+1$; si se olvida, sale $D=+1$, que es incorrecto.

Comprobación: $C$: $-(-1)+0+0-1=0$ ✓.

c) Distancia del punto $A$ al plano $\pi$

Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+D=0$, donde $D$ es el término independiente:

Con $A=(2,-1,0)$ y $\pi:\ -x+3y+3z-1=0$:

Comprobación por otro camino (opcional; en el examen basta la fórmula). Como $A\in r$ y $r\perp\pi$, la distancia de $A$ a $\pi$ es la distancia de $A$ al punto $M=r\cap\pi$. Un punto genérico de $r$ es $(2-t,\,-1+3t,\,3t)$; sustituyendo en $\pi$:

de modo que $\overrightarrow{AM}=\frac{6}{19}(-1,3,3)$ y $|\overrightarrow{AM}|=\frac{6}{19}\sqrt{19}=\frac{6}{\sqrt{19}}$ ✓.

a) Posición relativa de $r$ y $\pi$ según $m$

De la ecuación de la recta leemos un punto y un vector director, y del plano su vector normal:

Método vectorial. La recta es paralela al plano (o está contenida en él) si y solo si su vector director es perpendicular al vector normal, es decir, si $\vec v_r\cdot\vec n_\pi=0$:

• Si $m\neq -3$: $\vec v_r\cdot\vec n_\pi\neq 0$, así que $r$ no es paralela a $\pi$: la recta corta al plano en un único punto (son secantes).

• Si $m=-3$: $\vec v_r\cdot\vec n_\pi=0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Basta mirar un punto de $r$: si $P_r\in\pi$, toda la recta está en $\pi$ (contenida); si $P_r\notin\pi$, ningún punto de $r$ lo está (paralela). Comprobamos si $P_r=(1,1,0)$ está en $\pi: 5x-3y+z=2$:

  $$5\cdot 1-3\cdot 1+0=2 \;\checkmark$$

  Como $P_r\in\pi$, la recta está contenida en el plano. Por tanto el caso «paralela sin cortarlo» no se da para ningún $m$.

b) Plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$ (para $m=1$)

Para $m=1$, $\pi:5x+y+z=2$, con $\vec n_\pi=(5,1,1)$.

El plano $\pi'$ debe:

• contener a $r$: pasa por $P_r=(1,1,0)$ y contiene la dirección $\vec v_r=(-1,-1,2)$;
• ser perpendicular a $\pi$: el vector normal de $\pi$, $\vec n_\pi=(5,1,1)$, es paralelo a $\pi'$.

Como $\vec v_r$ y $\vec n_\pi$ no son proporcionales, son dos vectores directores de $\pi'$, y su normal es perpendicular a ambos:

El plano que pasa por $P_r=(1,1,0)$ con esa normal es

Multiplicando por $-1$ (la ecuación de un plano está determinada salvo un factor no nulo): $\;\pi':\ 3x-11y-4z+8=0$, con $\vec n_{\pi'}=(3,-11,-4)$.

Comprobaciones.

• $P_r\in\pi'$: $3\cdot1-11\cdot1-4\cdot0+8=0$ ✓.
• $\vec v_r\cdot\vec n_{\pi'}=-3+11-8=0$ ✓, luego $r\subset\pi'$.
• $\vec n_\pi\cdot\vec n_{\pi'}=15-11-4=0$ ✓, luego $\pi'\perp\pi$.

a) Discontinuidad evitable en $x=-\frac{1}{2}$

$f$ es una función racional, así que es continua en todo $\mathbb{R}$ salvo donde se anula el denominador:

Por tanto, $\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\left\{-2,\,-\frac{1}{2}\right\}$ y $f$ no está definida en $x=-\frac{1}{2}$: ahí hay una discontinuidad. Para ver de qué tipo es, calculamos el límite. Al sustituir sale una indeterminación $\frac{0}{0}$, porque el numerador también se anula:

Factorizamos numerador y denominador (las raíces del numerador son $x=1$ y $x=-\frac{1}{2}$):

Así, simplificando el factor común $\left(x+\frac{1}{2}\right)$ (que no es cero porque $x\to-\frac12$ pero $x\neq-\frac12$):

El límite existe y es finito ($1$), pero $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ no existe. Por tanto, $x=-\frac{1}{2}$ es una discontinuidad evitable: bastaría definir $f\left(-\frac12\right)=1$ para que la función fuese continua en ese punto. La gráfica de $f$ es la de $y=\frac{1-x}{x+2}$ con un «agujero» en el punto $\left(-\frac{1}{2},\,1\right)$.

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

El dominio es $\mathbb{R}\setminus\left\{-2,\,-\frac{1}{2}\right\}$. En todo el dominio $f(x)=\dfrac{1-x}{x+2}$, así que derivamos esta expresión (más sencilla) con la regla del cociente:

$f'(x)$ nunca se anula (el numerador es $-3$), así que no hay puntos críticos. Además $(x+2)^2>0$ para todo $x$ del dominio, luego

Para escribir los intervalos separamos el dominio por los puntos donde $f$ no está definida, $x=-2$ y $x=-\frac{1}{2}$:

El agujero en $x=-\frac12$ no rompe la monotonía: como $f$ coincide con $\frac{1-x}{x+2}$, que decrece en $(-2,+\infty)$, si $-2<a<b$ con $a,b\neq-\frac12$ entonces $f(a)>f(b)$ aunque $a$ y $b$ queden a distintos lados de $-\frac12$. Se escriben dos intervalos solo porque $-\frac12$ no está en el dominio (así lo hacen también los criterios).

Como $f$ no tiene puntos críticos, tampoco tiene máximos ni mínimos relativos.

Para dibujar la gráfica, calculamos también la asíntota horizontal. Como $f(x)=\dfrac{1-x}{x+2}=-1+\dfrac{3}{x+2}$ (se comprueba en el apartado c), se tiene $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1$. Además, $\dfrac{3}{x+2}$ es positivo si $x>-2$ y negativo si $x<-2$, así que $f$ queda por encima de $y=-1$ a la derecha de $x=-2$ y por debajo a su izquierda.

c) Integral indefinida

Es una integral racional en la que el grado del numerador es igual al del denominador, así que primero dividimos:

luego

(Se llega a lo mismo a partir de la forma simplificada del apartado a): $\dfrac{1-x}{x+2}=\dfrac{-(x+2)+3}{x+2}=-1+\dfrac{3}{x+2}$.)

Integramos término a término; $\int\frac{dx}{x+2}=\ln|x+2|$ es inmediata:

Comprobación: $\dfrac{d}{dx}\bigl(-x+3\ln|x+2|\bigr)=-1+\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{1-x}{x+2}=f(x)$ para $x\neq-2,\,-\frac12$.

Llamamos $x$ a la anchura de la ventana, que es también el diámetro del semicírculo (de radio $\dfrac{x}{2}$), e $y$ a la altura de la parte rectangular. Ambas se miden en metros.

a) Área de la ventana en función de su anchura

Perímetro. El contorno de la ventana está formado por la base del rectángulo ($x$), sus dos lados verticales ($2y$) y la semicircunferencia, de longitud $\dfrac{2\pi r}{2}=\pi\cdot\dfrac{x}{2}$. El lado superior del rectángulo no forma parte del contorno, porque es el diámetro del semicírculo. Por tanto,

Área. Es la del rectángulo más la del semicírculo:

Sustituyendo $y$:

Dominio. Las medidas han de ser positivas: $x>0$ e $y>0$, es decir,

b) Dimensiones de la ventana de área máxima

Entra la máxima luz cuando el área es máxima. $A(x)$ es una función polinómica, derivable en todo su dominio:

que está dentro del dominio, pues $\dfrac{40}{4+\pi}<\dfrac{40}{2+\pi}$.

Comprobación de que es un máximo. La segunda derivada es

así que $A$ es una parábola cóncava y su único punto crítico, $x=\dfrac{40}{4+\pi}$, es el máximo absoluto en el dominio.

Altura del rectángulo.

Observa que $y=\dfrac{x}{2}$: en la ventana óptima, la altura del rectángulo coincide con el radio del semicírculo.

c) Valor del área máxima

Comprobación: rectángulo $x\,y=\dfrac{800}{(4+\pi)^2}\approx 15{,}686$ m² y semicírculo $\dfrac{\pi x^2}{8}=\dfrac{200\pi}{(4+\pi)^2}\approx 12{,}319$ m²; su suma es $\approx 28{,}005$ m².